Рациональные числа: множество, сравнение и координатная прямая
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся объясняют, какие числа являются рациональными, изображают рациональные числа на координатной прямой и сравнивают целые числа и дроби с одинаковым знаменателем, обосновывая не менее четырёх решений.
- Образовательная задача: раскрыть представление о множестве рациональных чисел и его связи с целыми числами и дробями.
- Образовательная задача: освоить сравнение рациональных чисел с опорой на координатную прямую, знак числа и свойства дробей.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись числа, выбирать способ сравнения и проверять правильность вывода.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к собственной работе и уважение к аргументированным мнениям одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют интерес к математическому описанию температур, высот и других величин со знаком.
- Осознают ценность точности и проверки при сравнении чисел.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и объяснять свой выбор.
- Уважительно относятся к ответам и аргументам одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию о числе из его знака, дробной записи и положения на координатной прямой.
- Составляют последовательность действий для сравнения чисел и применяют её к новым примерам.
- Сопоставляют разные способы сравнения и обосновывают выбор подходящего.
- Проверяют решение по эталону, выявляют и исправляют ошибку.
Предметные
- Знают, что рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.
- Понимают, что целые числа входят в множество рациональных чисел.
- Умеют отмечать рациональные числа на координатной прямой и определять число по его положению.
- Умеют сравнивать числа с разными знаками, целые числа и дроби с одинаковым положительным знаменателем.
- Используют связь между расположением точек на координатной прямой и отношением чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят тему урока с практической задачей описания величин, которые могут быть выше или ниже нуля.
- Определяют, какие действия уже умеют выполнять самостоятельно, а где нужна опора на правило.
- Выбирают уровень дополнительного задания с учётом собственной готовности.
- Сохраняют уважительный тон при обсуждении разных способов решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: установить, какие числа относятся к рациональным и как их сравнивать.
- Планируют шаги сравнения и выбирают опору: знак, дробную запись или координатную прямую.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и отмечают места возможной ошибки.
- Корректируют решение после обнаружения неверного знака или неправильного порядка чисел.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по их записи и устанавливают принадлежность целых чисел множеству рациональных.
- Моделируют отношения «меньше» и «больше» с помощью координатной прямой.
- Выделяют общий знаменатель или сопоставляют числители при сравнении дробей с одинаковым знаменателем.
- Анализируют ошибочное утверждение и объясняют, почему оно неверно.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре гипотезу о сравнении чисел и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы, если знак неравенства или способ решения не обоснован.
- Аргументируют ответ с опорой на координатную прямую или свойства чисел.
- Участвуют в проверке решений одноклассников, давая корректную и предметную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением рационального числа и примерами целых чисел, обыкновенных дробей и отрицательных дробей.
- Начертить на доске координатную прямую с отметками от $-3$ до $3$ и единичным отрезком; оставить место для размещения дробных точек.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной на пару, всего 15 карточек для класса из 30 человек.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы двух вариантов — по одному на ученика, с кратким эталоном для показа после выполнения.
- Подготовить стикеры или небольшие листки для билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывести на экран бытовую ситуацию: температура утром $-4$ °C, днём $2$ °C, а также высоты относительно уровня моря $-8$ м и $5$ м.
- Записать на доске напоминание: «На координатной прямой число правее другого числа больше» и правило сравнения дробей с одинаковыми положительными знаменателями.
- Подготовить маркеры или цветные мелки двух цветов для обозначения положительных и отрицательных чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к необходимости сравнивать величины, принимающие значения ниже и выше нуля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь и ручка, а перед вами достаточно места для работы. Сегодня нам пригодится не только вычислительная точность, но и умение объяснять, почему одно число больше другого. Посмотрите на экран: утром термометр показывает минус четыре градуса, а днём — плюс два. Как вы быстро определите, когда было теплее?" | Готовят тетради и ручки, читают значения на экране, отвечают: «Днём, потому что $2$ правее $-4$ на шкале». |
2 мин | "Представьте, что вы планируете прогулку и сравниваете прогнозы погоды. Одного знания, что числа имеют разные знаки, недостаточно, если нужно расположить несколько температур по порядку. Как можно наглядно показать, какое значение меньше? Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите идею с соседом. Я выслушаю несколько способов и зафиксирую общий вопрос урока." | Обдумывают ответ 30 секунд, обсуждают в паре около минуты, предлагают: «Расположить числа на шкале», «Сравнить расстояние от нуля и знак». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что числа со знаком описывают реальные ситуации, а их порядок удобно представить на шкале. Сначала вспомним, какие числа нам уже знакомы и как мы их записываем."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о натуральных, целых числах, дробях, знаках чисел и координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Посмотрите на доску. Здесь записаны числа $-3$, $0$, $5$, $\frac{2}{7}$ и $-\frac{4}{5}$. Не вычисляя, распределите их на две группы: целые числа и числа, записанные дробью. Можно ли число $5$ тоже записать в виде дроби? Объясните, почему это важно для нашей сегодняшней темы." | Записывают распределение в тетради: целые $-3, 0, 5$; дробные записи $\frac{2}{7}, -\frac{4}{5}$. Предлагают: «$5=\frac{5}{1}$, значит, целое число тоже можно записать дробью». |
3 мин | "Теперь вспомним координатную прямую. Я отмечу ноль и положительное направление вправо. Где окажется число $-3$ относительно нуля? Как сравнить $-3$ и $0$, не выполняя вычислений? А что можно сказать о двух точках, если одна расположена правее другой? Сформулируйте правило своими словами; я запишу точную формулировку после ваших предложений." | Показывают направление вправо, отвечают: «$-3$ левее нуля», «$-3<0$», формулируют: «Из двух чисел больше то, которое расположено правее». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили дробные записи, целые числа и правило координатной прямой. Однако нам ещё нужно точно определить, какое общее множество объединяет эти записи и как действовать, если готового рисунка нет."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при сравнении дробных и отрицательных чисел и совместно сформулировать цель работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Сравните числа $-\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{5}$. Кто готов назвать знак между ними? А теперь попробуйте сравнить $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{7}$ без рисунка. Если мы знаем только, что знаменатели одинаковые, какое число окажется больше? Объясните, на что вы опираетесь. Я не буду сразу сообщать правило: важно заметить, какой информации нам не хватает." | Сравнивают первую пару: «$-\frac{2}{5}<\frac{1}{5}$, отрицательное меньше положительного». Для второй пары предполагают: «$\frac{5}{7}$ больше, потому что при равных знаменателях больше числитель». |
2 мин | "Сформулируйте, что именно сегодня нужно выяснить, чтобы уверенно решать такие примеры. Обсудите вопрос в паре и предложите одну цель. На доске я запишу общий вариант: определить, какие числа называются рациональными, научиться изображать их на прямой и выбирать способ сравнения. Как проверим к концу урока, что цель достигнута?" | В парах предлагают формулировки; называют критерии: «Сможем объяснить определение», «Отметим числа на прямой», «Правильно поставим знак сравнения и обоснуем его». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша цель ясна: увидеть общее в целых числах и дробях, а затем обосновывать сравнение. Проверим гипотезы на примерах и соберём рабочий алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: сформировать определение рационального числа и вывести способы сравнения с использованием координатной прямой и свойств дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Посмотрите на запись на доске: $-3=\frac{-3}{1}$, $0=\frac{0}{1}$, $5=\frac{5}{1}$. Обыкновенные дроби уже имеют вид дроби, а целые числа тоже можно представить так, чтобы знаменатель был натуральным. Какое общее свойство вы заметили? Рациональными называются числа, представимые в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Почему знаменатель не может быть равен нулю?" | Сравнивают записи и формулируют: «Все числа можно представить дробью». Отвечают: «Делить на ноль нельзя». Записывают определение и примеры. |
4 мин | "Теперь посмотрим, как определять порядок. На прямой точка $-2$ находится левее точки $1$, поэтому $-2<1$. Это правило работает для любых рациональных чисел: больше то, которое расположено правее. Отметьте на прямой числа $-1$, $0$, $\frac{1}{2}$ и $2$. Для дроби $\frac{1}{2}$ разделите единичный отрезок пополам. Что изменится, если вместо $\frac{1}{2}$ отметить $-\frac{1}{2}$?" | Чертят прямую с единичным отрезком, отмечают числа и проговаривают: «$-\frac{1}{2}$ находится слева от нуля, $\frac{1}{2}$ — справа». |
4 мин | "Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{7}$. Оба знаменателя равны и положительны. Представьте обе дроби как семь равных частей целого: какая содержит больше таких частей? Значит, при одинаковых положительных знаменателях достаточно сравнить числители. А если сравниваем положительное и отрицательное число? Положительное всегда больше отрицательного. Запишите эти выводы и помните: координатная прямая помогает проверить результат." | Отвечают: «$\frac{3}{7}<\frac{5}{7}$, потому что $3<5$». Формулируют два правила, записывают их в тетрадь и приводят пример для пары чисел с разными знаками. |
Запись в тетрадях
- Рациональное число — число, которое можно представить в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число.
- На координатной прямой больше число, расположенное правее.
- Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
- При сравнении дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше дробь с большим числителем.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы объединили целые числа и дроби понятием рациональных чисел и получили опору для сравнения. Теперь применим правила вслух и проверим, можем ли объяснить каждый знак."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить определение рационального числа и проговорить обоснование сравнений в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Сейчас используем приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый самостоятельно прочитает карточку и выберет способ решения. Затем обсудите ответы с соседом и договоритесь о формулировке объяснения. Не ограничивайтесь знаками: важно сказать, почему он верен." | Получают карточку на пару, индивидуально читают задания и намечают решение. |
4 мин | "На карточке три задания: 1) укажите, какие из чисел $-4$, $\frac{2}{3}$, $0$, $-\frac{7}{5}$ рациональные; 2) поставьте знак между $-3$ и $-1$; 3) сравните $\frac{4}{9}$ и $\frac{7}{9}$. Запишите короткое обоснование к каждому ответу. Если возникнет разногласие, начертите небольшую координатную прямую и проверьте порядок по ней." | В парах выполняют задания и записывают пояснения: «Все числа рациональные; $-3<-1$, так как $-3$ левее; $\frac{4}{9}<\frac{7}{9}$, так как знаменатели равны, а $4<7$». |
2 мин | "Предложите классу по одному решению и назовите опору, которой воспользовались. Кто заметил, что целое число $-4$ тоже имеет дробную запись? Проверьте ответ соседней пары: укажите одну сильную сторону объяснения и, если нужно, задайте уточняющий вопрос." | Пары представляют ответы, сравнивают объяснения и дают обратную связь: «Знак обоснован положением на прямой», «Нужно уточнить, что знаменатель положительный». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы не только выбрали знаки, но и объяснили их основание. Теперь каждый проверит собственное понимание без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать рациональные числа, изображать их на прямой и сравнивать.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Я раздаю индивидуальные листы двух вариантов. Работайте самостоятельно и записывайте не только ответ, но и основание сравнения. Выполните обязательную часть; если закончите раньше, выберите дополнительный пункт со звёздочкой. На работу отводится пять минут, после этого мы сверим ответы по эталону." | Получают лист своего варианта, читают инструкцию и распределяют время. |
5 мин | "В первом задании отметьте, какие числа из списка $-2$, $\frac{3}{4}$, $0$, $\frac{-5}{2}$ рациональные. Во втором сравните $-5$ и $-2$, а также $\frac{2}{11}$ и $\frac{8}{11}$. В третьем расположите на прямой $-1$, $-\frac{1}{2}$, $0$ и $1$. Дополнительное задание: придумайте пару рациональных чисел, для которой сравнение удобно сначала показать на прямой." | Индивидуально выполняют задания, строят прямую и записывают обоснования; готовые к усложнению придумывают свою пару чисел. |
3 мин | "Остановитесь и сверьте работу с эталоном на экране. Отметьте галочкой верные ответы, а ошибочный знак не стирайте сразу: обведите его и рядом исправьте, записав причину. Поднимите зелёную карточку, если всё получилось, жёлтую — если нужна проверка одного правила, красную — если требуется ещё один раз разобрать способ сравнения." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки и показывают цвет карточки. При необходимости записывают вопрос для учителя. |
Эталон решения
Все числа из списка рациональные: $-2=\frac{-2}{1}$, $0=\frac{0}{1}$, а остальные уже записаны дробями с ненулевыми знаменателями. На координатной прямой $-5<-2$, так как $-5$ расположен левее. При одинаковых знаменателях $\frac{2}{11}<\frac{8}{11}$, так как $2<8$. Порядок точек: $-1<-\frac{1}{2}<0<1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило уже можно применять без подсказки. Обратите внимание на исправленные места: именно они подскажут, какое знание важно унести с урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: помочь учащимся оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся вопросы и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заполните билет на выход: ответьте письменно на два вопроса — что означает слово «рациональное» в нашей теме и каким способом вы сегодня обосновали сравнение двух чисел. Добавьте один пример сравнения и отметьте, насколько уверенно вы его решаете: уверенно, с небольшой подсказкой или пока неуверенно. Сдайте листок при выходе; по вашим ответам я подготовлю начало следующего урока." | Пишут билет на выход, приводят пример, оценивают уверенность и сдают листки учителю. |
2 мин | "Домашнее задание можно выбрать по уровню. Обязательный вариант закрепляет основные правила; повышающий добавляет объяснение и чертёж; дополнительный предлагает придумать собственный пример из жизненной ситуации. Запишите выбранный уровень. Перед выходом ответьте устно: какое число больше — $-\frac{1}{3}$ или $\frac{1}{3}$, и как вы это докажете?" | Записывают выбранное задание, отвечают: «$\frac{1}{3}$ больше, потому что положительное число больше отрицательного». |
"Сегодня вы установили, что целые числа и дроби входят в множество рациональных чисел, и потренировались располагать их по порядку. Запомните две надёжные опоры: знак числа и его положение на координатной прямой. При сравнении дробей с одинаковым знаменателем важно сравнивать числители, а не знаменатели. Если знак вызывает сомнение, изобразите числа на прямой и проверьте, какая точка расположена правее. На следующем уроке мы продолжим работу с рациональными числами и будем применять их свойства в вычислениях."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания на распознавание рациональных чисел, сравнение и координатную прямую; к каждому сравнению дано корректное обоснование.
- «4» — верно выполнена основная часть заданий, допущена не более чем одна ошибка в знаке или расположении точки; способ сравнения в целом обоснован.
- «3» — верно выполнены задания на определение рациональных чисел и хотя бы одно сравнение; при изображении на прямой или объяснении порядка требуется помощь.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как своими словами объяснить, что число рациональное? | Проверить осмысление определения и связи целых чисел с дробной записью. |
Какое правило помогло вам сравнить числа быстрее всего? | Выявить осознанный выбор способа сравнения. |
Где вы сомневались или исправили ошибку? | Обнаружить затруднения в знаках, дробях или координатном представлении. |
Насколько уверенно вы сможете самостоятельно отметить рациональные числа на прямой? | Получить самооценку освоения практического умения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что рациональными могут быть и целые числа, и обыкновенные дроби. Вы научились связывать сравнение с расположением точек на прямой и использовать правила для чисел с разными знаками и дробей с одинаковыми знаменателями. Типичная ошибка — считать отрицательное число с большей абсолютной величиной большим; на прямой оно, наоборот, расположено левее. Проверьте себя дома на нескольких примерах, обязательно объясняя каждый знак. На следующем уроке применим эти знания при действиях с рациональными числами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 коротких заданий: определить, какие числа из списка целые и какие рациональные; сравнить 4 пары чисел, включая отрицательное и положительное, а также дроби с одинаковыми положительными знаменателями; расположить 4 рациональных числа на координатной прямой. | Закрепляет определение, базовые правила сравнения и изображение чисел; при проверке обратить внимание на знаки неравенств и точность деления единичного отрезка. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на сравнение рациональных чисел, в том числе пары отрицательных дробей и чисел с разными знаменателями; для двух пар построить координатную прямую и письменно объяснить выбор знака. | Развивает выбор способа сравнения и аргументацию; проверить, что рисунок соответствует указанному порядку чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить задачу из жизненной ситуации с четырьмя рациональными значениями, например температурами или высотами, расположить значения по возрастанию и показать их на координатной прямой; привести пояснение к каждому переходу. | Формирует умение самостоятельно создавать математическую модель и применять знания в реальном контексте; оценить корректность чисел, порядка и объяснений. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое рациональное число можно записать в виде $\frac{m}{n}$? Как связаны положение точки правее на координатной прямой и знак «больше»? Как сравнить дроби с одинаковыми положительными знаменателями?
