Приближение числа
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться округлять десятичные дроби до заданного разряда, объяснять выбор цифры при округлении и применять приближённые значения в практической задаче.
- Сформировать представление о приближённом значении числа, знаках приближённого равенства и правилах округления десятичных дробей.
- Научиться определять разряд, до которого выполняется округление, и использовать цифру следующего разряда для принятия решения.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ записи результата и проверять разумность полученного ответа.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за точность результата и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что точность числового результата зависит от цели измерения и выбранного разряда округления.
- Проявляют интерес к применению математики в измерениях, инженерии, торговле и повседневной жизни.
- Принимают необходимость самопроверки и корректного объяснения собственного решения.
- Оценивают вклад аккуратности и честного указания точности в получение надёжного результата.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи информацию о требуемой точности результата.
- Планируют последовательность округления и контролируют её выполнение.
- Сравнивают точное и приближённое значения, формулируют вывод о погрешности записи.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор ответа.
- Используют таблицу разрядов и цифровую запись как средство математической коммуникации.
Предметные
- Знать понятия «приближённое значение», «округление», «точное значение» и знак приближённого равенства.
- Уметь определять разряд округления в десятичной дроби.
- Уметь округлять десятичные дроби до единиц, десятых, сотых и других заданных разрядов.
- Уметь объяснять результат правилом: если следующая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, цифра разряда не изменяется; если 5, 6, 7, 8 или 9, увеличивается на единицу.
- Уметь применять округление в задаче с реальным измерительным и финансовым контекстом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения округления через связь с измерениями и практическими расчётами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Осознают ценность точности и понятной записи математического результата.
- Корректно воспринимают ошибку как основание для уточнения алгоритма.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют алгоритм округления и действуют по его шагам.
- Сверяют результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Выбирают необходимую помощь при затруднении.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию о разряде и соседней цифре.
- Моделируют число с помощью таблицы разрядов.
- Сравнивают варианты округления и выявляют закономерность.
- Строят логическое объяснение правила округления.
- Переносят алгоритм на новую задачу с практическим содержанием.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ полным предложением с математическим обоснованием.
- Обсуждают решение в паре и задают вопрос о непонятном шаге.
- Слушают альтернативное решение и корректно оценивают его.
- Распределяют роли при разборе практической задачи.
- Используют математические термины «разряд», «округление», «приближённое значение».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами измерений: 1,73 м, 2,486 кг, 149,6 рубля.
- Вывесить таблицу разрядов: единицы, десятые, сотые, тысячные; выделить цифру разряда округления и следующую цифру.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: минимальный, базовый и повышенный варианты.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной карточке на пару.
- Подготовить на каждую парту линейку или изображение шкалы отрезка с отметками десятых.
- Подготовить слайд или плакат с алгоритмом округления, который будет заполнен вместе с классом.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску либо маркеры, доску и магниты.
- Разделить задания на обязательную часть и задания по выбору, чтобы подростки могли определить подходящий уровень сложности.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость приближённых значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобится внимательность: мы будем учиться записывать числа так, чтобы результат был достаточно точным и при этом удобным для использования." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на работу. |
3 мин | Учитель показывает на экране надпись: «Рост спортсмена — 1,734 м; масса посылки — 2,486 кг; стоимость покупки — 149,6 рубля». Учитель спрашивает: "Нужно ли в каждом случае сохранять все цифры? Как можно записать рост для анкеты, массу для перевозчика и стоимость для устного сообщения? Обсудите ответ с соседом 30 секунд, затем поделитесь предложением." | Обсуждают в парах и формулируют варианты: «Рост можно записать как 1,73 м или 1,7 м, если точность несущественна»; «массу можно указать примерно 2,5 кг»; «стоимость — около 150 рублей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в жизни часто используют не точную длинную запись, а более короткое число с оговорённой точностью. Сегодня выясним, как получать такую запись по правилу."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о десятичной записи числа и разрядах цифр.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске число 27,438 и говорит: "Рассмотрите число. Назовите цифру в разряде единиц, десятых, сотых и тысячных. Не просто называйте цифру — объясните, какое значение она имеет в записи числа." | Называют: «2 — десятки, 7 — единицы, 4 — десятые, 3 — сотые, 8 — тысячные». Записывают разложение: $27{,}438=20+7+0{,}4+0{,}03+0{,}008$. |
3 мин | Учитель предлагает задания на доске: "В числе 5,672 подчеркните цифру сотых; в числе 18,049 назовите цифру тысячных; сравните 3,5 и 3,50. Что можно сказать о равенстве этих чисел?" Учитель использует приём «Быстрый опрос» и просит поднять карточку с ответом. | Подчёркивают цифру 7 в числе 5,672, называют цифру 9 в числе 18,049, отвечают: «3,5 и 3,50 — равные числа, ноль справа после запятой значения не меняет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что каждая цифра занимает определённый разряд и что соседние разряды помогают читать число с нужной точностью. Теперь проверим, как выбрать цифру, которая должна остаться в записи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать правило округления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два спорных варианта: $7{,}346\approx7{,}3$ и $7{,}346\approx7{,}4$. Учитель спрашивает: "Оба ответа выглядят возможными. Как решить, какой из них верен при округлении до десятых? Какая цифра должна помочь нам принять решение?" | Сравнивают варианты, предполагают: «Нужно посмотреть на цифру сотых»; «в числе 7,346 цифра сотых равна 4, поэтому десятые, вероятно, не изменятся». |
3 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Почему при округлении до десятых мы смотрим именно на сотые, а при округлении до сотых — на тысячные? Составьте план открытия правила: что найдём, что сравним и как проверим." Учитель фиксирует предложения на доске. | Формулируют цель: «Научиться округлять числа до заданного разряда». Предлагают план: определить нужный разряд, посмотреть на следующую цифру, выбрать — оставить или увеличить цифру. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: пока у нас нет общего правила выбора между двумя вариантами. Давайте откроем его на конкретных примерах и запишем алгоритм, которым затем каждый сможет пользоваться самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно зафиксировать правило округления десятичных дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |
|---|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует таблицу разрядов и говорит: "Округлим число 12,347 до сотых. Сначала найдём сотые: это цифра 4. Затем посмотрим на следующую, третью после запятой, цифру 7. Она показывает, нужно ли увеличить цифру сотых. Так как 7 больше 5, цифру 4 увеличиваем на 1 и все цифры справа отбрасываем. Получаем 12,35." Учитель аналогично показывает $8{,}241\approx8{,}24$. | Следят за выделением разрядов, проговаривают шаги: «Нужный разряд — сотые; следующая цифра — тысячные; 7 больше 5, поэтому 4 увеличивается; 1, 4 и 1 отбрасываются». Записывают два примера. | |
3 мин | Учитель задаёт вопрос: "Что произойдёт, если следующая цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4? Рассмотрим число 5,632 при округлении до десятых. Какая цифра останется?" Затем разбирает случай $9{,}95\approx10{,}0$ при округлении до десятых. | Отвечают: «Если следующая цифра меньше 5, цифра нужного разряда не изменяется». Получают $5{,}632\approx5{,}6$. Объясняют, что в числе $9{,}95$ цифра десятых 9 увеличивается, происходит переход через единицу, поэтому получается $10{,}0$. | |
3 мин | Учитель формулирует алгоритм на доске: "Первый шаг — определить разряд округления. Второй — подчеркнуть его цифру. Третий — посмотреть на цифру справа. Четвёртый — при цифре 0–4 оставить цифру без изменения, при цифре 5–9 увеличить на единицу. Пятый — все цифры справа заменить нулями или отбросить в десятичной части." Учитель просит одного ученика повторить алгоритм, а другого — привести собственный пример. | Повторяют алгоритм по шагам, составляют пример $18{,}276\approx18{,}3$ при округлении до десятых и объясняют его. |
Запись в тетрадях
Округление — замена числа близким числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении находят заданный разряд и смотрят на следующую цифру. Если она равна 0, 1, 2, 3 или 4, цифра заданного разряда не изменяется; если она равна 5, 6, 7, 8 или 9, цифру увеличивают на единицу. Остальные цифры справа отбрасывают. Знак приближённого равенства: $\approx$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий алгоритм: разряд, соседняя цифра, решение, запись результата. Проверим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем попробуем выполнить округление самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм округления через проговаривание действий и взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и говорит: "Используем приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Округлите 6,284 до десятых, 14,765 до сотых и 0,049 до сотых. В каждой записи подпишите цифру разряда округления и цифру, которая помогла принять решение. Одна пара объяснит первый пример у доски." | Решают в парах: $6{,}284\approx6{,}3$; $14{,}765\approx14{,}77$; $0{,}049\approx0{,}05$. Подписывают нужный и следующий разряды, один ученик объясняет решение у доски. |
3 мин | Учитель показывает ошибочную запись: $23{,}476\approx23{,}4$ при округлении до десятых. "Найдите ошибку, используя приём «Охота за ошибкой». Какая цифра была пропущена? Как исправить результат?" | Находят ошибку: «При округлении до десятых нужно смотреть на сотые, а это 7». Исправляют: $23{,}476\approx23{,}5$, формулируют обоснование. |
Эталон решения
Для $14{,}765$ при округлении до сотых цифра сотых равна 6, следующая цифра — 5. Так как $5\geq5$, цифру сотых увеличиваем на 1: $6+1=7$. Цифры справа отбрасываем. Получаем $14{,}765\approx14{,}77$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что главная ошибка возникает тогда, когда ученик смотрит не на соседнюю цифру или округляет не до того разряда. Перед самостоятельной работой ещё раз проверьте оба этих шага."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и применить его в практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор карточки: "Выполните обязательный базовый вариант. Если уверены в алгоритме, выберите повышенный. Записывайте не только ответ, но и разряд округления с цифрой справа. Работайте самостоятельно, на экране будет таймер пять минут." Базовый вариант: округлить $3{,}146$ до десятых, $8{,}257$ до сотых, $19{,}94$ до единиц. Повышенный вариант: округлить $0{,}995$ до сотых и $47{,}506$ до десятых. | Индивидуально решают выбранный вариант, подчёркивают разряд округления и следующую цифру. Получают базовые ответы: $3{,}1$; $8{,}26$; $20$. Для повышенного варианта: $1{,}00$; $47{,}5$. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске и говорит: "Проверьте каждую строку по трём критериям: выбран ли правильный разряд, рассмотрена ли следующая цифра, корректно ли записан результат. Ошибку не стирайте сразу: обозначьте место ошибки и исправьте рядом." | Сверяют решения с эталоном, отмечают найденные ошибки, исправляют их и ставят условный знак «+» напротив верных шагов. |
2 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "Длина маршрута равна 7,846 км. Для объявления пассажирам её нужно указать с точностью до десятых километра. Какое значение сообщить? Объясните, почему это не 7,8 и не 7,9 без обоснования." | Записывают: $7{,}846\approx7{,}8$ км, потому что при округлении до десятых смотрим на сотые: цифра 4 меньше 5. Формулируют ответ полным предложением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили алгоритм в вычислениях и в задаче с маршрутом. Осталось выяснить, что каждый из вас теперь умеет делать уверенно, а где ещё нужна тренировка."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "За одну минуту запишите правило округления и выполните пример $12{,}458\approx? $ до сотых. Внизу отметьте: зелёный — умею сам, жёлтый — иногда ошибаюсь, красный — нужна помощь." | Записывают правило, получают $12{,}46$, потому что цифра тысячных 8 больше 5, и отмечают цвет самооценки. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Перед уходом ответьте соседу на контрольный вопрос: какую цифру нужно рассматривать при округлении до десятых и почему?" | Фиксируют выбранный уровень задания, отвечают: «При округлении до десятых смотрим на цифру сотых, потому что она является следующей после нужного разряда». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания выбранного варианта, правильно определены разряды, приведено объяснение по правилу, практическая задача решена без ошибок.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх либо допущена одна вычислительная ошибка при правильно выбранном алгоритме; объяснение в основном полное.
- «3» — верно выполнено не менее одного задания, ученик определяет нужный разряд с помощью таблицы и понимает необходимость просмотра следующей цифры, но допускает ошибки в изменении цифры или записи результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно определить первым при округлении числа? | Проверка понимания начального шага алгоритма и выбора разряда. |
Какая цифра помогает решить, изменять ли цифру заданного разряда? | Выявление понимания связи между заданным и следующим разрядами. |
В каком примере сегодня вы сначала ошиблись и как исправили решение? | Выявление типичных затруднений и сформированности самоконтроля. |
Где в жизни может понадобиться приближённое значение числа? | Осознание практической значимости темы и перенос знания в реальный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять число близким приближённым значением и делать это не наугад, а по понятному алгоритму. Запомните главную проверку: сначала найдите заданный разряд, затем посмотрите на цифру справа. Типичная ошибка — округлять до одного разряда, а смотреть на цифру через один или изменять не ту цифру. На следующем уроке мы продолжим использовать приближённые значения в вычислениях и обсудим, как оценивать точность результата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на округление десятичных дробей до единиц, десятых и сотых; в каждом примере подчеркнуть заданный разряд и цифру справа. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на правильный выбор разряда и знак $\approx$. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания, включающие переход через десяток или единицу, например округление чисел вида 9,95 и 0,995; кратко объяснить каждый результат. | Формирует умение выполнять округление в сложных случаях; проверить перенос единицы и запись нулей после запятой. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу об измерении длины, массы или стоимости, где требуется округлить данные до заданной точности; указать, почему выбран именно этот разряд. | Развивает функциональную грамотность и умение создавать математическую модель; проверить реалистичность условия и обоснование точности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют приближённым значением числа? Какой знак используют при округлении? Какую цифру рассматривают при округлении до сотых? Что происходит с цифрой заданного разряда, если следующая цифра равна 7?»
