Свойства функций: как читать и исследовать зависимость величин
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле, таблице или графику определять область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства и характер изменения функции, обосновывая ответ не менее чем в трёх заданиях.
- Познакомить учащихся с понятиями области определения, области значений, нулей функции, промежутков знакопостоянства, возрастания и убывания функции.
- Сформировать умение исследовать свойства функции по её графику и устанавливать связь между графическим, табличным и аналитическим представлением зависимости.
- Развивать исследовательское мышление, умение выдвигать гипотезы, сравнивать результаты в парах и аргументировать выводы.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, уважение к мнению одноклассника и интерес к применению функций в естественных науках и будущих профессиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение функций для описания реальных процессов, например движения, изменения температуры или стоимости товара.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графиков и готовность самостоятельно выбирать уровень задания.
- Понимают ценность точного математического языка при обсуждении результатов наблюдения.
- Формируют ответственное отношение к совместной работе и конструктивному обсуждению различных гипотез.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, таблицы и формулы, переводят её из одной формы представления в другую.
- Сравнивают свойства нескольких функций, выделяют существенные признаки и формулируют обобщающий вывод.
- Планируют последовательность исследования, проверяют гипотезу и корректируют решение после обсуждения.
- Используют математическую речь для аргументации и связывают свойства функции с описанием явлений физики и экономики.
Предметные
- Знать определения области определения, области значений, нуля функции, промежутков знакопостоянства, возрастания и убывания функции.
- Уметь определять свойства функции по её графику и записывать ответ с использованием математических обозначений.
- Уметь находить нули линейной функции и устанавливать промежутки, где функция принимает положительные или отрицательные значения.
- Владеть алгоритмом исследования функции по графику и применять его к заданиям базового, повышенного и творческого уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока и выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
- Осознают практическую значимость функций для описания процессов в окружающем мире.
- Проявляют готовность принимать ошибку как источник уточнения гипотезы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и составляют последовательность действий по её изучению.
- Планируют работу с графиком, распределяют время между заданиями и контролируют полноту ответа.
- Сверяют результат с эталоном, находят неточность в записи промежутков и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и сигнала «Светофор».
Познавательные УУД
- Выделяют на графике точки пересечения с осями, участки подъёма и спуска, положительные и отрицательные значения.
- Строят логическое рассуждение от наблюдения к гипотезе и от гипотезы к доказательству.
- Моделируют зависимость величин с помощью таблицы и графика.
- Сравнивают функции и классифицируют их свойства по заданным признакам.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исследователь, проверяющий и докладчик.
- Формулируют уточняющие вопросы и аргументируют ответ ссылкой на график или формулу.
- Согласовывают общий вывод, корректно обсуждают расхождения и учитывают позицию партнёра.
- Представляют результат исследования классу в краткой и понятной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным графиком функции, таблицей значений и четырьмя графиками для исследовательской работы.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и комплект на каждую пару.
- Подготовить листы исследования функции с полями: область определения, область значений, нули, знакопостоянство, возрастание и убывание.
- Распечатать лист самооценки и карточки «Светофор» по одной на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «Сначала читаем оси; затем находим точки пересечения; после этого исследуем знак и направление изменения графика».
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов, линейки и черновики для парной работы.
- Проверить проектор или интерактивную доску; вывести на экран график зависимости пути от времени и график изменения температуры.
- Подготовить творческое задание с выбором контекста: движение, температура воздуха или стоимость поездки.
- Заранее распределить учащихся в пары с возможностью смены ролей в середине исследовательской работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать примеры, а исследовать функции как математические модели реальных процессов. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карточки «Светофор». В конце урока каждый сможет оценить, какое свойство функции он уже умеет определять уверенно." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, подготавливают тетради и карточки. |
2 мин | Учитель показывает на экране график зависимости пути велосипедиста от времени и спрашивает: "Что можно узнать по этому графику, даже не имея формулы? Когда движение ускорялось, когда прекращалось, какое расстояние было пройдено? Сегодня мы выясним, какие математические свойства позволяют отвечать на такие вопросы." | Рассматривают график, предполагают: «Можно узнать путь в разные моменты времени», «По наклону видно изменение скорости», «Горизонтальный участок означает остановку». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график хранит не только отдельные значения, но и целую информацию о поведении величины. Сейчас восстановим знания, которые помогут эту информацию прочитать."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции и координатной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что называют функцией. Сначала 30 секунд сформулируйте ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом. В ответе обязательно назовите зависимую и независимую величины." | Самостоятельно формулируют определение, затем обсуждают его в парах и предлагают ответы: «Функция устанавливает соответствие между аргументом и единственным значением функции». |
2 мин | Учитель записывает на доске $y=2x-4$ и спрашивает: "Что является аргументом? Как найти значение функции при $x=3$? Какая точка принадлежит графику?" Учитель просит одну пару объяснить решение, а другую — проверить. | Отвечают: «Аргумент — $x$, значение функции — $y$»; вычисляют $y=2\cdot3-4=2$; называют точку $(3;2)$ и проверяют подстановкой. |
2 мин | Учитель показывает график без подписей некоторых участков и задаёт проблемный вопрос: "Мы умеем находить отдельные точки. Но как по всему графику определить, при каких значениях функция существует, где она равна нулю и на каких участках возрастает? Какие сведения нам нужно научиться выделять?" | Называют затруднение: «Нужно описывать график целиком»; предлагают исследовать область допустимых значений, пересечения с осями и направление движения графика. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отдельной точки недостаточно, чтобы описать функцию. Нам нужен набор её свойств и порядок исследования. Сформулируем цель и построим план открытия нового знания."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести учащихся на самостоятельную формулировку цели и алгоритма исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: "Представьте, что вы аналитики и получили график температуры воздуха за сутки. Заказчик спрашивает: когда температура была положительной, в какой момент она равнялась нулю, на каком промежутке повышалась? Можно ли ответить на эти вопросы, если просто назвать несколько точек? Какой способ будет надёжным?" | Обсуждают в парах, отвечают: «Нужно рассмотреть весь график и выделить его участки»; «Нужно составить последовательный план чтения графика». |
2 мин | Учитель фиксирует предложения на доске и уточняет: "Сегодня наша цель — научиться исследовать свойства функции. Какие пункты должны войти в план? Расположите их логично: найти нули, определить область определения, изучить возрастание и убывание, найти область значений, установить знак функции." | Предлагают порядок: область определения, область значений, нули, знак, возрастание и убывание; записывают цель урока и план исследования. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования у нас есть. Теперь не будем получать свойства в готовом виде: проверим их на графике, выдвинем гипотезы и сами сформулируем определения."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (10 мин)
Цель этапа: исследовательским методом вывести смысл основных свойств функции и оформить алгоритм их определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре лист исследования и показывает график линейной функции $y=2x-4$ на отрезке $[-1;5]$. Реплика: "Работайте как исследователи. Сначала определите, какие значения $x$ представлены на графике, затем какие значения $y$ он принимает. Отмечайте на листе не только ответ, но и способ его получения. Помните: область определения читаем по горизонтальной оси, область значений — по вертикальной." | В парах определяют: область определения $[-1;5]$, область значений $[-6;6]$; проводят взглядом по графику отрезки проекций на оси и объясняют выбор. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Где график пересекает ось $Ox$? Что означает такая точка для функции? Где график расположен выше оси $Ox$, а где ниже? Сформулируйте правило своими словами." Учитель фиксирует точку пересечения на доске. | Находят нуль $x=2$, формулируют: «Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю»; записывают $f(x)>0$ при $x>2$, $f(x)<0$ при $x<2$ на данном отрезке. |
4 мин | Учитель предлагает провести пальцем по графику слева направо: "Что происходит с координатой $y$, когда $x$ увеличивается? На каком промежутке график поднимается, а на каком опускается? Сравните с соседней парой и подготовьте один доказательный комментарий со словами «потому что»." | Проводят исследование графика, делают вывод: функция возрастает на всём отрезке $[-1;5]$, так как при увеличении $x$ значение $y$ увеличивается; формулируют ответ партнёру. |
Запись в тетрадях
- Область определения функции — множество допустимых значений аргумента $x$.
- Область значений функции — множество значений $y$, которые принимает функция.
- Нуль функции — значение аргумента, при котором $f(x)=0$.
- Функция положительна на тех промежутках, где её график расположен выше оси $Ox$, и отрицательна там, где график расположен ниже оси $Ox$.
- Если при увеличении $x$ значения функции увеличиваются, функция возрастает; если уменьшаются, функция убывает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли, что каждое свойство связано с определённым способом чтения графика. Теперь проверим этот алгоритм на разных графиках и научимся объяснять ответ не отдельным словом, а полным рассуждением."
Этап 5. Первичное закрепление в парах и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить новые понятия к графическим моделям и связать свойства функции с задачами физики и экономики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам два графика: зависимости пути от времени и изменения температуры в течение дня. Говорит: "Выберите один график. Ответьте на четыре вопроса: какова область определения; где функция возрастает; где постоянна или убывает; что означает выбранный участок в реальной ситуации. Подчеркните в ответе математическое свойство и его жизненную интерпретацию." | Пары выбирают график, отмечают нужные участки цветными стикерами и записывают выводы. Например: «Путь возрастает, потому что расстояние увеличивается с течением времени»; «Температура убывает после полудня». |
2 мин | Учитель приглашает две пары к доске и уточняет: "Не называйте только промежуток. Покажите его на графике и объясните, почему именно этот участок отвечает условию. Если вы работаете с температурой, скажите, что означает нуль функции в данном контексте." | Представители пар показывают участки и аргументируют ответы; остальные отмечают совпадения и задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель проводит краткую проверку «Светофор»: "Зелёная карточка — вы уверенно находите нули и промежутки знакопостоянства; жёлтая — нужна ещё одна тренировка; красная — запишите конкретный вопрос на стикере." | Поднимают карточки, формулируют вопросы: «Как читать область значений у незамкнутого графика?» или «Как отличить убывание от постоянства?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Функция описывает не только математический объект, но и движение, температуру, расход денег. Вы уже умеете переводить график на язык реальной ситуации; теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание свойств функции и предоставить учащимся выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть обязательный базовый уровень и два варианта продолжения. Выполните базовое задание все, затем выберите повышенный или творческий уровень. Работайте самостоятельно, но после сигнала сравните только ответы с эталоном на экране." | Выбирают карточку и записывают номер выбранного уровня. |
4 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: "По графику функции на отрезке $[-4;4]$ определите область определения, область значений, нули и промежутки знакопостоянства. Повышенный уровень: "Сравните два графика и укажите, какая функция возрастает на большем промежутке, обоснуйте ответ". Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные наводящие вопросы, но не сообщает готовый ответ. | Самостоятельно читают график, записывают свойства полными математическими фразами, при необходимости используют памятку. |
3 мин | Учитель показывает эталонные ответы и говорит: "Проверьте не только совпадение результата, но и полноту записи. За каждое свойство поставьте знак «+», если оно определено с обоснованием, и «?» — если есть сомнение. Исправления выполняйте другим цветом." | Сверяют работу с эталоном, исправляют неточности, отмечают затруднившийся пункт. |
Творческое задание
Учащиеся, выбравшие творческий уровень, составляют эскиз графика зависимости стоимости поездки на такси от времени поездки с учётом фиксированной посадочной платы. Они отмечают, какой участок будет возрастать, что означает область определения и как изменится график при увеличении фиксированной платы. Возможный вывод: стоимость возрастает с увеличением времени поездки, а изменение фиксированной платы сдвигает график вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие свойства уже стали понятными, а какие требуют повторной тренировки. В завершение объединим все свойства в единый алгоритм и проверим, можем ли применить его к новой функции."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм исследования функции, оценить достижение цели и сформулировать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите порядок исследования функции одним предложением на стикере. Затем объединитесь в пары, выберите наиболее точную формулировку и прикрепите её к доске. Мы составим общий алгоритм класса." | Индивидуально записывают алгоритм, в парах объединяют варианты и предлагают общий порядок: область определения, область значений, нули, знак, возрастание и убывание. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Теперь ответьте на исходный вопрос: как по графику температуры определить моменты перехода через нуль и периоды повышения температуры? Назовите свойство и способ чтения графика." | Отвечают: «Моменты перехода через нуль — точки пересечения с осью $Ox$; повышение температуры — промежутки возрастания графика». |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Закончите три фразы: «Я научился...», «Мне нужно потренироваться...», «В реальной жизни свойства функций помогают...». Поставьте себе оценку от 1 до 3 за умение читать график и сдайте лист на выходе." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и сдают его учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от наблюдения за графиком до самостоятельного исследования его свойств. Вы научились видеть за линией на координатной плоскости изменение реальной величины. Домашняя работа позволит закрепить алгоритм и создать собственную математическую модель."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены все основные свойства функции на самостоятельной карточке, ответ записан с интервалами или отрезками, приведено обоснование по графику; творческое задание выполнено содержательно.
- «4» — правильно определены не менее четырёх свойств, допущена одна неточность в записи промежутка или формулировке, ход рассуждения в целом понятен.
- «3» — правильно определены область определения и хотя бы одно из свойств знака или изменения функции, но есть две и более ошибки в чтении графика или записи ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о свойствах функции и какое свойство можете определить уверенно? | Выявление осознанности предметного результата и степени усвоения понятий. |
Как по графику найти нули функции и промежутки знакопостоянства? | Проверка понимания связи между положением графика и знаком функции. |
Какое действие алгоритма исследования оказалось самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Где в физике, экономике или повседневной жизни можно использовать свойства функций? | Оценка сформированности межпредметной связи и функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились исследовать функцию не по отдельным точкам, а как целостную зависимость. Важно не путать область определения с областью значений и всегда уточнять, по какой оси читается свойство. Если в записи промежутка возникла ошибка, вернитесь к графику и проверьте, какие значения действительно представлены. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем использовать их свойства для решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по графикам функций: определить область определения и область значений, найти нули, указать промежутки знакопостоянства и промежутки возрастания или убывания. | Закрепить алгоритм чтения графика; при проверке обратить внимание на точность границ промежутков и правильное использование терминов. |
Средний (повышающий) | Исследовать две линейные функции по формулам и построенным графикам: найти нули, определить знак и сравнить их возрастание. Записать вывод в виде связного объяснения из 4–5 предложений. | Связать формулу и график; проверить умение обосновывать свойства, а не только перечислять ответы. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную модель зависимости из реальной ситуации: путь от времени, температура от времени или стоимость покупки от количества товара. Задать таблицу минимум из 5 значений, построить эскиз графика и описать не менее четырёх его свойств. | Развивать творческое и функциональное математическое мышление; при проверке оценить реалистичность модели, корректность графика и полноту исследования. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют областью определения функции? Как найти нуль функции по графику? Где расположена часть графика, соответствующая положительным значениям функции? Как определить промежуток возрастания?»
