Решение основных задач на дроби и проценты из реальной практики
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики решат не менее трёх практических задач на нахождение части числа, числа по его части и процента от величины, запишут вычисления и проверят разумность полученных ответов.
- Образовательная задача: повторить связь обыкновенной дроби и процента и выбрать подходящий способ вычисления для практической ситуации.
- Развивающая задача: научиться выделять известные и неизвестные величины, строить краткую математическую модель и оценивать результат.
- Развивающая задача: аргументировать выбор способа решения и корректно проверять вычисления в паре.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к расчётам, связанным с расходами, скидками и планированием бюджета.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик понимает, что умение рассчитывать доли и проценты помогает принимать обоснованные решения в повседневной жизни.
- Ученик проявляет интерес к математике через разбор ситуаций с покупками, бюджетом и распределением ресурсов.
- Ученик ответственно относится к точности вычислений и не принимает решение о выгоде только по рекламному обозначению скидки.
- Ученик уважительно обсуждает способы решения одноклассников и готов пересмотреть собственный ответ при обнаружении ошибки.
Метапредметные
- Ученик извлекает из условия практической задачи данные, определяет вопрос и представляет связи между величинами в виде краткой записи.
- Ученик выбирает арифметическое действие или выражение для нахождения части величины, исходной величины либо процента.
- Ученик проверяет правдоподобие результата, сопоставляя его с исходной величиной и контекстом задачи.
- Ученик объясняет ход рассуждений, задаёт уточняющие вопросы и использует критерии взаимопроверки.
Предметные
- Ученик знает, что $p\% = \frac{p}{100}$, и связывает процент с соответствующей дробью.
- Ученик умеет находить дробь или процент от заданного числа умножением числа на соответствующую дробь.
- Ученик умеет находить число по известной дроби или проценту, деля известную часть на эту дробь.
- Ученик решает задачи на скидку и изменение величины, поясняя смысл каждого вычисления и записывая ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят содержание урока с личным опытом принятия решений при покупках и планировании расходов.
- Определяют, какие умения уже освоены и какое действие на уроке требуют дополнительной тренировки.
- Осознают ценность точных вычислений для ответственного выбора.
- Проявляют самостоятельность, выбирая практическое задание подходящего уровня.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель после обнаружения затруднения в практической задаче.
- Планируют решение: выделяют данные, устанавливают искомое и выбирают действие.
- Сверяют вычисления с предложенным алгоритмом и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям: верность модели, вычислений, единиц измерения и ответа.
Познавательные УУД
- Извлекают числовую информацию из условий о цене, скидке, объёме и расходах.
- Сравнивают способы представления процента: дробью, десятичной дробью и выражением.
- Моделируют практическую ситуацию выражением и проверяют, соответствует ли ответ условию.
- Находят несоответствие в рассуждении, если рассчитанная часть больше целого или скидка увеличивает цену.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение задачи в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Объясняют выбор действия и подтверждают его данными условия.
- Задают вопросы, помогающие уточнить смысл величин и способ решения.
- Согласуют общий ответ, доброжелательно указывая на конкретную вычислительную или смысловую ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с тремя практическими задачами: на нахождение процента от числа, числа по проценту и расчёт скидки; распечатать по одной карточке на пару.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы трёх уровней; распечатать по одной на каждого ученика с запасом в 3 экземпляра.
- Подготовить карточки проверки с ответами к заданиям самостоятельной работы; выдавать после выполнения.
- Вывести на экран ценники условного магазина: товар за 2400 рублей со скидкой 15%, товар за 1600 рублей со скидкой 25%, товар за 2000 рублей с предложением «сначала повышение на 10%, затем скидка 10%».
- Заранее записать на доске пустую схему: «Что известно? — Что найти? — Как связаны величины? — Как проверить ответ?»
- Подготовить цветные карточки или стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить таймер для коротких парных и индивидуальных заданий.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для демонстрации ценников; при отсутствии оборудования распечатать их по одной карточке на парту.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и включить учеников в практическую проблему выбора покупки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь и ручка. Сегодня будем не долго обсуждать правила, а проверять их на практических ситуациях. Посмотрите на экран: на одном ценнике написано «скидка 20%», на другом — «минус 300 рублей». Как вы думаете, можно ли сразу определить, какое предложение выгоднее? Пока не называйте окончательный ответ — сначала выясним, каких данных нам не хватает." | Готовят тетради, рассматривают ценники и предполагают: «Нужна исходная цена», «Нужно вычислить размер скидки». |
2 мин | "Представьте, что вы выбираете покупку на собственные карманные деньги. Важно не просто увидеть крупную цифру скидки, а понять, сколько рублей вы заплатите. За полминуты запишите свою первую мысль, затем обсудите её с соседом. В приёме «Подумай — обсуди в паре — поделись» ценна не скорость, а объяснение. Кто готов, назовите, что требуется узнать для честного сравнения предложений?" | Записывают предположение, обсуждают его в паре и формулируют ответы: «Нужны первоначальные цены», «Нужно найти цену после скидки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы верно заметили, что надпись о скидке сама по себе не отвечает на вопрос о выгоде. Чтобы сравнить предложения, нам понадобятся способы уверенно работать с дробями и процентами. Сначала проверим, какие опорные знания у нас уже есть."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить связь процентов и дробей и выявить, какие практические действия ещё вызывают затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Запишите быстро, не заглядывая в записи: чему равны 50%, 25% и 10% в виде дроби? На экране оставляю три равенства с пропусками: 50% = __, 25% = __, 10% = __. У вас одна минута на индивидуальную работу. Затем сравните ответы с соседом и объясните, почему процент можно записать как дробь со знаменателем 100. Я попрошу не только назвать ответ, но и показать, как его получили." | Заполняют: 50% = 1/2, 25% = 1/4, 10% = 1/10; сверяют ответы в паре и объясняют, что процент означает сотую часть. |
3 мин | "Решим устно две короткие ситуации. В классе 24 ученика, четверть класса пришла пешком: сколько это человек? А сколько рублей составляет 10% от 800 рублей? Назовите действие и ожидаемый результат. Если получилась дробная часть человека, проверьте, не потеряли ли вы смысл условия. Отметьте для себя, какое из двух действий уверенно получается, а где нужна подсказка." | Отвечают: «24 разделить на 4, получится 6 человек»; «10% от 800 — это 80 рублей». Отмечают затруднение, если не могут выбрать действие. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что процент можно представить дробью и найти часть умножением. Но жизненные задачи бывают разными: иногда известна вся сумма, иногда — только часть. Сейчас посмотрим, как сформулировать проблему, когда привычного правила недостаточно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать затруднение и совместно определить план поиска способов решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Прочитайте условие на экране: после скидки 20% куртка стоит 3200 рублей. Сколько она стоила до скидки? Не пытайтесь угадать ответ по виду чисел. Запишите, что известно и что требуется найти. Можно ли просто найти 20% от 3200? Объясните, почему это действие даст или не даст ответ на вопрос." | Записывают известное: цена после скидки 3200 рублей, скидка 20%; неизвестно: цена до скидки. Замечают: «20% надо найти не от 3200, а от первоначальной цены». |
2 мин | "Сформулируйте, чего нам не хватает для решения. Как представить полную цену: сколько процентов она составляет? Какими шагами можно восстановить целое по известной части? Договоримся о цели: научиться разбирать практическую задачу, выбирать действие и проверять, имеет ли ответ смысл. Запишем план: определить целое и часть, построить выражение, вычислить, проверить." | Предлагают цель урока и записывают план решения: «Цена после скидки — 80% исходной цены; нужно найти целое по его части». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили важное различие: найти процент от известного числа и найти исходное число по его части — не одно и то же. Теперь проверим на примерах, как связаны часть и целое, и выведем удобные способы решения."
Этап 4. Открытие нового знания через практические задачи (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить способы нахождения части от целого и целого по известной части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем в парах. Первая задача: в семейном бюджете на продукты запланировано 18 000 рублей; 2/3 этой суммы составляют расходы на овощи, фрукты и крупы. Сколько рублей отведено на эти продукты? Запишите выражение и поясните, что означает каждая его часть. Если вы получите результат больше 18 000 рублей, остановитесь и проверьте модель. У вас три минуты, затем одна пара покажет решение." | Решают в паре: 18 000 × 2/3 = 12 000 рублей. Один ученик объясняет вычисление, второй проверяет умножение и смысл ответа. |
3 мин | "Теперь поменяем условие. На продукты потратили 12 000 рублей, и это составило 2/3 запланированной суммы. Как восстановить весь бюджет? Сначала ответьте словами: 12 000 рублей — это какая часть целого? Затем запишите действие. Не путайте задачу на нахождение части с задачей на нахождение целого по части." | Предлагают решение: 12 000 ÷ 2/3 = 18 000 рублей; объясняют, что известная часть делится на дробь, которой она соответствует. |
3 мин | "Обобщим на проценты. Если товар стоит 2400 рублей и скидка равна 15%, сколько составит скидка и сколько нужно заплатить? На доске фиксирую подсказку: процент переводим в дробь от 100, скидку вычитаем из исходной цены. Сформулируйте, чем отличается вычисление скидки от вычисления цены после скидки. Запишите в тетради короткий алгоритм, который можно будет использовать в магазине." | Считают: 2400 × 15/100 = 360 рублей; 2400 − 360 = 2040 рублей. Записывают алгоритм и поясняют разницу между размером скидки и новой ценой. |
Эталон решения
Задача 1: $18\,000 \cdot \frac{2}{3} = 12\,000$ рублей. Задача 2: $12\,000 : \frac{2}{3} = 12\,000 \cdot \frac{3}{2} = 18\,000$ рублей. Задача 3: размер скидки $2400 \cdot \frac{15}{100} = 360$ рублей; цена после скидки $2400 - 360 = 2040$ рублей.
Запись в тетрадях
- Чтобы найти дробь от числа, умножаем число на эту дробь.
- Чтобы найти число по его известной дроби, делим известную часть на соответствующую дробь.
- Чтобы найти процент от числа, умножаем число на дробь, соответствующую проценту: $p\% = \frac{p}{100}$.
- Чтобы найти цену после скидки, находим сумму скидки и вычитаем её из первоначальной цены.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появились способы для двух разных вопросов: найти часть от известного целого и восстановить целое по известной части. Мы также отделили размер скидки от цены после скидки. Теперь закрепим выбор действия на коротких задачах, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор модели и вычислительного действия в ситуациях с дробями и процентами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Раздаю карточки на пару. В каждой задаче один участник сначала объясняет модель, второй проверяет её, затем поменяйтесь ролями. Смотрите не только на числа, но и на вопрос задачи. На карточке три ситуации, выбирайте порядок сами, но выполните не меньше двух. Я буду оценивать не скорость, а понятное объяснение." | Получают карточку, распределяют роли и выбирают порядок выполнения задач. |
4 мин | "Задача А: в бутылке 1,5 литра сока, за обедом выпили 2/5 содержимого. Сколько литров выпили? Задача Б: 30% накоплений составляют 900 рублей. Сколько рублей накоплено всего? Задача В: на товар ценой 1600 рублей действует скидка 25%. Сколько заплатит покупатель? Запишите выражение и единицы измерения. При взаимопроверке попросите партнёра объяснить, почему здесь нужно умножать или делить." | Решают минимум две задачи: А — 1,5 × 2/5 = 0,6 л; Б — 900 ÷ 0,3 = 3000 рублей; В — 1600 − 1600 × 0,25 = 1200 рублей. Обмениваются объяснениями. |
2 мин | "Проверим один ответ вместе. Для накоплений 900 рублей — это 30% или 0,3 целого; поэтому делим 900 на 0,3 и получаем 3000 рублей. Как проверить? Найти 30% от 3000. Сверьте ответы и подчеркните в своей записи место, где было важно определить, известна часть или целое." | Проверяют: 3000 × 0,3 = 900 рублей. Исправляют вычисления и подчёркивают определение известной части и целого. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что одна и та же операция не подходит ко всем задачам: сначала надо понять, что дано — целое или его часть. Сейчас каждый самостоятельно решит задачу, а затем проверит себя по критериям, не полагаясь на ответ соседа."
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (9 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение выбирать способ решения и оценивать правдоподобие ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Выберите один из двух вариантов карточки: базовый или повышенный. В базовом задании три короткие задачи, в повышенном — две задачи и дополнительный вопрос на сравнение. Выбор самостоятельный; если сомневаетесь, начните с базового. Критерии проверки такие: верно выделены данные, выбрано действие, показаны вычисления и записан ответ с единицами." | Выбирают карточку подходящего уровня, читают критерии и готовят место для решения. |
5 мин | "Базовый вариант: 1) Найдите 3/8 от 640 рублей. 2) 45% числа равны 180; найдите число. 3) Рюкзак стоил 2400 рублей, скидка — 15%; найдите новую цену. Повышенный вариант: 1) 40% месячных накоплений составляют 1200 рублей; найдите все накопления. 2) Куртка за 5000 рублей подешевела на 20%; затем к новой цене применили скидку 10%. Найдите итоговую цену и сравните её с первоначальной. Работайте самостоятельно: запишите решение так, чтобы другой человек понял, почему выбрано именно это действие." | Индивидуально решают выбранный вариант. Для базового получают 240 рублей, 400, 2040 рублей; для повышенного — 3000 рублей и 3600 рублей, то есть на 1400 рублей дешевле первоначальной цены. |
3 мин | "Откройте карточку самопроверки. Сначала сравните способ, затем ответ — так легче найти ошибку, а не просто переписать результат. Поставьте один балл за верную модель, один за вычисления и один за пояснение с ответом. Если обнаружили ошибку, исправьте её другим цветом и подпишите, на каком шаге она возникла. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить оба типа задач, жёлтую — если нужна тренировка одного способа, красную — если затрудняетесь выбрать действие." | Сверяют решения, выставляют себе баллы по трём критериям, исправляют ошибки и показывают цвет карточки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что важно не только посчитать, но и правильно понять условие. Если ошибка была в вычислении — полезна проверка, если в выборе действия — возвращаемся к вопросу, известна ли часть или целое. Теперь применим это различие к более хитрому предложению магазина."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить освоенные способы к сравнению предложений, оценить собственный прогресс и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернёмся к вопросу о скидках. На экране товар стоит 2000 рублей. Магазин сначала повышает цену на 10%, а потом объявляет скидку 10%. Вернётся ли цена к 2000 рублям? Обсудите в паре 30 секунд, затем назовите вычисления, а не только мнение. Какой практический вывод можно сделать о необходимости смотреть на исходную цену?" | Обсуждают и считают: после повышения цена 2200 рублей; скидка 10% от 2200 равна 220 рублям; итоговая цена 1980 рублей. Делают вывод: одинаковые проценты применяются к разным основаниям. |
2 мин | "Заполните билет на выход: одним предложением закончите фразу «Чтобы найти число по известным 25%, я…» и приведите маленький числовой пример. Затем отметьте, какое действие сегодня стало понятнее и какой вопрос остался. Это не оценка отметкой, а способ определить, что стоит повторить." | Пишут: «делю известную часть на 0,25» и приводят пример, например 50 ÷ 0,25 = 200. Записывают один освоенный способ и оставшийся вопрос. |
2 мин | "Домашнее задание выберите по уровню: обязательный вариант выполняют все, повышенный и дополнительный — по желанию. Запишите задание и проверьте, что в каждом решении будет указано, что является целым, что частью и как проверен ответ. Перед выходом ответьте коротко: чем отличается нахождение 20% от числа от нахождения числа, если известны его 20%?" | Записывают выбранное задание; отвечают: «В первом случае умножаем известное целое на 0,2, во втором делим известную часть на 0,2». |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены все задания выбранного варианта, правильно выбраны действия, показаны вычисления, приведены единицы измерения и выполнена проверка хотя бы одного ответа.
- "4" — верно решено большинство заданий; допущена не более чем одна вычислительная ошибка, при этом способ решения и понимание связи части с целым показаны правильно.
- "3" — верно решена хотя бы одна задача, но в остальных есть ошибки выбора действия или вычисления; ученик может по подсказке определить, где известны часть и целое.
- При формирующем оценивании учитывать не только итоговое число, но и обоснование модели, исправление ошибки и корректность взаимопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как найти дробь или процент от известной величины? | Проверить осознание способа нахождения части от целого. |
Что помогло понять, когда нужно делить, а не умножать? | Выявить, различает ли ученик известную часть и исходное целое. |
Какой шаг в самостоятельной работе оказался самым трудным? | Определить затруднения в построении модели, вычислениях или самопроверке. |
Какой расчёт из сегодняшних задач пригодится вам вне школы? | Оценить связь учебного материала с повседневным опытом и личную значимость темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы применили дроби и проценты к бюджету, накоплениям и скидкам. Вы научились отличать нахождение части от нахождения целого по известной части и проверять, насколько правдоподобен ответ. Частая ошибка — считать скидку от цены после скидки, а не от первоначальной цены. Пользуйтесь записью условия и проверяйте, к какой величине относится процент. На следующем уроке продолжим решать практические задачи и сравнивать разные способы расчёта."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение заданной дроби или процента от числа и две на нахождение числа по известной дроби или проценту. В каждой задаче записать краткую модель и ответ с единицами. | Закрепить выбор между умножением и делением; при проверке смотреть, объяснено ли, что является частью и целым. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи о скидках и расходах: найти размер скидки, цену после скидки и исходную сумму по известному проценту. В одной задаче выполнить проверку обратным действием. | Научиться применять алгоритм к реальным денежным ситуациям; при проверке обратить внимание на основание, от которого вычисляется процент. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о покупке или планировании бюджета с двумя последовательными изменениями цены либо расходов, решить её и пояснить, почему проценты на разных этапах не обязательно считаются от одной и той же величины. | Развивать умение создавать математическую модель и аргументировать решение; при проверке оценить корректность условия, вычислений и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: как представить $p\%$ в виде дроби? Что сделать, чтобы найти $\frac{3}{5}$ от 500? Как найти число, если 40% этого числа равны 120? Почему после повышения цены на 10% и последующего снижения на 10% исходная цена не обязательно восстановится?
