Параллелограмм и вписанная окружность: когда возможна встреча?
Цели и задачи
- Цель: Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие возможности вписания окружности в параллелограмм через исследование свойств его сторон.
- Образовательная задача: Повторить свойства вписанной в четырехугольник окружности и свойства параллелограмма; вывести свойство ромба как единственного вида параллелограмма, в который можно вписать окружность.
- Развивающая задача: Развивать навыки гипотетико-дедуктивного мышления через самостоятельный поиск закономерностей в парах.
- Воспитательная задача: Формировать культуру ведения математической дискуссии и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Навыки смыслового чтения — извлечение необходимой информации из текста учебника.
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с партнером.
Предметные
- Знать определение вписанной в многоугольник окружности.
- Знать и уметь доказывать свойство сторон четырехугольника, описанного около окружности.
- Уметь применять полученные знания при решении геометрических задач на вычисление и доказательство.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие геометрической интуиции.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование познавательной цели.
- Планирование путей достижения целей на основе анализа условий задачи.
- Внесение необходимых корректив в действие после его завершения на основе его оценки.
Познавательные УУД
- Создание и преобразование моделей и схем для решения задач.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выдвижение гипотез и их обоснование.
Коммуникативные УУД
- Учет разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве.
- Аргументация своего мнения и позиции в коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы для парной работы (чертежи параллелограммов разных видов) — 15 шт.
- Подготовить циркули, линейки и цветные карандаши на каждую парту.
- Загрузить на интерактивную доску динамическую модель в GeoGebra «Окружность внутри параллелограмма».
- Методический ресурс: Учебник «Геометрия 7–9» (Л.С. Атанасян и др.), параграф «Вписанная окружность».
- Подготовить карточки для рефлексии «Билет на выход».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о свойствах описанного четырехугольника и настроить учеников на исследовательскую деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы выступим в роли инженеров-дизайнеров. Представьте, что нам нужно вписать круглую деталь в раму, имеющую форму параллелограмма. Всегда ли это возможно? Прежде чем ответить, давайте вспомним: какой четырехугольник называется описанным около окружности?» | Ученики приветствуют учителя. Отвечают: «Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются окружности». Один ученик делает схематичный набросок на доске. |
3 мин | «Верно. А теперь вспомните главное свойство сторон такого четырехугольника. Я начну фразу, а вы продолжите: "В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон..."» Учитель фиксирует на доске формулу: a + c = b + d. | Ученики хором продолжают: «...равны!». Записывают формулу в тетрадь как опорный сигнал. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили общее правило для всех четырехугольников. Но сегодня наша цель — сузить круг интересов до параллелограммов. Давайте проверим, любой ли параллелограмм готов принять в себя окружность».
Этап 2. Создание проблемной ситуации (5 мин)
Цель этапа: через практическое затруднение подвести к формулировке проблемы урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «У вас на партах лежат листы с двумя параллелограммами: один сильно вытянут, другой — ромб. Попробуйте с помощью циркуля вписать окружность в первый (вытянутый) параллелограмм так, чтобы она коснулась всех четырех сторон одновременно. Что вы замечаете?» | Ученики пытаются выполнить построение. Обнаруживают, что окружность касается либо двух длинных сторон, либо двух коротких и одной длинной, но не всех четырех. |
2 мин | «Почему не получается? Ведь это параллелограмм, у него есть центр симметрии, стороны попарно параллельны. В чем секрет? Давайте сформулируем проблему нашего урока». | Ученики предлагают варианты: «Наверное, стороны должны быть какими-то особенными», «Может быть, только в ромб можно вписать?». Формулируют проблему: «При каком условии в параллелограмм можно вписать окружность?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы увидели, что не каждый параллелограмм "дружелюбен" к окружности. Давайте найдем математическое доказательство вашим догадкам».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания — парная работа (12 мин)
Цель этапа: путем логических рассуждений вывести свойство параллелограмма, описанного около окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Работаем в парах. Используйте приём "Сократовский диалог". На карточке №2 у вас записано: 1) Свойство сторон параллелограмма (противоположные стороны...). 2) Свойство сторон описанного четырехугольника (суммы...). Соедините эти два факта. Даю вам 3 минуты на обсуждение». | Ученики обсуждают в парах. Записывают: 1) a = c, b = d (свойство параллелограмма). 2) a + c = b + d (условие вписанной окружности). |
5 мин | «Кто готов представить логическую цепочку у доски? Как из этих двух равенств получить вывод о виде параллелограмма?» Учитель вызывает одного ученика к доске. | Ученик пишет: «Так как a = c и b = d, то подставим их в формулу a + c = b + d. Получим a + a = b + b, то есть 2a = 2b. Значит, a = b. А если у параллелограмма соседние стороны равны, то это ромб!» |
5 мин | «Блестяще! Мы получили теорему. Откройте учебник на странице 185, найдите подтверждение нашим словам. Прочитайте формулировку вслух. Есть ли в учебнике дополнительные условия?» | Ученики открывают учебник Атанасяна, находят текст: «Если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм — ромб». Сравнивают со своим выводом. Читают доказательство в учебнике. |
Запись в тетрадях
Теорема: В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Доказательство:
1) Пусть ABCD — параллелограмм, описанный около окр. (O, r).
2) По свойству описанного 4-угольника: AB + CD = BC + AD.
3) По свойству параллелограмма: AB = CD, BC = AD.
4) 2AB = 2BC => AB = BC.
5) Соседние стороны равны => ABCD — ромб.
Доказательство:
1) Пусть ABCD — параллелограмм, описанный около окр. (O, r).
2) По свойству описанного 4-угольника: AB + CD = BC + AD.
3) По свойству параллелограмма: AB = CD, BC = AD.
4) 2AB = 2BC => AB = BC.
5) Соседние стороны равны => ABCD — ромб.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы совершили открытие: семейство параллелограммов делегировало право владеть вписанной окружностью только ромбам (и квадратам как их частному случаю). Теперь закрепим это на практике».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: научиться применять полученное свойство при решении задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Решим задачу №695 из учебника. Условие: Периметр ромба равен 24 см. Найдите радиус вписанной окружности, если один из углов ромба равен 30 градусов. С чего начнем?» | Ученики анализируют: «Раз дан периметр ромба, найдем его сторону: 24 : 4 = 6 см. Рисуем ромб, проводим высоту — она и будет диаметром вписанной окружности». |
3 мин | «Почему высота равна диаметру? Посмотрите на модель на экране». Учитель показывает в GeoGebra, как диаметр, перпендикулярный сторонам, совпадает с высотой ромба. | Ученики дорешивают: «В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Значит, высота h = 6 : 2 = 3 см. Тогда радиус r = h : 2 = 1,5 см». |
Эталон решения
1) $a = P / 4 = 24 / 4 = 6$ (см).
2) $h = a \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot 0,5 = 3$ (см).
3) $d = h$ (высота ромба равна диаметру вписанной окружности).
4) $r = d / 2 = 3 / 2 = 1,5$ (см).
Ответ: 1,5 см.
2) $h = a \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot 0,5 = 3$ (см).
3) $d = h$ (высота ромба равна диаметру вписанной окружности).
4) $r = d / 2 = 3 / 2 = 1,5$ (см).
Ответ: 1,5 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Обратите внимание на важный нюанс: высота ромба — это и есть диаметр вписанной окружности. Это часто помогает в задачах».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения нового материала в индивидуальном режиме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Предлагаю небольшой блиц-тест на 3 вопроса. 1) Можно ли вписать окружность в параллелограмм со сторонами 5 и 7 см? 2) В ромб вписана окружность радиусом 4 см. Чему равна его высота? 3) Найдите сторону квадрата, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см». | Ученики самостоятельно решают в тетрадях. Ответы: 1) Нет, так как стороны должны быть равны. 2) 8 см (h = 2r). 3) 10 см (сторона квадрата равна диаметру). |
3 мин | Учитель выводит ответы на экран. «Оцените себя: 3 правильных — "5", 2 — "4". Поднимите руки, у кого "5"». | Ученики сверяют ответы, ставят себе отметки на полях тетради. Поднимают руки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось. Тем, у кого возникли трудности с радиусом и диаметром, советую еще раз посмотреть на чертеж ромба дома».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, зафиксировать новые знания и выдать дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, "Билет на выход". Напишите на листочке одно условие, которое вы сегодня "открыли", и один вопрос, который у вас остался». | Ученики заполняют карточки. Примеры записей: «Узнал, что окружность можно вписать только в ромб», «Вопрос: а можно ли вписать окружность в прямоугольник, который не квадрат?» |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. | Ученики записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все этапы исследования в паре, решена задача №695 без ошибок, пройден блиц-тест на 3/3.
- «4» — Допущена одна неточность в доказательстве теоремы или одна ошибка в блиц-тесте (2/3).
- «3» — Ученик понимает связь сторон ромба и окружности, но затрудняется в вычислениях или логическом выводе формулы 2a=2b.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство параллелограмма является ключевым для вписанной окружности? | Проверка осознания связи между видом фигуры и возможностью вписания. |
В чем заключалась главная трудность при попытке вписать окружность в произвольный параллелограмм? | Выявление понимания геометрического противоречия (неравенство сумм сторон). |
Где в жизни нам может пригодиться знание о вписанной в ромб окружности? | Связь с практикой (дизайн, механика, архитектура). |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы с вами не просто выучили формулу, а прошли путь настоящего исследователя: от неудачного эксперимента с циркулем до строгого доказательства. Мы выяснили, что гармония между параллелограммом и окружностью возможна только при полном равенстве всех его сторон. На следующем уроке мы перевернем задачу и выясним: а в какой параллелограмм можно окружность ОПИСАТЬ. Спойлер: там тоже будет свой строгий отбор. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | П. 93, №693, №694 | Прочитать теорему в учебнике, решить задачи на прямое применение свойства сторон описанного четырехугольника. |
Средний (повышающий) | №696 | Задача на нахождение углов ромба по радиусу вписанной окружности и стороне. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Доказать, что центр окружности, вписанной в ромб, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Оформить в виде мини-исследования. |
Контрольный вопрос: «Если суммы противоположных сторон параллелограмма равны 20 см, можно ли утверждать, что это ромб? Какова длина его стороны?»