Уравнения и задачи, решаемые с помощью уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять линейное уравнение по условию текстовой задачи, решать его и проверять ответ, успешно выполнив не менее двух из трёх практических заданий.
- Сформировать представление об уравнении как математической модели реальной ситуации и закрепить алгоритм решения линейных уравнений.
- Научить выделять неизвестную величину, обозначать её буквой, выражать остальные величины через неё и составлять уравнение по условию задачи.
- Развивать умение объяснять ход решения, сравнивать разные способы рассуждения и аргументированно проверять ответ в паре.
- Воспитывать ответственность за общий результат, уважение к мнению одноклассников и готовность применять математические знания в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность уравнений для решения задач о покупках, расстояниях, времени и распределении величин.
- Проявлять познавательный интерес к поиску неизвестной величины и стремление доводить решение до проверки.
- Принимать ответственность за собственный вклад в командную работу и уважать иной способ рассуждения.
- Оценивать собственное продвижение по теме и честно обозначать затруднения.
Метапредметные
- Выделять существенную информацию из текста задачи, переводить её на математический язык и строить модель ситуации.
- Планировать последовательность решения, контролировать промежуточные действия и корректировать найденную ошибку.
- Формулировать гипотезу, сравнивать способы решения и аргументировать выбор неизвестной величины.
- Сотрудничать в паре и команде, распределять роли, использовать математическую речь и результаты взаимопроверки.
Предметные
- Знать понятия «уравнение», «корень уравнения», «решить уравнение» и понимать связь уравнения с условием задачи.
- Уметь решать линейные уравнения с переносом слагаемых и приведением подобных слагаемых.
- Уметь обозначать неизвестную величину буквой и составлять уравнение по тексту задачи.
- Уметь выполнять проверку найденного корня и записывать ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться переводить жизненную ситуацию на язык уравнений.
- Проявляют смыслообразование через понимание практической пользы математической модели.
- Осознают значение точности, проверки и ответственности при совместном решении.
- Оценивают собственное эмоциональное состояние и готовность обратиться за помощью.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют шаги решения задачи: выбор неизвестного, составление уравнения, решение, проверка, ответ.
- Сверяют собственное решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по заранее объявленным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют условие и вопрос задачи, устанавливают отношения между величинами.
- Моделируют текстовую ситуацию с помощью обозначений, выражений и уравнения.
- Анализируют равенство, преобразуют его и объясняют законность каждого действия.
- Проверяют математический результат подстановкой и соотносят его с условием задачи.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре выбор неизвестной и формулируют общий способ составления уравнения.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют, почему выражение соответствует условию.
- Распределяют роли в команде и согласуют единый ответ.
- Корректно оценивают решение другой пары, формулируя конкретное замечание и предложение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения уравнения, корня, алгоритм решения задачи и критерии командной игры.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе, с двумя текстовыми задачами.
- Подготовить три комплекта командных карточек: «Уравнение», «Модель», «Проверка»; по одному комплекту на каждую команду.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить листы А4, маркеры или ручки для команд, стикеры трёх цветов и жетоны за правильные ответы.
- Вывесить на доску памятку: «1. Обозначь неизвестное. 2. Вырази остальные величины. 3. Составь уравнение. 4. Реши. 5. Проверь. 6. Запиши ответ».
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут, калькулятор не использовать, чтобы проверка выполнялась подстановкой.
- Организовать места для четырёх команд по 4–6 человек и заранее определить капитана, секретаря, докладчика и контролёра времени в каждой команде.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и листа для работы. Сегодня вы будете не только решать уравнения, но и выступите в роли аналитиков, которым нужно восстановить неизвестные данные в реальных ситуациях. На доске записана фраза: «Найти неизвестное». Как вы думаете, где в жизни приходится находить неизвестное?" | Проверяют готовность к уроку, предлагают варианты: "При расчёте покупки", "при определении времени", "при планировании расстояния". |
2 мин | Учитель показывает на экране краткую ситуацию: «Два одинаковых блокнота и ручка стоят 230 рублей. Ручка стоит 30 рублей. Сколько стоит блокнот?» Учитель говорит: "Не называйте пока только число. Объясните, какую величину разумно обозначить буквой и какое равенство поможет найти ответ. Обсудите это с соседом по парте в режиме «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Сначала обдумывают ситуацию самостоятельно, затем 1 минуту обсуждают в парах и предлагают модель: "$2x+30=230$", ответ: "Блокнот стоит 100 рублей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неизвестную величину можно обозначить буквой и описать ситуацию равенством. Теперь выясним, какие знания об уравнениях уже помогут нам решить такую задачу уверенно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия уравнения, корня и основные преобразования линейных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске равенства: $3x+5=17$, $4x-2=10$, $7=7$. "Рассмотрите записи и определите, какие из них являются уравнениями. Напомните, что называется корнем уравнения. Почему запись $7=7$ нельзя использовать для нахождения конкретного значения неизвестного?" | Поднимают карточки «да» или «нет», объясняют: уравнение содержит неизвестную величину; корень — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство; в записи $7=7$ неизвестной нет. |
3 мин | Учитель предлагает устно решить $3x+5=17$ и спрашивает: "Какое действие выполняем первым и почему? Что изменится, если перенести $5$ в правую часть? Как проверим результат?" Учитель фиксирует краткое решение на доске. | Называют шаги: "$3x=12$", "$x=4$"; объясняют перенос слагаемого с противоположным знаком; выполняют проверку: "$3\cdot4+5=17$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как решать линейное уравнение и проверять корень. Но в текстовой задаче сначала нужно понять отношения между величинами. Именно на этом месте чаще всего возникает затруднение."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить проблему перевода текста задачи в уравнение и сформулировать план работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет задачу: «В первой коробке на 8 карандашей больше, чем во второй. Всего в двух коробках 36 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?» Учитель говорит: "Попробуйте записать только первое выражение. Какую коробку удобнее обозначить за $x$? Может ли быть несколько правильных вариантов?" | Записывают в парах два возможных начала: вторую коробку обозначить за $x$, тогда первая — $x+8$; или первую — $x$, тогда вторая — $x-8$. Обсуждают, какой вариант проще. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему иногда после решения уравнения получается число, которое нельзя сразу записать как ответ? Что ещё необходимо сделать? Сформулируйте общий план решения задачи." Учитель принимает варианты и оформляет их на доске. | Формулируют: "Нужно выбрать неизвестное, выразить остальные величины, составить уравнение, решить его, проверить смысл результата и записать ответ". Называют цель урока своими словами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не только в преобразовании уравнения, но и в точном переводе текста на язык математики. Сейчас мы вместе откроем надёжный алгоритм такого перевода."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм составления и решения уравнения по текстовой задаче на примере распределения величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает задачу целиком: «В двух коробках 36 карандашей. В первой коробке на 8 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?» Учитель проговаривает: "Начинаем не с вычисления, а с вопроса: что неизвестно? Обозначим количество карандашей во второй коробке за $x$. Тогда в первой будет $x+8$. Общее количество складывается, поэтому получаем уравнение $x+(x+8)=36$. Посмотрите на каждую часть равенства: левая часть описывает две коробки, правая — общее количество." | Записывают условие кратко, обозначают неизвестное: "Во второй коробке $x$ карандашей"; составляют выражение для первой коробки "$x+8$" и уравнение "$x+(x+8)=36$". |
2 мин | Учитель решает уравнение: "Раскроем скобки: $2x+8=36$. Перенесём 8: $2x=28$. Разделим обе части на 2: $x=14$. Теперь найдём количество в первой коробке: $14+8=22$." Учитель подчёркивает, что $x=14$ — не полный ответ задачи. | Следят за преобразованиями, проговаривают правила, записывают $x=14$ и вычисляют вторую величину: $22$ карандаша. |
2 мин | Учитель демонстрирует проверку: "Подставим найденные значения в условие: $14+22=36$, а $22-14=8$. Оба отношения выполнены. Значит, ответ согласуется с текстом. Запомните: проверка должна подтверждать не только уравнение, но и смысл условия." | Выполняют проверку в тетради, формулируют вывод: "Во второй коробке 14 карандашей, в первой 22 карандаша". |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения задачи с помощью уравнения: 1) обозначить неизвестную величину буквой; 2) выразить другие величины через неё; 3) составить уравнение; 4) решить уравнение; 5) проверить найденные значения по условию; 6) записать ответ с единицами измерения.
Эталон решения
Пусть во второй коробке $x$ карандашей. Тогда в первой коробке $x+8$ карандашей. По условию $x+(x+8)=36$. Получаем $2x+8=36$, $2x=28$, $x=14$. В первой коробке $14+8=22$ карандаша. Проверка: $14+22=36$, $22-14=8$. Ответ: во второй коробке 14 карандашей, в первой — 22 карандаша.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы связали каждую фразу задачи с математическим выражением и проверили смысл ответа. Теперь применим алгоритм сначала вместе с партнёром, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить составление уравнения и последовательность рассуждений в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: «Мама старше дочери на 26 лет. Через 4 года сумма их возрастов будет 54 года. Сколько лет каждой сейчас?» Инструкция: "Один партнёр отвечает за перевод текста в выражения, второй — за контроль соответствия условию. Через 3 минуты поменяйтесь ролями. Запишите полный алгоритм, а не только число." | Распределяют роли, читают условие, подчёркивают неизвестную величину и ключевую фразу «через 4 года». |
4 мин | Учитель консультирует пары вопросами: "Что обозначает $x$? Как изменится возраст каждого через 4 года? Какая величина больше и на сколько? Почему сумма записывается именно так?" Не сообщает готовое уравнение, а подводит к нему вопросами. | В парах составляют уравнение $x+4+(x+26+4)=54$, решают его, находят возраста и сверяют запись с условием. Ожидаемый результат: $x=10$, дочери 10 лет, матери 36 лет. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару представить решение, а остальные просит провести взаимопроверку по трём критериям: выбрана неизвестная, уравнение соответствует условию, выполнена проверка. "Если нашли ошибку, сначала назовите удачный шаг, затем предложите исправление." | Докладчик пары объясняет решение. Остальные отмечают в листе проверки два сильных шага и одно возможное исправление, формулируют: "Через 4 года возраст каждого увеличивается на 4". |
Эталон решения
Пусть дочери сейчас $x$ лет. Тогда матери $x+26$ лет. Через 4 года их возраст будет $x+4$ и $x+30$. По условию $(x+4)+(x+30)=54$. Тогда $2x+34=54$, $2x=20$, $x=10$. Матери $10+26=36$ лет. Проверка: через 4 года будет $14+40=54$. Ответ: дочери 10 лет, матери 36 лет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что одна и та же задача требует внимательно отнестись к каждому слову. Теперь каждый проверит, способен ли он выполнить весь алгоритм самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом решения уравнения и текстовой задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. Базовый вариант: решить $5x-7=18$ и задачу «После уменьшения числа на 12 получили 35. Найдите число». Повышенный вариант: «В двух корзинах 47 яблок, в первой на 9 больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой?» Учитель напоминает: "Выберите уровень, который позволит показать реальное понимание. Обязательно запишите проверку." | Самостоятельно решают выбранные задания. В базовом варианте получают $x=5$ и число 47; в повышенном составляют $x+(x+9)=47$, получают 19 и 28 яблок. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: $5x-7=18$, $x=5$; для первой задачи — $x-12=35$, $x=47$; для задачи о яблоках — $x+(x+9)=47$, $x=19$. "Сверьте не только ответ, но и запись действий. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который требует уточнения." | Сверяют решение по шагам, исправляют ошибки другим цветом, ставят себе отметку по критериям и записывают вопрос, если затруднение осталось. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже начинает работать самостоятельно. Осталось проверить, насколько быстро и точно вы умеете применять его в команде."
Этап 7. Командная игра «Математический маршрут» (8 мин)
Цель этапа: обобщить способы работы с уравнениями через соревнование команд и взаимное объяснение решений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель делит класс на четыре команды и объявляет правила: "Каждая команда проходит три станции. На станции «Уравнение» нужно решить уравнение, на станции «Модель» — составить уравнение по условию, на станции «Проверка» — найти ошибку в готовом решении. За полный и объяснённый ответ команда получает 2 балла, за верный ответ без объяснения — 1 балл. Роли внутри команды распределите сами." | Выбирают капитана, секретаря, докладчика и контролёра времени, получают комплект карточек и готовят лист команды. |
3 мин | Учитель выдаёт станции: «Уравнение: $3(2x-1)=21$»; «Модель: В кино продали 38 билетов, взрослый билет на 120 рублей дороже детского, общая выручка не рассматривается — составьте выражение для цены взрослого билета»; «Проверка: ученик решил $2x+6=18$ так: $2x=24$, $x=12$. Найдите ошибку». Учитель напоминает: "Командный ответ должен содержать объяснение, а не только число." | Команды решают: $x=4$; обозначают детский билет за $x$, взрослый — $x+120$; указывают ошибку в переносе 6: должно быть $2x=12$, $x=6$. Обсуждают и записывают общий ответ. |
2 мин | Учитель просит капитанов по очереди представить ответы, начисляет баллы на доске и задаёт уточняющие вопросы: "Какая фраза условия подсказала выражение? На каком шаге появилась ошибка? Как выполнить проверку?" | Капитаны докладывают, остальные команды поднимают сигнальные карточки согласия или несогласия и при необходимости предлагают корректировку. |
2 мин | Учитель объявляет результат и отмечает не только победителей, но и качество взаимодействия: "Сегодня важны точность, объяснение и вклад каждого. Команда может получить дополнительный жетон за самое ясное объяснение или за корректное исправление чужой ошибки." | Слушают итоги, называют сильную стратегию команды, фиксируют в тетради одно правило, которое помогло выиграть: "Сначала понять условие, потом составлять уравнение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Командная игра показала, что уравнение становится понятным, когда мы видим за каждым выражением конкретную величину. Завершим урок личной оценкой: что уже получается, а что нужно потренировать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить оставшиеся затруднения и определить индивидуальный маршрут закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает заполнить билет на выход: "Закончите три фразы: «Сегодня я научился…», «При составлении уравнения мне важно…», «Мне ещё нужно потренировать…». Пишите конкретно, например «проверять смысл найденного числа»." | Заполняют билет на выход индивидуально и прикрепляют его к доске в одну из зон: «уверенно», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что обозначает буква в задаче? Зачем выражать остальные величины через неё? Чем корень уравнения отличается от ответа задачи?" | Отвечают: "Буква обозначает выбранную неизвестную величину"; "чтобы составить связь между величинами"; "корень — значение неизвестного, а ответ содержит все искомые величины и единицы измерения". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. В каждом решении сохраняйте пять обязательных частей: обозначение, выражения, уравнение, решение, проверка." | Записывают выбранный уровень и формулируют личную цель на следующий урок. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены уравнение и обе текстовые задачи либо выполнено задание повышенного уровня; неизвестная обозначена понятно, уравнение составлено без смысловых ошибок, проверка выполнена, ответ записан с единицами измерения.
- «4» — основная модель и ход решения верны, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; проверка выполнена частично.
- «3» — правильно выполнено простое уравнение и начата работа с текстовой задачей, но допущены ошибки при выражении величин или составлении уравнения; ученик может объяснить исправление с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о решении текстовых задач с помощью уравнений? | Выявление осознания алгоритма моделирования ситуации. |
На каком шаге было труднее всего: выбрать неизвестное, составить уравнение, решить или проверить? | Выявление точки затруднения в алгоритме решения. |
Как вы поняли, что найденное число имеет смысл в условии задачи? | Проверка понимания роли смысловой проверки и единиц измерения. |
Какой вклад вы внесли в работу пары или команды? | Развитие самооценки сотрудничества и ответственности за общий результат. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что уравнение — это не просто запись с буквой, а математическая модель реальной ситуации. Самый важный шаг — внимательно выбрать неизвестную и связать с ней остальные величины. Не забывайте: корень уравнения ещё не всегда является полным ответом задачи, поэтому обязательны проверка и единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и сравним разные способы составления уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения с переносом слагаемых и 2 простые текстовые задачи на нахождение неизвестного по общей сумме; в каждом решении выполнить проверку. | Закрепляет преобразование уравнений и базовый алгоритм моделирования; при проверке смотреть на знаки при переносе и соответствие ответа условию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на разность и сумму величин, включая задачу на возраст или количество предметов; записать обозначение неизвестного, уравнение, решение и полный ответ. | Развивает умение переводить отношения «на больше», «на меньше», «всего» на математический язык; при проверке смотреть на правильность выражений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизненного контекста, решаемую линейным уравнением, затем решить её двумя способами выбора неизвестного и сравнить полученные записи. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать эквивалентные способы решения; при проверке смотреть на реалистичность условия и совпадение результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначает выбранная буква? Как составить выражение для величины, которая больше на 7? Почему после нахождения корня нужно проверить ответ по условию? Какие шесть шагов включает алгоритм решения задачи с помощью уравнения?»
