Задачи на проценты
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут решать практические задачи трёх типов — находить процент от числа, число по его проценту и процентное отношение двух величин — и проверять разумность ответа.
- Образовательная задача: актуализировать понятия процента, дроби и пропорции и установить связь между процентом и сотой частью величины.
- Образовательная задача: освоить и применить три способа решения задач на проценты — через дробь, десятичную дробь и пропорцию.
- Развивающая задача: анализировать условие, определять неизвестную величину, выбирать подходящий способ и обосновывать решение.
- Воспитательная задача: развивать ответственность при работе с числовой информацией и уважительное сотрудничество при обсуждении решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что понимание процентов помогает принимать обоснованные решения при покупках и планировании бюджета.
- Проявляют интерес к применению математических знаний в повседневных ситуациях и будущей профессиональной деятельности.
- Уважают разные способы решения и корректно обсуждают предложения одноклассников.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм и обозначают затруднение без опасения ошибиться.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи исходные данные, процент и искомую величину.
- Сравнивают способы решения и выбирают тот, который соответствует структуре задачи.
- Проверяют вычисления обратным действием и оценивают правдоподобие результата.
- Представляют решение последовательно, используя математические обозначения и пояснения.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют свой выбор.
Предметные
- Знают, что один процент равен одной сотой части величины, и записывают соотношение 1% = 0,01.
- Умеют находить процент от числа умножением числа на процент, записанный десятичной дробью.
- Умеют находить число по его проценту делением известной части на соответствующую десятичную дробь.
- Умеют находить процентное отношение величин делением части на целое с последующим умножением на 100%.
- Владеют навыком проверки ответа оценкой и обратным вычислением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят тему с личным опытом сравнения цен, скидок и результатов опросов.
- Принимают учебную задачу и проявляют готовность самостоятельно выбрать способ вычисления.
- Осознают ценность точных расчётов для ответственных бытовых и финансовых решений.
- Формируют доброжелательное отношение к одноклассникам при взаимной проверке.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после обнаружения затруднения в практической задаче.
- Планируют последовательность решения: определяют целое, процент и искомую величину.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и находят место возможной ошибки.
- Корректируют способ решения, если проверка показывает несоответствие ответа условию.
Познавательные УУД
- Преобразуют процент в десятичную дробь и связывают вычисление с понятием сотой части.
- Моделируют условие задачи выражением, пропорцией или краткой схемой.
- Сопоставляют задачи по тому, какая величина является целым и какая неизвестна.
- Анализируют числовой результат и проверяют его на соответствие контексту.
Коммуникативные УУД
- Формулируют объяснение решения так, чтобы одноклассник мог проследить каждый шаг.
- Задают партнёру вопросы о выборе действия и корректно отвечают на уточнения.
- Согласуют общий ответ в паре, сравнивая вычисления и проверку.
- Аргументируют, почему в задаче на нахождение целого нужно делить, а не умножать.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с тремя зонами: «Найти процент от числа», «Найти число по проценту», «Найти, сколько процентов составляет часть».
- Распечатать карточки с одной практической задачей для каждой пары и карточки трёх уровней — по одной на ученика.
- Подготовить листы для самостоятельной работы и отдельный лист с эталонами для показа после выполнения.
- Вывести на экран ценник с первоначальной стоимостью 2 000 рублей и скидкой 15%, а также короткую таблицу результатов опроса: 12 из 30 участников выбрали вариант А.
- Подготовить слайд-шпаргалку с равенствами 1% = 1/100 = 0,01 и формулировками трёх типов задач без готовых решений.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой самооценки понимания.
- Распечатать таблицу для групповой работы на финансовом и естественно-научном контекстах — по одному экземпляру на группу из 4 человек.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры и таймер; предусмотреть работу с бумажными материалами при отсутствии экрана.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу через знакомую жизненную ситуацию и актуализировать практический смысл процентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает ценник: «Представьте, что наушники стоили 2 000 рублей, а магазин объявил скидку 15%. Сейчас не нужно торопиться с вычислениями: сначала решите, что именно нам известно и что хочется узнать. Где вы встречали скидки и как обычно проверяете, выгодна ли покупка? Подумайте полминуты самостоятельно, затем обсудите идею с соседом. Я выслушаю несколько разных способов, не оценивая их заранее». | Рассматривают ценник, самостоятельно формулируют, что нужно найти, затем обсуждают с соседом. Предполагаемые ответы: «Нужно узнать размер скидки»; «Можно узнать цену после скидки». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Назовите, каких сведений не хватает для точного ответа, и что означает запись 15%. Поднимите руки те, кто уже встречал такие расчёты в магазине». Учитель фиксирует на доске слова «цена», «скидка», «процент» и говорит: «Сегодня разберёмся, как проценты превращаются в надёжный расчёт, а не в догадку». | В парах предлагают формулировки, затем две пары делятся ответами. Отвечают: «15% — это 15 частей из 100»; «Чтобы узнать скидку, нужно найти 15% от 2 000 рублей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что проценты встречаются в знакомых покупках, но для точного ответа нужен способ вычисления. Сначала проверим, какие знания уже помогут нам разобраться».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить связь процента с дробью, десятичной записью и пропорцией и выявить возможное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске 1%, 25%, 40% и обращается к классу: «Переведите эти проценты в обыкновенные или десятичные дроби. Вспомните, почему слово “процент” связано с сотой частью. Начните с индивидуальной записи, а затем сравните её с ответом соседа». Учитель просит одного ученика пояснить перевод 25%. | Записывают: 1% = 0,01; 25% = 0,25 = 1/4; 40% = 0,4 = 2/5. В паре сверяют записи и объясняют: «25% — это 25 сотых, или четверть». |
3 мин | Учитель предлагает устный блиц: «Найдите половину от 80 и четверть от 60. Затем ответьте: как можно найти одну десятую числа 90? Что общего у этих действий?» После ответов учитель показывает короткую запись 80 · 0,5 и спрашивает, почему здесь используется умножение. «Попробуйте связать долю числа с действием, которое вы уже умеете выполнять». | Вычисляют 40, 15 и 9; поясняют: «Чтобы найти долю от числа, умножаем число на соответствующую дробь». Фиксируют возможное затруднение: «Пока неясно, как найти целое, если известна только его часть». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили перевод процентов в дробь и умножение для нахождения части. Теперь выясним, достаточно ли этого правила для всех задач и где возникает затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить различие между задачами на нахождение части и задачами на восстановление целого, совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предъявляет две задачи: «В первой задаче найдите 20% от 150 рублей. Во второй задаче 30 рублей составляют 20% стоимости товара. Найдите полную стоимость товара. Как вы решите первую задачу? Можно ли без изменений применить тот же ход ко второй? Покажите, где в записи число 150 является целым, а где целое пока неизвестно». Учитель даёт минуту на обсуждение в парах. | Записывают для первой задачи 150 · 0,2 = 30. Во второй замечают, что известна часть и её доля от целого. Обсуждают: «Умножение на 0,2 даст часть от числа, а нам нужно восстановить целое». |
2 мин | Учитель спрашивает: «Что именно мы пока не умеем делать уверенно? Какие три вопроса могут встретиться в задачах с процентами: найти часть, восстановить целое или сравнить часть с целым?» Учитель записывает формулировки учеников и предлагает выбрать порядок работы. «Проверим способы на бытовом примере, данных опроса и задаче о растворе — такие расчёты встречаются в разных областях». | Формулируют затруднение и цель: «Нужно научиться выбирать действие по тому, что требуется найти». Предлагают план: сначала разобрать три типа задач, затем решить задачу самостоятельно и проверить ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сформулировали проблему: известная часть и известное целое требуют разных действий. Теперь построим способы решения трёх типичных задач и объясним, почему они работают».
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы решения трёх типов задач на проценты и связать их с десятичной записью процента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает условие: «В школьной библиотеке 240 новых книг; 15% из них — книги о природе. Сколько книг о природе поступило?» Учитель ведёт сократовский диалог: «Что обозначает целое? Как записать 15% десятичной дробью? Если 1% — это одна сотая от 240, что нужно сделать, чтобы получить 15%? Можно ли сразу умножить на 0,15?» Учитель просит ученика проговорить решение. | Выделяют целое 240 книг и искомую часть. Записывают 15% = 0,15 и вычисляют 240 · 0,15 = 36. Объясняют: «Чтобы найти процент от числа, умножаем число на процент, записанный десятичной дробью». |
4 мин | Учитель предъявляет условие: «В кружок записались 18 учеников, и это 30% всех учеников параллели, участвовавших в опросе. Сколько учеников участвовало в опросе?» Учитель спрашивает: «Число 18 — это целое или часть? Какая доля целого известна? Какое число при умножении на 0,3 даст 18?» После ответов записывает равенство x · 0,3 = 18 и предлагает проверить найденное число. | Обозначают общее число буквой x, составляют уравнение x · 0,3 = 18, находят x = 18 : 0,3 = 60. Проверяют: 60 · 0,3 = 18. Формулируют правило: «Чтобы найти целое по его проценту, делим известную часть на соответствующую десятичную дробь». |
3 мин | Учитель показывает данные опроса: из 40 учеников 14 выбрали секцию робототехники. «Как узнать, сколько процентов составляют 14 учеников от 40? Сначала найдите отношение части к целому, затем переведите его в проценты. Почему нельзя поменять местами 14 и 40?» Учитель фиксирует общую схему на доске и предлагает ученикам назвать, где в ней часть, а где целое. | Вычисляют 14 : 40 = 0,35; 0,35 · 100% = 35%. Объясняют: «14 — часть, 40 — целое; поэтому делим часть на целое». Записывают формулу процентного отношения. |
Запись в тетрадях
- 1% = 0,01 = 1/100.
- Чтобы найти p% от числа a, вычислить a · p/100.
- Чтобы найти число, если его p% равны b, вычислить b : (p/100).
- Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от числа a, вычислить b : a · 100%.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас появились три способа, и каждый начинается с вопроса о том, что является целым. Проверим, сможете ли вы распознать тип задачи и объяснить выбор действия».
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор алгоритма на практических ситуациях из финансовой грамотности и естествознания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и раздаёт карточку: «Цена рюкзака — 3 600 рублей. Магазин снижает цену на 12%. Найдите размер скидки и цену после скидки». Учитель сообщает: «Выберите роли: читатель условия, вычислитель, проверяющий и докладчик. Важно не только получить цену, но и объяснить, почему скидка находится умножением на 0,12». | Распределяют роли, находят скидку: 3 600 · 0,12 = 432 рубля; затем цену после скидки: 3 600 − 432 = 3 168 рублей. Проверяющий оценивает, что итоговая цена меньше начальной. |
3 мин | Учитель раздаёт второй контекст на выбор: «В образце почвы массой 200 г содержание воды составляет 18%. Найдите массу воды» или «Из 25 измеренных семян проросли 20. Какой процент семян пророс?» Учитель говорит: «Выберите задачу, которая вам интереснее, и назовите, к какому типу она относится. Свяжите ответ с тем, что изучают на уроках естествознания: там важно читать данные и понимать, что именно измеряют». | Выбирают одну задачу. В первой находят 200 · 0,18 = 36 г воды. Во второй вычисляют 20 : 25 · 100% = 80%. Объясняют выбор действия и указывают, что целое в каждой задаче. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили проценты и к цене, и к данным естественно-научного наблюдения. Теперь каждому предстоит самостоятельно показать, что алгоритмы можно выбирать без подсказки группы».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение тремя типами задач и организовать самоконтроль по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и объясняет выбор уровня: «Обязательное задание выполняют все. После него выберите базовый или повышенный пункт — ориентируйтесь на то, что готовы проверить сами. Запишите не только ответ, но и выражение или уравнение. Задачи такие: найдите 8% от 250; если 24 составляет 40% некоторого числа, найдите это число; определите, сколько процентов составляет 18 от 60. На работу пять минут». | Самостоятельно решают: 250 · 0,08 = 20; 24 : 0,4 = 60; 18 : 60 · 100% = 30%. Выбирают дополнительный пункт карточки и записывают промежуточные вычисления. |
3 мин | Учитель открывает эталон и говорит: «Сверьте каждое решение отдельно. Если ответ не совпал, не стирайте всё решение: найдите шаг, где изменилось действие или неверно записан процент. Отметьте зелёным то, что проверили, и поставьте вопросительный знак рядом с местом затруднения. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку самооценки». | Сверяют вычисления с эталоном, исправляют найденную ошибку другим цветом, ставят знак вопроса у непонятного шага. Поднимают карточки: зелёную — могу объяснить все три способа; жёлтую — путаю отдельные типы; красную — нужен разбор. |
Эталон решения
1) 8% = 0,08; 250 · 0,08 = 20. 2) Обозначим искомое число x: 0,4x = 24; x = 24 : 0,4 = 60. Проверка: 60 · 0,4 = 24. 3) 18 : 60 = 0,3; 0,3 · 100% = 30%.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что полезно сначала определить целое и только затем выбирать вычисление. Осталось осмыслить, какой способ уже стал понятным и что ещё требует тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы, выявить оставшиеся вопросы и дать ученикам возможность выбрать подходящий уровень домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «На отдельном листке закончите две фразы: “Чтобы найти число по его проценту, я…” и “Сегодня мне ещё нужно потренироваться в…”. Затем решите короткий вопрос: 45 — это 15% какого числа? Запишите одно равенство, которое доказывает ваш ответ». | Пишут: «Чтобы найти число по его проценту, делю известную часть на десятичную запись процента»; вычисляют 45 : 0,15 = 300 и проверяют: 300 · 0,15 = 45. |
2 мин | Учитель показывает варианты домашней работы: «Обязательный уровень выполняют все. Повышающий и дополнительный выберите по готовности; можно начать с базового и перейти дальше. При проверке важны не только ответы: смотрите, правильно ли определено целое и можно ли проверить результат обратным действием. Перед выходом ответьте себе: какой из трёх типов задач вы теперь узнаёте увереннее?» | Записывают выбранный уровень домашнего задания и устно называют наиболее уверенный тип задачи. Сдают билет на выход, при необходимости задают уточняющий вопрос. |
Сегодня мы узнали, как находить процент от числа, восстанавливать число по его проценту и определять процентное отношение. Главная опора — понять, что является целым, и перевести процент в десятичную дробь. Типичная ошибка — умножить на процент, когда требуется найти целое; обратная проверка помогает её обнаружить. На следующем уроке продолжим решать практические задачи с процентами и будем сравнивать несколько способов вычисления.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задачи самостоятельной работы, правильно определены типы задач, записаны вычисления и выполнена проверка хотя бы одного ответа.
- «4» — верно решены две из трёх задач; допущенная ошибка обнаружена при самопроверке либо объяснение способа дано с небольшим уточнением учителя.
- «3» — верно решена одна задача из трёх или получены ответы с существенными затруднениями в выборе действия; ученик может с подсказкой определить целое и записать нужный способ.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, что в задаче является целым? | Проверить понимание ключевого шага анализа условия. |
Какое действие нужно выполнить, если известна часть и её процент от целого? | Выявить возможное смешение умножения и деления при выборе алгоритма. |
Какую из трёх задач — найти часть, целое или процентное отношение — вы теперь решаете увереннее? | Получить самооценку освоения способов и определить точки для последующей дифференциации. |
Как вы проверите, что ответ на задачу о скидке правдоподобен? | Оценить перенос алгоритма на финансовый контекст и навык проверки результата. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы разобрали три разных вопроса, которые скрываются за задачами на проценты: найти часть, восстановить целое и сравнить часть с целым. Вы показали, что математическая модель помогает принимать решения не только в учебнике, но и при оценке скидок, опросов и результатов наблюдений. Помните о типичной ошибке: нельзя автоматически умножать на процент, не выяснив, какая величина неизвестна. Проверяйте вычисление обратным действием и оценивайте, соответствует ли ответ условию. На следующем уроке мы продолжим применять эти способы в задачах с несколькими шагами».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 задач: по две на нахождение процента от числа, нахождение числа по его проценту и нахождение процентного отношения. Для каждой записать выражение или уравнение и одну проверку. | Закрепить распознавание трёх типов задач; при проверке обратить внимание на определение целого и перевод процентов в десятичную дробь. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: о скидке на товар, о доле участников опроса и о восстановлении общего количества по известной части. В каждой задаче пояснить выбор действия. | Перенести алгоритмы на бытовые и информационные ситуации; проверить, обоснован ли способ и соответствует ли ответ контексту. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на проценты, связанную с покупкой, спортом или результатами опроса, решить её двумя способами и написать проверку. | Развивать умение самостоятельно моделировать ситуацию, сравнивать способы и объяснять математический смысл вычислений. |
Контрольные вопросы перед выходом: чем отличается задача на нахождение части от задачи на нахождение целого? Как проверить, что найденное число действительно соответствует заданному проценту? Почему в задаче на процентное отношение делят часть на целое?
