Умножение и деление степеней с одинаковым основанием: закрепление
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться безошибочно применять свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием при выполнении не менее 4 из 5 предложенных заданий и объяснять выбор действия.
- Закрепить правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием и научиться различать условия их применения.
- Развивать умение преобразовывать алгебраические выражения, находить и исправлять ошибки в рассуждениях.
- Формировать навыки сотрудничества при парной проверке и аргументированного объяснения решения.
- Воспитывать ответственное отношение к самопроверке, точности записи и выбору уровня сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных вычислений и преобразований для дальнейшего изучения алгебры и применения математических моделей.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат своей работы.
- Понимают ценность взаимопомощи и корректного обсуждения решения в паре.
- Развивают положительное отношение к преодолению затруднений при работе с буквенными выражениями.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований выражения и проверяют полученный результат.
- Сравнивают разные способы решения, выделяют существенные признаки условий применения правил.
- Работают с математической информацией, представленной в виде выражений, равенств и алгоритмов.
- Формулируют вопрос, объясняют ход рассуждения и используют обратную связь при парной проверке.
Предметные
- Знать правила $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ и $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$.
- Уметь умножать и делить степени с одинаковыми основаниями.
- Уметь находить ошибки в применении свойств степеней и исправлять их.
- Владеть навыком преобразования выражений со степенями и записи промежуточных действий.
- Уметь объяснять, почему показатели степеней при умножении складываются, а при делении вычитаются.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: повысить точность и скорость преобразования степеней.
- Оценивают собственную готовность применять правила без подсказки.
- Проявляют уважение к иному способу рассуждения одноклассника.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу на закрепление свойств степеней.
- Планируют действия при преобразовании выражения.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют найденные ошибки.
- Оценивают достижение цели по количеству правильно выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Воспроизводят и применяют алгоритмы умножения и деления степеней.
- Классифицируют выражения по виду действия и основанию степени.
- Анализируют ошибочные равенства и устанавливают причину ошибки.
- Моделируют произведение и частное степеней через разложение на множители.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход решения, используя математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о выборе правила.
- Согласовывают общий ответ при парной работе.
- Корректно формулируют замечания и принимают аргументированную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя правилами: $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ и $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить карточки для парной работы с выражениями и ошибочными равенствами — по одной на каждую пару.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею умножать степени», «Я умею делить степени», «Я могу объяснить ошибку».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Вывести на экран или написать на доске алгоритм: определить основание; выбрать действие; применить правило; проверить знак и показатель.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для самостоятельной работы и парной проверки.
- Организовать посадку парами; обеспечить каждого ученика тетрадью, ручкой и черновиком.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость точного применения свойств степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, черновик. Сегодня мы не будем просто повторять правила, а проверим, насколько уверенно умеем использовать их в разных ситуациях." | Готовят рабочее место, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $2^3\cdot2^4$ и говорит: "Представьте, что вы проверяете формулу в таблице или компьютерной программе. Ошибка в одном показателе может изменить весь результат. Как можно быстро преобразовать это выражение? Какие данные нужно заметить прежде всего?" | Отвечают: "Основания одинаковые — 2, поэтому показатели складываются"; записывают $2^3\cdot2^4=2^7$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, умеем ли применять правила не только по памяти, но и осознанно: выбирать нужное правило, объяснять его и находить ошибки. Начнём с актуализации опорных знаний."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения степени и правила действий со степенями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре»: "Сначала 30 секунд каждый самостоятельно запишите, что означает $a^n$. Затем обсудите с соседом, почему при умножении степеней показатели складываются. Через минуту я попрошу несколько пар сформулировать правило." | Индивидуально записывают определение степени, затем обсуждают его в парах и формулируют: "$a^n$ — произведение $n$ одинаковых множителей $a$". |
3 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Определите, какое правило нужно применить: $x^4\cdot x^2$, $y^9:y^3$, $5^2\cdot5^3$. Не называйте только ответ — объясните выбор действия." | Отвечают: "$x^6$, потому что показатели складываются"; "$y^6$, потому что при делении показатели вычитаются"; "$5^5$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что основание остаётся тем же, а изменяется показатель. Теперь выясним, какие ошибки чаще всего возникают при выборе правила и как их предупреждать."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки и сформулировать личную цель закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три равенства: $a^3\cdot a^5=a^{15}$, $b^8:b^2=b^4$, $c^6\cdot d^2=(cd)^8$. Учитель говорит: "Отметьте мысленно верные и неверные равенства. Обсудите в паре одну минуту: где ошибка и как её доказать?" | В парах находят ошибки в первом и третьем равенствах, объясняют: "При умножении показатели складываются, а основания должны быть одинаковыми". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Что должно получаться в конце без подсказки? Выберите формулировку: быстро применять правило, объяснять решение или находить ошибку. Можно выбрать две цели." | Формулируют личные цели: "научиться выбирать правило"; "перестать путать умножение и деление"; "проверять равенства". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение понятно: иногда мы видим степени, но не проверяем, одинаковы ли основания и какое действие выполняется. Сейчас построим надёжный алгоритм и применим его к различным выражениям."
Этап 4. Систематизация алгоритма и совместное закрепление (9 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразования произведения и частного степеней через объяснение и моделирование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Посмотрите на доску. Алгоритм состоит из четырёх шагов: определите действие; проверьте, одинаковы ли основания; оставьте основание и выполните действие с показателями; проверьте результат. Разберём выражение $p^7\cdot p^3$. Почему показатель равен 10?" Затем показывает разложение: $p^7\cdot p^3=p\cdot p\cdot...\cdot p=p^{10}$. | Проговаривают шаги алгоритма, записывают преобразование $p^7\cdot p^3=p^{7+3}=p^{10}$ и объясняют, что всего получилось 10 множителей $p$. |
5 мин | Учитель раздаёт парам карточки: $m^9:m^4$, $z^2\cdot z^6$, $q^{10}:q^7$, $r^3\cdot r^5$. Инструкция: "В каждой паре один ученик решает первые два выражения, второй — следующие два. Затем объясните друг другу каждую строку и сравните записи." | Решают выражения, проговаривают правила партнёру: $m^5$, $z^8$, $q^3$, $r^8$. При расхождении сверяют основание и действие. |
Запись в тетрадях
Записывают: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $a^m:a^n=a^{m-n}$, $a\ne0$. Алгоритм: 1) определить действие; 2) проверить одинаковые основания; 3) сохранить основание; 4) сложить или вычесть показатели; 5) проверить результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что правило работает только при одинаковом основании. Теперь перейдём от прямого применения к заданиям, где нужно объяснить ошибку и выбрать способ исправления."
Этап 5. Первичное закрепление: анализ ошибок (7 мин)
Цель этапа: научить распознавать и исправлять типичные ошибки в преобразовании степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с равенствами: $x^4\cdot x^3=x^{12}$; $a^9:a^2=a^7$; $b^5\cdot c^2=(bc)^7$. Говорит: "Работаем приёмом "Найди ошибку": определите верные равенства, ошибочные перепишите правильно и объясните причину ошибки. В ответе обязательно используйте слова "одинаковые основания", "сложение" или "вычитание показателей"." | В парах исправляют: $x^4\cdot x^3=x^7$; второе равенство верно; третье нельзя преобразовать по данному правилу, так как основания различны. Формулируют объяснение. |
4 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите карточку зелёной стороной, если считаете равенство верным, красной — если неверным. Обоснуйте хотя бы один ответ. Если мнение пары отличается от мнения класса, приведите доказательство." | Показывают карточки, аргументируют: "В первом примере показатели нельзя умножать"; "В третьем основания b и c разные"; задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная защита от ошибки — не механически считать показатели, а сначала проверить основание и действие. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств степеней и скорректировать затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый содержит прямое применение правил, средний — преобразование нескольких действий, повышенный — поиск параметра и объяснение. Работайте молча, записывайте промежуточные шаги. Если закончили раньше, проверьте каждое основание и каждый показатель." | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Базовый: $a^3\cdot a^5$, $b^8:b^3$, $x^2\cdot x^7$. Средний: $(m^4\cdot m^2):m^3$, $p^9:(p^2\cdot p^3)$. Повышенный: найти $n$, если $q^n\cdot q^4=q^{11}$, и объяснить решение. |
4 мин | Учитель выводит эталон: $a^8$, $b^5$, $x^9$; $m^3$, $p^4$; $n=7$. Инструкция: "Проверьте решения цветной ручкой. За каждое задание поставьте плюс или отметьте место ошибки. Исправьте хотя бы одну ошибку самостоятельно, не стирая первоначальную запись." | Сверяют решения, отмечают ошибки, выполняют исправления. Определяют результат: количество верных заданий и причину ошибки, если она есть. |
Эталон решения
$((m^4\cdot m^2):m^3)=m^{4+2-3}=m^3$. Сначала применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием, затем правило деления. Для уравнения $q^n\cdot q^4=q^{11}$ получаем $q^{n+4}=q^{11}$, поэтому $n+4=11$ и $n=7$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже применим, но важно сохранять порядок действий. Осталось связать правило с реальной ситуацией и оценить собственный прогресс."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, соотнести результат с личной целью и получить обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу из реального контекста: "При обработке данных один и тот же коэффициент увеличивается в $10^3$ раз, а затем ещё в $10^2$ раз. Как представить общий множитель одной степенью? Запишите решение и объясните, какое свойство использовали." | Записывают $10^3\cdot10^2=10^5$, объясняют: "Основания одинаковые, поэтому показатели складываются". |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и «Одноминутку»: "Поднимите зелёную карточку, если самостоятельно применяете оба правила; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если пока путаете действия. На стикере допишите: "Сегодня я научился..." и "Мне нужно повторить..."" | Выбирают цвет, заполняют стикер, формулируют личный результат и вопрос, который остался. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не только повторили два правила, но и научились проверять условия их применения. По вашим стикерам я определю, кому на следующем уроке нужна дополнительная тренировка, а кому — задания повышенной сложности."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все 5 заданий выбранной карточки, корректно применены оба правила, записаны промежуточные действия и дано объяснение ошибки или выбора правила.
- "4" — верно выполнены 4 задания из 5 либо допущена одна вычислительная ошибка при правильном выборе правила; исправление выполнено после самопроверки.
- "3" — верно выполнены 3 задания из 5, но имеются отдельные ошибки в сложении или вычитании показателей; ученик понимает правило после подсказки.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует затруднение и предлагает повторить алгоритм на индивидуальной консультации или следующем уроке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какое правило применять к выражению со степенями? | Проверка понимания связи между видом действия и алгоритмом. |
Почему в выражении $a^m\cdot a^n$ показатели складываются, а не умножаются? | Выявление осознанности математического смысла правила. |
Какую ошибку вы сегодня нашли и исправили? | Диагностика умения анализировать и корректировать собственную работу. |
Какой уровень задания вы выбрали и что поможет перейти на следующий? | Осознание личного прогресса и формирование регулятивной позиции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили два важных свойства степеней: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются. Самая частая ошибка — выполнять действие с показателями, не проверив, одинаковы ли основания. Вы показали, что умеете находить и объяснять такие ошибки. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения со степенями и рассмотрим более сложные цепочки действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений на непосредственное умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями, включая два выражения с буквенными основаниями. | Закрепляет выбор правила и вычисление показателей; при проверке смотреть на одинаковые основания и знак действия между показателями. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения с двумя последовательными действиями, например произведением и последующим делением степеней; записать промежуточные преобразования. | Формирует умение соблюдать порядок действий и не пропускать этапы алгоритма. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных выражения со степенями: одно на умножение, одно на деление и одно с ошибочным решением; привести правильные решения и объяснения. | Развивает создание математических моделей, анализ ошибок и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие обязательно для применения свойств умножения и деления степеней?», «Что происходит с показателями при умножении?», «Что происходит с показателями при делении?», «Почему выражение $b^3\cdot c^2$ нельзя преобразовать по правилу для одинаковых оснований?»
