Рациональные выражения: закрепление и применение
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о рациональных дробях, закрепить навыки нахождения допустимых значений переменной и условий равенства дроби нулю, а также применить эти знания для решения практических задач.
- Образовательная задача: отработать алгоритм нахождения ОДЗ (области допустимых значений) и сокращения дробей на основе ФСУ.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления при исследовании знаков и экстремальных значений рациональных выражений.
- Воспитательная задача: формировать функциональную грамотность через решение экономических задач на выбор выгодного предложения.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору наиболее эффективного способа решения математической и жизненной задачи.
- Развитие критического мышления при анализе условий акций в магазинах.
- Формирование ответственного отношения к обучению через самоконтроль.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи между структурой выражения и его свойствами (ОДЗ, знак).
- Регулятивные: умение планировать шаги при решении многоэтапных задач, оценивать правильность выполнения действий.
- Коммуникативные: умение аргументированно представлять свое решение и слушать оппонента в ходе дискуссии.
Предметные
- Знать определение рациональной дроби и основное свойство дроби.
- Уметь находить допустимые значения переменных в выражениях с одной и несколькими переменными.
- Уметь определять значения переменной, при которых дробь равна нулю.
- Владеть навыками разложения многочленов на множители для последующего сокращения дробей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание значимости математики в бытовых расчетах).
- Смыслообразование (установление связи между учебной деятельностью и будущими финансовыми навыками).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль и коррекция при проверке ответов по эталону.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (например, выделение квадрата двучлена в знаменателе).
- Синтез как составление целого из частей при решении текстовых задач.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Сотрудничество с учителем и сверстниками.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с заданиями №11, 15, 19, 24 из учебника.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (дифференцированные задания по уровням А, Б, В).
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работоспособность интерактивной доски для демонстрации эталонов решений.
- Выписать на доске ключевые формулы сокращенного умножения (разность квадратов, квадрат суммы/разности).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация (5 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, актуализировать знания формул сокращенного умножения, необходимых для работы с дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем работать с рациональными дробями. Вы уже знаете, что дробь — это не просто число, это целая конструкция, которая может «капризничать»: исчезать, принимать огромные значения или вовсе не существовать. Сегодня мы станем исследователями этих конструкций. Но сначала — разминка для ума. Посмотрите на доску, там зашифрованы формулы из №22 и №23 нашего учебника. Давайте быстро их восстановим». | Ученики приветствуют учителя, настраиваются на работу. Внимательно смотрят на доску, где записаны части формул. |
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос по №23: «Как разложить на множители $x^2 - 25$? А $a^2 - 6a + 9$? Какую формулу мы используем для $b^3 + 27$? Эти знания — наш фундамент для сокращения дробей». | Ученики устно отвечают: «$(x-5)(x+5)$», «это квадрат разности $(a-3)^2$», «сумма кубов: $(b+3)(b^2 - 3b + 9)$». |
Эталон решения (№22 и №23):
1. Задание №22 (Преобразование в многочлен по формулам сокращенного умножения):
— а) $(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$ (разность квадратов).
— б) $(y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$.
— в) $(0,8x + y)(y - 0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$.
— г) $(b + 0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + 0,5^2 = b^2 + b + 0,25$ (квадрат суммы).
— д) $(a - 2x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$ (квадрат разности).
— е) $(ab - 1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$.
2. Задание №23 (Разложение на множители):
— а) $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (разность квадратов).
— б) $16 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$.
— в) $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$ (квадрат разности).
— г) $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ (квадрат суммы).
— д) $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ (разность кубов).
— е) $b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)$ (сумма кубов).
1. Задание №22 (Преобразование в многочлен по формулам сокращенного умножения):
— а) $(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$ (разность квадратов).
— б) $(y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$.
— в) $(0,8x + y)(y - 0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$.
— г) $(b + 0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + 0,5^2 = b^2 + b + 0,25$ (квадрат суммы).
— д) $(a - 2x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$ (квадрат разности).
— е) $(ab - 1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$.
2. Задание №23 (Разложение на множители):
— а) $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (разность квадратов).
— б) $16 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$.
— в) $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$ (квадрат разности).
— г) $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ (квадрат суммы).
— д) $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ (разность кубов).
— е) $b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)$ (сумма кубов).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, формулы мы вспомнили. Теперь перейдем к самому важному вопросу: когда наше выражение вообще имеет право на существование?»
Этап 2. Закрепление понятия ОДЗ (8 мин)
Цель этапа: отработать навык нахождения допустимых значений переменной в выражениях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице 9, задание №11. Давайте разберем пункты (б) и (г). В пункте (б) у нас выражение $\frac{1}{6x-3}$. Какое главное ограничение для дроби? Верно, знаменатель не равен нулю. Запишите условие и найдите $x$». Учитель вызывает одного ученика к доске. | Ученик у доски пишет: $6x - 3 \neq 0 \Rightarrow 6x \neq 3 \Rightarrow x \neq 0,5$. Класс записывает решение в тетради. |
4 мин | «А теперь усложним задачу. Посмотрите на пункт (д): $\frac{x}{x^2 + 25}$. Подумайте, при каких значениях знаменатель станет нулем? Примените приём "Мозговой штурм" в парах (30 секунд)». Учитель слушает ответы. | Ученики обсуждают, затем отвечают: «Ни при каких! Квадрат числа всегда неотрицателен, а $x^2 + 25$ всегда больше или равно 25. Значит, допустимы любые значения $x$». Записывают: $x$ — любое число. |
Эталон решения (№11, б и г):
1. Пункт (б): $\frac{1}{6x - 3}$
— Условие существования дроби: знаменатель не равен нулю ($6x - 3 \neq 0$).
— Решаем: $6x \neq 3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{6} \Rightarrow x \neq 0,5$.
— Ответ: $x$ — любое число, кроме 0,5.
2. Пункт (г): $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$
— Условие существования дроби: знаменатель не равен нулю ($4x(x + 1) \neq 0$).
— Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $4x \neq 0$ или $x + 1 \neq 0$.
— Находим исключения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
— Ответ: $x$ — любое число, кроме 0 и -1.
1. Пункт (б): $\frac{1}{6x - 3}$
— Условие существования дроби: знаменатель не равен нулю ($6x - 3 \neq 0$).
— Решаем: $6x \neq 3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{6} \Rightarrow x \neq 0,5$.
— Ответ: $x$ — любое число, кроме 0,5.
2. Пункт (г): $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$
— Условие существования дроби: знаменатель не равен нулю ($4x(x + 1) \neq 0$).
— Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $4x \neq 0$ или $x + 1 \neq 0$.
— Находим исключения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
— Ответ: $x$ — любое число, кроме 0 и -1.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения (№11, д)
Выражение: $\frac{x}{x^2 + 25}$.
Условие: $x^2 + 25 \neq 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 25 \ge 25$.
Следовательно, знаменатель никогда не обращается в нуль.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое число).
Условие: $x^2 + 25 \neq 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 25 \ge 25$.
Следовательно, знаменатель никогда не обращается в нуль.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое число).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что знаменатель может быть как простым линейным выражением, так и выражением, которое никогда не равно нулю. Теперь выясним, когда же вся дробь превращается в нуль».
Этап 3. Условия равенства дроби нулю (7 мин)
Цель этапа: научить различать условия, при которых дробь равна нулю, учитывая ОДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Задание №15, пункт (г). Дробь $\frac{x(x+3)}{2x+6}$. Когда дробь равна нулю? Правило: числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Давайте проверим это выражение. Кто хочет попробовать?» | Ученик выходит к доске, приравнивает числитель к нулю: $x(x+3) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-3$. |
4 мин | «Стоп! А теперь проверьте ОДЗ. Подставьте $x=-3$ в знаменатель. Что получится?». Учитель акцентирует внимание на «ловушке». | Ученики подставляют: $2(-3)+6 = 0$. Делают вывод: «Значит, при $x=-3$ дробь не существует! В ответ пишем только $x=0$». Записывают решение с учетом исключения корня. |
Эталон решения (№15, г):
Выражение: $\frac{x(x+3)}{2x+6}$.
1. Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля.
$\begin{cases} x(x+3) = 0 \\\ 2x + 6 \neq 0 \end{cases}$
2. Решаем уравнения:
Из числителя: $x = 0$ или $x = -3$.
Из ОДЗ (знаменатель): $2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$.
3. Исключаем посторонний корень: значение $x = -3$ обращает знаменатель в нуль, поэтому оно не входит в ОДЗ.
Ответ: $x = 0$.
Выражение: $\frac{x(x+3)}{2x+6}$.
1. Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля.
$\begin{cases} x(x+3) = 0 \\\ 2x + 6 \neq 0 \end{cases}$
2. Решаем уравнения:
Из числителя: $x = 0$ или $x = -3$.
Из ОДЗ (знаменатель): $2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$.
3. Исключаем посторонний корень: значение $x = -3$ обращает знаменатель в нуль, поэтому оно не входит в ОДЗ.
Ответ: $x = 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Всегда будьте бдительны: корень числителя может оказаться "врагом" знаменателя. А теперь перейдем к экономике — нашей межпредметной связи».
Этап 4. Межпредметные связи: Функциональная грамотность (10 мин)
Цель этапа: применить навыки расчетов для решения практической задачи на выбор выгодного предложения (№24).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Ребята, представьте, что вам нужно помочь Анне Александровне купить конфеты. Читаем задачу №24 на стр. 10. У нас два магазина: «Сладость» и «Джем». В одном акция «3 по цене 2», в другом — скидка 30% при покупке от 5 коробок. Нам нужно 5 коробок. Давайте разделимся: первый ряд считает «Сладость», второй ряд — «Джем»». | Ученики читают условие, распределяют задачи по рядам. |
6 мин | Учитель проходит по рядам, подсказывая: «В «Сладости» 5 коробок — это дважды по акции (3 коробки) или как? Нет, акция на 3 штуки, остальные 2 — по полной цене. В «Джеме» считаем общую сумму и вычитаем 30%». | Первый ряд: 5 коробок в «Сладости». Акция «3 по цене 2» означает, что за 3 коробки платим как за 2 ($350 \times 2 = 700$), плюс еще 2 коробки по полной цене ($350 \times 2 = 700$). Итого $1400$ руб. Второй ряд: 5 коробок в «Джеме». $390 \times 5 = 1950$ руб. Скидка 30%: $1950 \times 0,7 = 1365$ руб. |
2 мин | «Сравним результаты. Где дешевле? Какова экономия?» | Ученики сравнивают: $1400$ и $1365$. Выгоднее в «Джеме». Экономия: $1400 - 1365 = 35$ рублей. |
Эталон решения (№24):
1. Магазин «Сладость»:
— Цена одной коробки: 350 руб.
— Акция: «3 по цене 2» (за 3 коробки платим как за 2).
— Нам нужно 5 коробок: это 3 коробки по акции + 2 коробки по полной цене.
— Стоимость: $2 \times 350 + 2 \times 350 = 700 + 700 = 1400$ руб.
2. Магазин «Джем»:
— Цена одной коробки: 390 руб.
— Покупаем 5 коробок (больше 4), действует скидка 30% на всю покупку.
— Общая стоимость без скидки: $5 \times 390 = 1950$ руб.
— Сумма со скидкой 30%: $1950 \times (1 - 0.3) = 1950 \times 0.7 = 1365$ руб.
3. Сравнение и экономия:
— В «Джеме» покупка обойдется в 1365 руб., а в «Сладости» — в 1400 руб.
— Выгоднее покупать в магазине «Джем».
— Экономия: $1400 - 1365 = 35$ рублей.
Ответ: в магазине «Джем»; экономия 35 рублей.
1. Магазин «Сладость»:
— Цена одной коробки: 350 руб.
— Акция: «3 по цене 2» (за 3 коробки платим как за 2).
— Нам нужно 5 коробок: это 3 коробки по акции + 2 коробки по полной цене.
— Стоимость: $2 \times 350 + 2 \times 350 = 700 + 700 = 1400$ руб.
2. Магазин «Джем»:
— Цена одной коробки: 390 руб.
— Покупаем 5 коробок (больше 4), действует скидка 30% на всю покупку.
— Общая стоимость без скидки: $5 \times 390 = 1950$ руб.
— Сумма со скидкой 30%: $1950 \times (1 - 0.3) = 1950 \times 0.7 = 1365$ руб.
3. Сравнение и экономия:
— В «Джеме» покупка обойдется в 1365 руб., а в «Сладости» — в 1400 руб.
— Выгоднее покупать в магазине «Джем».
— Экономия: $1400 - 1365 = 35$ рублей.
Ответ: в магазине «Джем»; экономия 35 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, рациональный расчет помог сэкономить деньги. Математика — это не только буквы, но и ваш кошелек».
Этап 5. Исследование свойств: Наибольшее значение (10 мин)
Цель этапа: научить анализировать дробь для нахождения её экстремальных значений (дифференцированный подход).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Задание №19, пункт (а). При каком значении $a$ дробь $\frac{4}{5 + a^2}$ принимает наибольшее значение? Давайте рассуждать: числитель постоянный. Чтобы дробь была самой большой, знаменатель должен быть... каким? Правильно, самым маленьким. Когда $5 + a^2$ минимально?» | Ученики отвечают: «Когда $a^2 = 0$, то есть при $a = 0$. Тогда знаменатель равен 5, а значение дроби 0,8». |
5 мин | «Для тех, кто хочет вызов: задание №21 (а). Верно ли, что наибольшее значение дроби $\frac{18}{49 + 4x^2 + y^2 + 4xy}$ равно 1? Подсказка: посмотрите на знаменатель, там спряталась формула!» | Сильные ученики замечают: $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$. Знаменатель равен $49 + (2x + y)^2$. Минимальное значение знаменателя 49. Наибольшее значение дроби $\frac{18}{49}$. Утверждение неверно. |
Эталон решения (№19, а и №21, а):
1. Задание №19 (а):
— Дробь $\frac{4}{5 + a^2}$. Числитель равен 4 (постоянное положительное число).
— Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим.
— Знаменатель $5 + a^2$ принимает наименьшее значение, когда $a^2 = 0$, то есть при $a = 0$.
— Наименьшее значение знаменателя равно 5, а наибольшее значение дроби: $\frac{4}{5} = 0,8$.
2. Задание №21 (а):
— Дробь $\frac{18}{49 + 4x^2 + y^2 + 4xy}$.
— Выделяем формулу в знаменателе: $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$.
— Знаменатель принимает вид: $49 + (2x + y)^2$.
— Так как $(2x + y)^2 \ge 0$, минимальное значение знаменателя равно 49 (при $2x + y = 0$).
— Наибольшее значение дроби равно $\frac{18}{49}$, что меньше 1.
— Ответ: утверждение неверно.
1. Задание №19 (а):
— Дробь $\frac{4}{5 + a^2}$. Числитель равен 4 (постоянное положительное число).
— Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим.
— Знаменатель $5 + a^2$ принимает наименьшее значение, когда $a^2 = 0$, то есть при $a = 0$.
— Наименьшее значение знаменателя равно 5, а наибольшее значение дроби: $\frac{4}{5} = 0,8$.
2. Задание №21 (а):
— Дробь $\frac{18}{49 + 4x^2 + y^2 + 4xy}$.
— Выделяем формулу в знаменателе: $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$.
— Знаменатель принимает вид: $49 + (2x + y)^2$.
— Так как $(2x + y)^2 \ge 0$, минимальное значение знаменателя равно 49 (при $2x + y = 0$).
— Наибольшее значение дроби равно $\frac{18}{49}$, что меньше 1.
— Ответ: утверждение неверно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть структуру выражения за нагромождением символов. Это и есть высший пилотаж в алгебре».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции к ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Ребята, оцените свою работу сегодня. Поднимите зеленую карточку, если вы поняли, как искать ОДЗ и решать задачи на акции. Желтую — если были трудности с исследованием наибольшего значения. Красную — если тема осталась туманной». Учитель фиксирует результаты. | Ученики проводят самооценку, поднимая карточки соответствующего цвета. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Запишите в дневники: базовый уровень — №12 (а, б), №16 (а, б); повышенный — №20, №21 (б)». | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно нашел ОДЗ во всех предложенных заданиях, правильно решил экономическую задачу и обосновал нахождение наибольшего значения дроби.
- «4» — допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях, но алгоритм нахождения ОДЗ и условий равенства нулю соблюден верно.
- «3» — ученик справляется с нахождением ОДЗ в простых линейных случаях, но затрудняется в задачах с квадратами или в текстовых задачах.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие мы проверяем первым при работе с рациональной дробью? | Проверка усвоения понятия ОДЗ как приоритетного шага. |
Может ли дробь быть равна нулю, если корень числителя совпадает с корнем знаменателя? | Выявление понимания критической ошибки (деление на ноль). |
В какой жизненной ситуации вам сегодня пригодились дроби? | Осознание практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы проделали большую работу: от строгих правил ОДЗ до реальных расчетов в магазине. Помните, что алгебраические дроби — это не просто упражнения в учебнике, а инструмент анализа. Если вы научитесь видеть ограничения в математике, вы будете лучше видеть их и в жизни, что поможет вам принимать верные решения. На следующем уроке мы перейдем к основному свойству дроби и начнем масштабное сокращение. Всем спасибо за урок!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №12 (а, б), №16 (а, б) | Нахождение допустимых значений и нулей простых дробей. |
Средний (повышающий) | №13 (в), №18 (а, б) | Работа с областью определения функции и доказательство знака дроби. |
Продвинутый (дополнительный) | №20 (б), №21 (в) | Исследование минимального значения дроби с использованием ФСУ. |
Контрольный вопрос перед уходом: «При каком значении $x$ выражение $\frac{7}{x-x}$ не имеет смысла?» (Ответ: при любом $x$).