Уравнения с одной переменной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик сможет распознать уравнение с одной переменной, объяснить, что такое его корень, и решить не менее двух линейных уравнений вида ax + b = c или a(x + b) = c с проверкой подстановкой.
- Образовательная задача: сформировать представление об уравнении с одной переменной, его корне и решении уравнения.
- Образовательная задача: освоить простой алгоритм решения линейного уравнения с помощью равносильных преобразований и проверить найденное значение подстановкой.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись уравнения, выбирать последовательность действий и обнаруживать ошибку в решении.
- Воспитательная задача: поддерживать самостоятельность и уважительное обсуждение математических рассуждений, показывая практическую роль уравнений в расчётах.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску неизвестной величины в учебной и бытовой ситуации.
- Осознаёт, что математическая модель помогает обосновывать расчёты, например находить неизвестную цену покупки.
- Проявляет готовность самостоятельно выбирать посильный уровень задания и отвечать за свой выбор.
- Уважительно относится к различным способам рассуждения одноклассников и корректно обсуждает ошибки.
Метапредметные
- Ученик извлекает из текстовой ситуации известные и неизвестные величины и составляет краткую математическую модель.
- Сравнивает исходное уравнение и преобразованную запись, объясняя, почему преобразование сохраняет его корни.
- Планирует решение по шагам, сверяет промежуточные вычисления и исправляет найденную ошибку.
- Формулирует математический вывод устно и письменно, используя понятия «уравнение», «корень» и «решить уравнение».
Предметные
- Ученик знает, что уравнение — это равенство, содержащее переменную, а корень уравнения — значение переменной, обращающее равенство в верное.
- Умеет отличать уравнение с одной переменной от числового равенства и выражения без знака равенства.
- Решает простые линейные уравнения, выполняя одинаковые действия с обеими частями равенства.
- Проверяет корень подстановкой в исходное уравнение и записывает вывод о верности ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносит учебную задачу с личным опытом поиска неизвестной величины в повседневных расчётах.
- Определяет личную цель на урок: понять смысл корня, научиться решать уравнение или увереннее выполнять проверку.
- Проявляет познавательный интерес к тому, как алгебра помогает описывать ситуации с неизвестными данными.
- Принимает обратную связь и воспринимает ошибку как повод проверить ход рассуждений, а не как оценку своих способностей.
Регулятивные УУД
- Формулирует цель урока после обнаружения затруднения при поиске неизвестного числа.
- Планирует решение уравнения: упрощает запись, выделяет переменную и выполняет проверку.
- Сверяет каждый переход с правилом равенства и контролирует арифметические вычисления.
- Оценивает результат по критериям, определяет, какой шаг требует повторения, и выбирает задание для дальнейшей тренировки.
Познавательные УУД
- Выделяет переменную, известные числа и знак равенства в записи уравнения.
- Устанавливает логическую связь между значением переменной и истинностью равенства.
- Преобразует текстовую ситуацию в уравнение и интерпретирует найденный корень в контексте задачи.
- Моделирует решение на примере равновесия: объясняет, почему одинаковое действие с обеими частями сохраняет равенство.
Коммуникативные УУД
- Объясняет партнёру последовательность преобразований, называя действие на каждом шаге.
- Задаёт уточняющие вопросы, если в чужом решении неясно, почему изменилось выражение.
- Сравнивает решения в паре и аргументирует, какой способ понятнее и как проверить ответ.
- Участвует в обсуждении, выслушивает другие варианты и корректно предлагает исправление ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с тремя зонами: «Ситуация», «Алгоритм решения», «Проверка»; оставить место для примера 3(x − 2) + 5 = 2x + 9.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя уравнениями: 5x − 7 = 18 и 2(x + 3) = 18 — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: базовый — по одной на каждого ученика; повышенный и дополнительный — по одной на выбор ученика.
- Подготовить 15 небольших листков для билета на выход и зелёные, жёлтые, красные карточки для быстрой самооценки — по одной цветной карточке каждого цвета на ученика либо один комплект на парту.
- Вывести на экран или написать на доске текстовую ситуацию: «Три одинаковые тетради и ручка за 40 рублей стоят вместе 250 рублей. Сколько стоит одна тетрадь?»
- Подготовить краткую памятку: «Одинаковое действие с обеими частями равенства сохраняет равенство» и последовательность «упрости — найди переменную — проверь».
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски, маркеров или мела, таймера и тетрадей учеников; для урока достаточно классной доски и печатных материалов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: обеспечить готовность класса к работе и вызвать интерес к поиску неизвестной величины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске ситуацию: «Три одинаковые тетради и ручка за 40 рублей стоят вместе 250 рублей. Сколько стоит одна тетрадь?» Учитель говорит: «Представьте, что вы помогаете другу проверить стоимость покупки. Известны общая сумма, цена ручки и количество тетрадей, но цена одной тетради неизвестна. Как можно обозначить неизвестное и записать ситуацию короче? Пока не ищите длинный способ решения: нам важно увидеть, какое знание поможет найти ответ». | Ученики готовят тетради и ручки, читают условие и предлагают обозначить цену тетради буквой x. Предполагаемый ответ: «Три тетради стоят 3x, значит, 3x + 40 = 250». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили неизвестную цену буквой и записали равенство. Сейчас вспомним, какие действия с числами и равенствами уже помогут нам приблизиться к решению».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить навыки упрощения выражений и понимание равенства, необходимые для работы с уравнением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три записи: 7 + 5 = 12; 3a + 2a; 4x − 6 = 10. Учитель говорит: «Рассмотрите записи молча и определите, где равенство, где выражение, а где запись с неизвестной величиной. Поднимите один палец, если видите равенство без переменной, два — если выражение без равенства, три — если равенство с переменной. Затем объясните один свой выбор». | Ученики классифицируют записи и показывают выбранный вариант. Ожидаемые ответы: «7 + 5 = 12 — числовое равенство», «3a + 2a — выражение», «4x − 6 = 10 — равенство с переменной». |
3 мин | Учитель предлагает устно упростить 3a + 2a и вычислить 7 + 5, затем спрашивает: «Что означает знак равенства? Если слева и справа записаны разные выражения, что мы выясняем? Вспомните, как проверить, верно ли равенство 4 + 6 = 10». Учитель кратко фиксирует на доске: «Знак равенства связывает две части; верное равенство имеет одинаковые значения слева и справа». | Ученики называют ответы: «3a + 2a = 5a», «7 + 5 = 12». Объясняют, что равенство проверяют сравнением значений его частей, и подставляют 4 и 6 в запись, подтверждая: «10 = 10, равенство верное». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы различаем выражение и равенство и умеем упрощать подобные слагаемые. Но одной записи с переменной недостаточно: нужно понять, какое её значение делает равенство верным».
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить, что неизвестное значение нельзя определить простым вычислением, и сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к записи 3x + 40 = 250 и задаёт вопросы: «Что мы знаем точно? Что именно нужно найти? Можно ли просто сложить числа и получить цену одной тетради? Какое действие поможет убрать из общей суммы стоимость ручки?» Учитель не сообщает готовый алгоритм, а записывает на доске ответы класса. | Ученики называют известные данные: «Три одинаковые тетради, ручка стоит 40 рублей, всего 250 рублей». Выделяют неизвестное x и предлагают вычесть 40 из 250. Замечают, что после этого нужно учесть три тетради. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте каждый, затем минуту обсудите с соседом, как найти цену одной тетради и как убедиться, что ответ подходит. После обсуждения одна-две пары озвучат способ». Учитель фиксирует на доске формулировку цели, собранную из ответов учеников: «Научиться решать уравнения с одной переменной и проверять корень». | Ученики сначала обдумывают ход самостоятельно, затем обсуждают его в паре. Пары формулируют предположение: «Сначала вычесть 40, потом разделить остаток на 3; ответ проверить в исходной покупке». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сформулировали цель: научиться находить значение переменной, при котором равенство верно. Теперь выясним, как называются такие равенства и найденные значения и почему преобразования помогают сохранить ответ».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (4 мин)
Цель этапа: ввести понятия уравнения и корня уравнения через исследование простых подстановок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: x + 4 = 9 и спрашивает: «Какое число можно поставить вместо x, чтобы равенство стало верным? Давайте проверим два предположения: 5 и 6. Что получится в каждом случае?» После ответов учитель вводит определения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство, называется его корнем». | Ученики подставляют числа: при x = 5 получают 5 + 4 = 9, при x = 6 получают 6 + 4 = 10. Формулируют вывод: «Число 5 — корень этого уравнения, а 6 не подходит». |
2 мин | Учитель обращает внимание на термин «решить уравнение»: «Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Пока будем решать простые уравнения, где неизвестное можно выделить последовательными действиями. Что должно остаться после решения в нашем примере?» Учитель просит записать определение в тетрадь и подчёркивает слово «все». | Ученики записывают определения, отвечают: «После решения мы должны назвать подходящее значение переменной и проверить его». Несколько учеников приводят свои примеры подстановки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем, что уравнение содержит переменную, а его корень делает равенство верным. Следующий шаг — открыть удобный способ решения и проверить его на уравнении из нашей покупки».
Этап 5. Построение и разбор способа решения (12 мин)
Цель этапа: вывести доступный алгоритм решения линейного уравнения и применить его к полной текстовой ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает памятку на доске: «Одинаковое действие с обеими частями равенства сохраняет равенство». Говорит: «Представьте весы: если обе чаши уравновешены, мы можем убрать с каждой чаши одинаковый груз или разделить содержимое обеих чаш поровну. В уравнении делаем то же самое с обеими частями. Какое действие нужно выполнить с 3x + 40 = 250, чтобы оставить слева только стоимость тетрадей?» | Ученики предлагают вычесть 40 из обеих частей. Объясняют: «Так убираем стоимость ручки и сохраняем равенство». |
5 мин | Учитель записывает задачу целиком: «Три одинаковые тетради и ручка за 40 рублей стоят вместе 250 рублей. Сколько стоит одна тетрадь?» Затем вслух моделирует решение: «Обозначим цену одной тетради через x рублей. Составим уравнение 3x + 40 = 250. Вычтем 40 из обеих частей и получим 3x = 210. Разделим обе части на 3: x = 70. Теперь обязательно проверим ответ в исходной ситуации: три тетради по 70 рублей и ручка за 40 рублей должны дать 250 рублей». | Ученики записывают условие кратко, уравнение и преобразования. Следят, что одинаковые действия выполняются с обеими частями равенства; предлагают проверку: «3 · 70 + 40 = 250», «210 + 40 = 250». |
5 мин | Учитель предлагает общий алгоритм и просит класс дополнить пропуски: «Первое — упростить обе части, если нужно. Второе — выполнить одинаковые действия, чтобы выделить переменную. Третье — найти значение переменной. Четвёртое — подставить ответ в исходное уравнение. Что может пойти не так, если выполнить действие только с одной частью?» Учитель разбирает на доске уравнение 3(x − 2) + 5 = 2x + 9, проговаривая раскрытие скобок и сбор подобных слагаемых. | Ученики предлагают пункты алгоритма, отвечают: «Равенство может нарушиться, если менять только одну часть». Вместе с учителем записывают: 3x − 6 + 5 = 2x + 9; 3x − 1 = 2x + 9; x − 1 = 9; x = 10. Проверяют подстановкой. |
Запись в тетрадях
- Уравнение — равенство, содержащее переменную.
- Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
- Алгоритм: упростить запись; выполнить одинаковые действия с обеими частями и выделить переменную; найти её значение; проверить подстановкой в исходное уравнение.
Эталон решения
Для уравнения 3(x − 2) + 5 = 2x + 9: раскрываем скобки: 3x − 6 + 5 = 2x + 9; приводим подобные слагаемые: 3x − 1 = 2x + 9; вычитаем 2x из обеих частей: x − 1 = 9; прибавляем 1 к обеим частям: x = 10. Проверка: 3(10 − 2) + 5 = 29 и 2 · 10 + 9 = 29, значит, x = 10 — корень.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы составили уравнение по ситуации, выделили неизвестное одинаковыми действиями с обеими частями и проверили корень. Теперь потренируемся применять этот способ вслух и объяснять каждый шаг партнёру».
Этап 6. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и проговаривание оснований для преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с уравнением 5x − 7 = 18 и распределяет роли: «Первый ученик решает и называет каждое действие, второй проверяет, что преобразование выполнено с обеими частями. Через полторы минуты поменяйтесь ролями на следующем примере. Если не согласны с шагом, не стирайте его сразу — спросите партнёра, почему он так решил». | В парах решают первое уравнение и проговаривают шаги: прибавляют 7 к обеим частям, получают 5x = 25, делят обе части на 5 и находят x = 5. Проверяют: 5 · 5 − 7 = 18. |
3 мин | Учитель просит перейти ко второму уравнению: 2(x + 3) = 18. Напоминает: «Сначала выберите удобное действие. Можно разделить обе части на 2, а затем вычесть 3. Объясните партнёру, почему такой порядок сохраняет равенство. После решения сравните ответ с проверкой». Учитель приглашает одну пару озвучить ход решения. | Ученики решают уравнение: делят обе части на 2, получают x + 3 = 9, вычитают 3 и находят x = 6. Проверяют: 2(6 + 3) = 18; формулируют: «Ответ подходит, обе части исходного равенства равны 18». |
Эталон решения
5x − 7 = 18: 5x = 25; x = 5; проверка: 5 · 5 − 7 = 18. Уравнение 2(x + 3) = 18: x + 3 = 9; x = 6; проверка: 2(6 + 3) = 18.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы не только получили ответы, но и объяснили, почему каждое действие допустимо. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет решать уравнение и находить ошибку».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить применение алгоритма и предоставить ученикам выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт базовую карточку всем, а затем предлагает выбор: «Сначала выполните обязательное задание. Если закончите раньше, выберите повышенное или дополнительное — это ваш выбор, но постарайтесь записать не только ответ, а все шаги. В базовой части решите 4x + 7 = 23 и проверьте корень. Повышенный вариант: 3(x + 2) = 2x + 11. Дополнительный вариант: найдите ошибку в решении 2x + 5 = 13, где ученик записал 2x = 18, x = 9, и исправьте её». Учитель включает таймер на пять минут. | Каждый ученик самостоятельно решает обязательное уравнение и делает проверку. По готовности выбирает одно из двух заданий: решает уравнение со скобками либо письменно указывает, что при переносе числа знак изменён неверно, затем исправляет решение. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: 4x + 7 = 23; 4x = 16; x = 4; проверка 4 · 4 + 7 = 23. Для повышенного варианта записывает: 3x + 6 = 2x + 11; x = 5. Для дополнительного поясняет: «Из 2x + 5 = 13 нужно вычесть 5, а не прибавить 5». Просит отметить в тетради один шаг, который получился уверенно, и один шаг, который ещё требует внимания. | Ученики сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом или подчёркиванием и отмечают затруднение. Ожидаемые ответы: «В базовом задании x = 4», «В повышенном x = 5», «В ошибочном решении нужно получить 2x = 8, x = 4». |
Эталон решения
Базовое: 4x + 7 = 23; 4x = 16; x = 4; проверка: 4 · 4 + 7 = 23. Повышенное: 3(x + 2) = 2x + 11; 3x + 6 = 2x + 11; x = 5; проверка: 3 · 7 = 21 и 2 · 5 + 11 = 21. Дополнительное: из 2x + 5 = 13 вычитаем 5 из обеих частей, получаем 2x = 8, затем x = 4; ошибка была в неверном действии с числом 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что последовательное выделение переменной помогает избежать догадок. Перед завершением урока оцените своё понимание и сформулируйте, какой способ проверки подтверждает найденный ответ».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение нового способа и зафиксировать индивидуальный вопрос для дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить, что такое корень и самостоятельно решить простое уравнение; жёлтую — если общий способ понятен, но нужен ещё один пример; красную — если пока трудно начать. Цвет не влияет на отметку: он помогает мне понять, какая поддержка нужна классу». Затем раздаёт листок для билета на выход и просит ответить на вопрос: «Что нужно сделать, чтобы проверить корень уравнения?» | Ученики показывают выбранный цвет и на отдельном листке кратко отвечают: «Подставить найденное значение в исходное уравнение и проверить равенство его частей». При необходимости записывают, какой шаг вызывает вопрос. |
2 мин | Учитель записывает домашнее задание по уровням на доске и говорит: «Обязательный уровень выполняют все. Дополнительные варианты выбирайте по готовности, а не ради количества: важно аккуратно записать преобразования и проверку. Перед выходом устно ответьте: что называется корнем уравнения и зачем действие выполняют с обеими частями?» | Ученики записывают выбранный объём домашней работы, задают уточняющие вопросы и отвечают: «Корень — значение переменной, при котором равенство верно», «Одинаковое действие с обеими частями сохраняет равенство». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательное уравнение и выбранное задание, все преобразования записаны последовательно, действие с обеими частями не нарушает равенство, проверка выполнена подстановкой.
- «4» — обязательное уравнение решено верно, выбранное задание выполнено с одной вычислительной или оформительской неточностью, которая исправлена при самопроверке; проверка ответа в основном верна.
- «3» — ученик верно выполняет отдельные шаги обязательного уравнения и с опорой на эталон находит корень либо исправляет ошибку, но допускает затруднения при преобразовании или проверке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется корнем уравнения? | Проверить осознание ключевого понятия урока. |
Какое действие помогло решить уравнение 3x + 40 = 250 и почему? | Выявить понимание равносильных преобразований и сохранения равенства. |
Как ты проверишь найденный корень? | Проверить усвоение обязательного этапа самоконтроля. |
Какой шаг сегодня потребовал от тебя наибольшего внимания? | Определить субъективно сложные моменты и спланировать повторение. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что уравнение помогает находить неизвестную величину, а корень делает равенство верным. Вы научились выделять переменную, выполняя одинаковые действия с обеими частями, и проверять ответ подстановкой. Самая частая ошибка — изменить только одну часть равенства или забыть проверить найденное значение в исходной записи. Посмотрите дома на свои решения и отметьте, где вы уверены, а где понадобится ещё один пример. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и будем разбирать более сложные преобразования».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 простых линейных уравнения вида ax + b = c с целыми коэффициентами и выполнить проверку каждого найденного корня подстановкой в исходное уравнение. | Закрепляет выделение переменной и запись проверки; при проверке обратить внимание на выполнение одинаковых действий с обеими частями. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения, где требуется раскрыть одну скобку или привести подобные слагаемые, например уравнения типа 2(x + 3) = 18; проверить каждый ответ. | Развивает умение сначала упростить запись, затем применить алгоритм; проверить раскрытие скобок и точность вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить уравнение и решить его для бытовой ситуации с неизвестной ценой: выбрать собственные числа для покупки трёх одинаковых предметов и дополнительного товара, записать общий итог, найти цену одного предмета и проверить результат. | Формирует навык математического моделирования; проверить, соответствует ли составленное уравнение условию и имеет ли найденный корень смысл в ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое уравнение с одной переменной? Как назвать значение, превращающее его в верное равенство? Почему при решении нужно выполнять одинаковые действия с обеими частями? Как проверить найденный корень?»
