Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать квадрат суммы и квадрат разности, записывать соответствующие формулы и применять их для раскрытия скобок, обратного представления многочлена и рационального вычисления не менее чем в 80% предложенных заданий.
- Сформировать умение выводить и применять формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
- Научить раскрывать квадраты двучленов с числовыми и буквенными коэффициентами и проверять знак и коэффициент среднего члена.
- Развивать умение анализировать структуру многочлена, выбирать подходящую формулу и объяснять ход преобразований.
- Воспитывать самостоятельность, аккуратность алгебраической записи и готовность аргументированно проверять решение одноклассника.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность рациональных способов преобразования и вычисления выражений.
- Проявляют познавательный интерес к поиску короткого способа решения и готовность исправлять собственные ошибки.
- Развивают ответственное отношение к математической записи и результату совместной работы.
- Формируют позитивную самооценку через выбор задания посильного и повышенного уровня.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения при раскрытии скобок.
- Сравнивают выражение с эталонной формулой, выделяют первый и второй члены двучлена и средний член.
- Планируют последовательность преобразований, выполняют самопроверку и корректируют знак или коэффициент.
- Аргументируют выбор формулы в паре, используют математическую речь и смысловое чтение условия задания.
Предметные
- Знать формулы квадрата суммы и квадрата разности.
- Уметь раскрывать $(x+2)^2$, $(x-2)^2$, $(2x+3)^2$, $(3a-2)^2$ и аналогичные выражения.
- Уметь определять знак и коэффициент среднего члена квадрата двучлена.
- Уметь представлять многочлены $x^2+6x+9$, $a^2-10a+25$, $16z^2-24z+9$ в виде квадрата двучлена.
- Уметь применять формулы для упрощения выражений и рационального вычисления $99^2$, $51^2$, $103^2$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к применению формул и выбирают дополнительное задание.
- Связывают точность преобразований с ответственностью за математическое обоснование ответа.
- Осознают смысл формулы как способа экономии действий, а не как набора символов для запоминания.
- Сохраняют учебную мотивацию при обнаружении ошибки и используют её для коррекции.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после выполнения проблемного задания.
- Планируют алгоритм: определить знак, выделить $a$ и $b$, подставить в формулу, привести подобные слагаемые.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают результат по критериям точности формулы, знака, коэффициента и стандартного вида.
Познавательные УУД
- Выводят формулу через распределительное свойство умножения и группируют слагаемые.
- Распознают структуру квадрата двучлена в разложенном многочлене.
- Сравнивают квадрат суммы и квадрат разности, устанавливают различие только в знаке среднего члена.
- Моделируют вычисления чисел вида $99^2$ и $103^2$ с помощью близкого круглого числа.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему средний член равен $2ab$ и почему в квадрате разности он отрицателен.
- Задают уточняющие вопросы о выборе знака и коэффициента.
- Сопоставляют решения в паре и формулируют аргументированное исправление.
- Соблюдают правила математической дискуссии и принимают обоснованную позицию одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–20 по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 6 карточек для работы в парах с заданиями 2, 5, 8, 11, 14, 18.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: минимальный — задания 1, 2, 4, 5; базовый — задания 8, 9, 12, 13; повышенный — задания 15, 18, 20.
- Вывести на доску или экран проблемный пример $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ без объяснения происхождения формулы.
- Подготовить цветную схему: первый квадрат, удвоенное произведение, второй квадрат; для формулы разности выделить средний член красным цветом.
- Распечатать лист самопроверки с эталонами заданий 1, 2, 4, 5, 8 и 9 — по одному на парту.
- Подготовить стикеры двух цветов для приёма «Светофор» и билет на выход по одному на ученика.
- Подготовить маркеры, доску, проектор или интерактивную доску, таймер на 3 минуты.
- Записать на доске критерии: распознал знак, верно нашёл $a$ и $b$, записал средний член, привёл подобные слагаемые.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую преимущество новой формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, готовы ли тетрадь, ручка и рабочий лист. Сегодня вы сможете выбрать обязательный или повышенный маршрут, но каждый должен научиться безошибочно работать с квадратом двучлена. Запишите дату и тему урока." | Проверяют готовность, записывают дату и тему: «Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности». |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $(99)^2$ и спрашивает: "Как можно вычислить это напрямую? А можно ли заменить длинное умножение более коротким преобразованием? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь лучшей идеей." Учитель фиксирует варианты, не объявляя правильный способ. | Решают устно или в тетради, обсуждают в парах, предлагают: «$99=100-1$, значит, можно использовать квадрат разности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что некоторые квадраты можно вычислять быстрее, если распознать особую структуру. Теперь выясним, как устроены квадрат суммы и квадрат разности и почему в них появляется средний член."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать распределительное свойство умножения, умножение многочленов и правила действий со знаками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $(a+b)(a+b)$ и говорит: "Вспомним правило умножения многочлена на многочлен. Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Назовите четыре произведения и не потеряйте знаки." | Называют и записывают: $a^2$, $ab$, $ab$, $b^2$. Формулируют: «Средние произведения одинаковы». |
2 мин | Учитель предлагает устно раскрыть скобки: $(x+2)(x+2)$ и $(x-2)(x-2)$. Спрашивает: "Что происходит с двумя произведениями $2x$? Что изменяется во втором примере?" | Выполняют раскрытие: $x^2+4x+4$ и $x^2-4x+4$; отвечают: «В квадрате разности средний член имеет знак минус». |
1 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Зелёная карточка — правило понятно, жёлтая — нужна одна подсказка, красная — пока трудно. Покажите карточку и назовите конкретное место затруднения." | Поднимают карточки, формулируют затруднения: «Не уверен в коэффициенте среднего члена», «Путаю знак при разности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем раскрывать скобки, но пока каждый раз выполняем четыре умножения. Сегодня найдём общий короткий алгоритм и проверим его на заданиях рабочего листа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и обнаружить закономерность в результатах раскрытия скобок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить результаты: "Посмотрите на пары $x^2+4x+4$ и $x^2-4x+4$. Что в них совпадает? Что меняется? Запишите наблюдение одним предложением. Не называйте пока формулу, опишите закономерность." | Сравнивают выражения и записывают: «Первый и последний члены — квадраты, средний член — удвоенное произведение, знак зависит от знака между $a$ и $b$». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какую формулу нам нужно открыть? Какие умения понадобятся при выполнении заданий рабочего листа? Как проверим, что формула усвоена?" Учитель записывает цель и план: вывести две формулы, применить их к заданиям 1–9, затем использовать для обратных и многошаговых преобразований. | Формулируют цель: «Научиться применять квадрат суммы и квадрат разности». Называют план: «Вывести формулы, потренироваться, проверить себя и решить сложные примеры». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто запомнить две записи, а научиться узнавать структуру и объяснять каждый член результата. Переходим к открытию формул."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности через распределительное свойство и закрепить смысл среднего члена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает: $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ и говорит: "Квадрат суммы — это произведение суммы на саму себя. Раскроем скобки по известному правилу: получим $a^2+ab+ab+b^2$. Какие слагаемые можно объединить? Два произведения $ab$ дают $2ab$. Поэтому формула имеет вид $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Посмотрите на доску: первый член — квадрат первого слагаемого, средний — удвоенное произведение, последний — квадрат второго слагаемого." | Раскрывают скобки, объединяют $ab+ab=2ab$, записывают и проговаривают формулу квадрата суммы. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь рассмотрим $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$. Выполним четыре умножения: $a^2-ab-ab+b^2$. Средние слагаемые объединяются в $-2ab$. Получаем $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Обратите внимание: квадраты крайних членов положительны, а знак среднего члена — минус." | Записывают формулу квадрата разности, подчёркивают средний член, формулируют: «В квадрате разности средний член отрицательный». |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с заданиями 1, 4 и 7 и говорит: "Заполните пропуски, затем объясните партнёру, откуда взялся коэффициент 2. На объяснение — две минуты. После этого одна пара представит ответ классу." | Выполняют: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$, $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$; объясняют роль двух одинаковых произведений. |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм: 1) определить знак между членами двучлена; 2) возвести в квадрат первый член; 3) записать удвоенное произведение первого и второго членов с нужным знаком; 4) возвести в квадрат второй член. Формулы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы выведены, а не просто сообщены: средний член появляется дважды. Сейчас проверим алгоритм на простых выражениях и научимся видеть типичную ошибку — потерю коэффициента 2."
Этап 5. Первичное закрепление: задания рабочего листа 2, 5, 8 и 9 (8 мин)
Цель этапа: закрепить прямое применение формул и научиться контролировать знак и коэффициент среднего члена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Разберём задание 2. Для выражения $(x+2)^2$ сначала определим $a=x$, $b=2$. Не перепрыгиваем через шаги: записываем квадрат первого члена, удвоенное произведение и квадрат второго. Получаем $(x+2)^2=x^2+4x+4$. Второй пример $(a+3)^2$ выполните по тому же алгоритму." | Решают в тетради: $(x+2)^2=x^2+4x+4$, $(a+3)^2=a^2+6a+9$; проговаривают: «Средний член равен $2 hickspace\text{·}x hickspace\text{·}2=4x$». |
3 мин | Учитель предлагает в парах выполнить задания 5 и 8: "Сначала решите $(x-2)^2$ и $(b-4)^2$, затем выберите один пример с коэффициентом: $(2x+3)^2$ или $(3a-2)^2$. Сверяйте не только крайние квадраты, но и средний член." Учитель наблюдает и задаёт адресные вопросы: "Какой знак должен быть у среднего члена? Чему равно $2ab$?" | Решают: $(x-2)^2=x^2-4x+4$, $(b-4)^2=b^2-8b+16$; по выбору: $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ или $(3a-2)^2=9a^2-12a+4$. |
2 мин | Учитель выводит задание 9: "Проверьте варианты для $(5t-1)^2$. Не угадывайте: вычислите три части формулы. Какой вариант верен и почему остальные неверны?" | Выбирают $25t^2-10t+1$, объясняют: «Первый квадрат $25t^2$, средний член $-2 hickspace\text{·}5t hickspace\text{·}1=-10t$, последний квадрат равен 1». |
Эталон решения
$(5t-1)^2=(5t)^2-2\cdot5t\cdot1+1^2=25t^2-10t+1$. Ошибки в вариантах: $-5t$ получено без коэффициента 2, $+10t$ нарушает знак квадрата разности, $5t^2$ не является квадратом $5t$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прямое раскрытие получается, если не забыть три элемента формулы. Теперь вы самостоятельно покажете, что умеете выбирать формулу и проверять себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма на заданиях рабочего листа разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательный минимум: задания 1, 2, 4 и 5. Если готовы, добавьте базовый блок 8, 9, 12 и 13. Те, кто уверенно справляется, могут выбрать повышенный блок 15, 18 или 20. Записывайте преобразования полностью." | Выбирают маршрут, отмечают его на листе и готовят рабочее место. |
5 мин | Учитель запускает таймер и напоминает критерии: "Проверяйте три контрольные точки: знак, коэффициент 2 и квадрат каждого члена. Я не называю ответ сразу: сначала найдите ошибку самостоятельно. Если застряли, используйте цветную схему на доске." | Индивидуально решают выбранные задания. Например, получают $x^2+14x+49$ для задания 12 и $4p^2+20p+25$, $9q^2-24q+16$ для задания 13. |
3 мин | Учитель раздаёт эталон на парту: "Сверьте решения, поставьте рядом знак плюс, если всё верно, или обведите место ошибки. Исправление выполните другой ручкой. Подсчитайте число правильных ответов и определите, что нужно повторить." | Сверяют с эталоном, исправляют ошибки, фиксируют личный результат и формулируют причину затруднения: «забыл коэффициент 2», «неверно определил знак», «не возвёл коэффициент в квадрат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество верных ответов, но и типичные ошибки. Теперь используем формулы в обратном направлении: будем узнавать квадрат двучлена по готовому многочлену."
Этап 7. Включение в систему знаний: обратное и рациональное применение (4 мин)
Цель этапа: показать, что формулы позволяют не только раскрывать скобки, но и восстанавливать квадрат двучлена, упрощать выражения и сокращать вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель разбирает задание 11: "Рассмотрим $x^2+6x+9$. Первый член — $x^2$, последний — $9=3^2$. Средний член должен быть $2\cdot x\cdot3=6x$, значит, это $(x+3)^2$. По такому же признаку определите форму $a^2-10a+25$." | Записывают $(x+3)^2$ и $(a-5)^2$, объясняют знак по среднему члену. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить $99^2$: "Представьте 99 как $100-1$ и примените квадрат разности. Затем назовите способ для $51^2$ и $103^2$." | Вычисляют: $99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$; $51^2=(50+1)^2=2601$; $103^2=(100+3)^2=10609$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула работает в двух направлениях: помогает раскрыть скобки и распознать квадрат двучлена, а также делает вычисления рациональнее. Осталось проверить, можете ли вы объяснить результат и оценить собственное продвижение."
Этап 8. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы, выявить оставшиеся затруднения и дать посильное продолжение работы дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Заполните билет на выход. Первая строка: запишите две формулы. Вторая: объясните, почему в $(a-b)^2$ средний член отрицателен. Третья: назовите одну ошибку, которую теперь умеете предупреждать." | Пишут две формулы, объясняют знак среднего члена через два произведения $-ab$, называют личное затруднение или способ проверки. |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёный — могу самостоятельно раскрыть любой квадрат двучлена; жёлтый — справляюсь с подсказкой; красный — нужно ещё разобрать знак или коэффициент. Поднимите карточку и выберите домашний уровень." | Показывают карточку, выбирают уровень домашней работы, сдают билет на выход. |
1 мин | Учитель сообщает задание и говорит: "Проверьте, что записали выбранный уровень. На следующем уроке мы продолжим преобразования многочленов и будем использовать эти формулы в более сложных выражениях." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели и применили две формулы, научились контролировать знак и коэффициент среднего члена и увидели их пользу в вычислениях. Сохраните алгоритм и используйте его как инструмент, а не как механическую запись."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания 1, 2, 4 и 5, а также не менее трёх заданий повышенного или базового блока; формулы записаны корректно, знак и коэффициент среднего члена объяснены.
- «4» — верно выполнены обязательные задания и не менее двух дополнительных заданий, допущена не более одной ошибки в коэффициенте или приведении подобных слагаемых, ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — верно выполнены не менее трёх обязательных заданий, формулы записаны с подсказкой, но сохраняется одна существенная ошибка в знаке или среднем члене.
- «2» — верно выполнены менее трёх обязательных заданий либо ученик не различает квадрат суммы и квадрат разности даже после коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие две формулы вы сегодня вывели и чем отличаются их средние члены? | Проверка осознания структуры и различия знаков. |
Как вы проверяете, что коэффициент среднего члена найден верно? | Выявление понимания роли удвоенного произведения. |
Какая ошибка была для вас наиболее вероятной: знак, коэффициент 2 или квадрат коэффициента? | Диагностика индивидуальной точки затруднения. |
Какое задание рабочего листа вы готовы решить самостоятельно завтра? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели формулы квадрата суммы и квадрата разности и убедились, что средний член появляется дважды. Главная ошибка — забыть коэффициент 2 или неверно определить знак в квадрате разности. Используйте алгоритм: крайний квадрат, удвоенное произведение, крайний квадрат. На следующем уроке мы применим эти формулы при упрощении более сложных выражений и разложении многочленов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: заполнить пропуски в формулах квадратов суммы и разности и раскрыть скобки в выражениях типа $(x+3)^2$, $(a-5)^2$, $(2y+1)^2$, $(3b-2)^2$. | Закрепляет формулы, распознавание знака и вычисление среднего члена; при проверке обратить внимание на коэффициент 2 и квадрат числового коэффициента. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на распознавание квадрата двучлена и упрощение выражений: представить многочлены вида $x^2+8x+16$ и $9a^2-12a+4$ в виде квадратов, затем упростить два выражения с разностью квадратов двучленов. | Формирует обратное применение формул и умение приводить подобные слагаемые; проверять соответствие среднего члена формуле. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 4 задания: рационально вычислить числа, близкие к круглым, например $98^2$, $102^2$; упростить выражение типа $(x+6)^2-(x-6)^2$; выполнить разложение через общий множитель, например $2x^2+16x+32$. | Развивает выбор стратегии и многошаговое преобразование; проверять обоснованность каждого перехода и стандартный вид результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула квадрата суммы? Как записывается формула квадрата разности? Почему средний член содержит множитель 2? Какой знак имеет средний член в квадрате разности? Как быстро вычислить $99^2$ с помощью формулы?»
