Определение степени с натуральным показателем
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать степень с натуральным показателем, называть её основание и показатель, представлять произведение одинаковых множителей в виде степени и вычислять значения простейших степеней.
- Сформировать представление о степени числа с натуральным показателем как произведении одинаковых множителей и научиться записывать такое произведение кратко.
- Научиться различать основание и показатель степени, читать запись степени и раскрывать её по определению.
- Развивать умение анализировать математическую запись, работать с учебным текстом, формулировать выводы и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, самостоятельность и готовность обосновывать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к новому способу записи математических выражений.
- Осознают ценность краткой и точной математической записи.
- Принимают ответственность за самостоятельную проверку выполненных заданий.
- Формируют положительное отношение к сотрудничеству и уважению к математическим рассуждениям одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из определения и примеров в учебнике, выделяют существенные признаки степени.
- Сравнивают произведение и степень, устанавливают соответствие между основанием и показателем.
- Работают в паре, аргументируют ответ и осуществляют самопроверку по образцу.
- Используют математическую речь для чтения и объяснения записи степени.
Предметные
- Знать определение степени числа с натуральным показателем.
- Уметь называть основание и показатель степени.
- Уметь представлять произведение одинаковых множителей в виде степени и раскрывать степень в произведение.
- Уметь читать записи вида $a^n$ и вычислять значения простейших числовых степеней.
- Знать, что первая степень числа равна самому числу, а показатель степени показывает число одинаковых множителей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения степени как удобного способа записи повторяющегося умножения.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа выполнения задания.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и класса.
- Связывают точность записи с успешностью дальнейших алгебраических преобразований.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют последовательность: распознать множители, определить их число, записать степень.
- Проверяют правильность основания и показателя в собственной записи.
- Обнаруживают и исправляют ошибки при раскрытии степени.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют в произведении одинаковый множитель и количество его повторений.
- Сравнивают математические записи и классифицируют их по признаку одинаковых множителей.
- Строят модель соответствия «произведение — степень».
- Работают с определением, примерами и иллюстрацией из учебника.
- Делают вывод о смысле основания и показателя степени.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ по содержанию определения.
- Обсуждают решение в паре, распределяя роли объясняющего и проверяющего.
- Аргументируют, почему конкретная запись является или не является степенью.
- Используют математические термины «основание», «показатель», «степень».
- Корректно принимают замечания и уточняют собственное рассуждение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с записью темы и схемой $a^n$: стрелка от $a$ к слову «основание», от $n$ к слову «показатель».
- Подготовить презентацию или экран с произведениями $5\cdot5\cdot5\cdot5$, $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ и их краткой записью.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, содержащей произведения и степени для сопоставления.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы для приёма «Билет на выход» по одному на каждого ученика.
- Заранее выделить в учебнике определение степени, пример с возведением числа в четвёртую и пятую степени и упражнения на представление произведения степенью.
- Подготовить на доске памятку: «Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$.»
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор, учебники, тетради, ручки, таймер.
Карточка | Задание |
|---|---|
Карточка 1. Сопоставление | Соедините произведение со степенью: 1) 3·3·3; 2) 5·5; 3) (−2)·(−2)·(−2); 4) a·a·a·a. Варианты: а) 5²; б) (−2)³; в) a⁴; г) 3³. |
Карточка 2. Части степени | Для каждой записи назовите основание и показатель: 1) 7²; 2) (−4)³; 3) x⁵; 4) (−a)⁴. |
Карточка 3. Обратное преобразование | Раскройте степени в произведение одинаковых множителей: 1) 2⁴; 2) (−3)³; 3) b⁵; 4) (−y)². |
Карточка 4. Найдите ошибку | Исправьте записи и объясните ошибку: 1) (−5)·(−5)·(−5) = −5³; 2) c·c·c·c = c³; 3) (−2)⁴ = −2·2·2·2. |
Карточка 5. Взаимная проверка | Обменяйтесь решениями. Проверьте основание, показатель и количество множителей. Объясните партнёру одну верную запись и одну возможную ошибку. |
Уровень | Задания |
|---|---|
Базовый | 1. Представьте произведение 5·5·5·5 в виде степени. 2. Раскройте степени (−2)³ и c⁴ в произведение одинаковых множителей. 3. Назовите основание и показатель в записях 7² и (−a)⁵. |
Средний | 1. Запишите в виде степени произведения 3·3·3·3·3 и (−4)·(−4)·(−4). 2. Раскройте степени x⁵, (−b)⁴ и 6³. 3. Для каждой записи назовите основание и показатель: (−3)⁶, y², (−m)³. |
Продвинутый | 1. Исправьте ошибки и объясните их: (−5)·(−5)·(−5)=−5³; d·d·d·d=d³. 2. Представьте в виде степени произведение (−a)·(−a)·(−a)·(−a)·(−a). 3. Составьте два собственных примера на переход от произведения к степени и два примера на раскрытие степени. |
Карточки для работы в парах
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску краткой записи произведения одинаковых множителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится внимательность к каждому символу, потому что одна маленькая цифра будет сообщать важную информацию о всём выражении." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради и записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске запись $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$ и говорит: "Представьте, что такую запись нужно использовать в длинном вычислении несколько раз. Как сделать её короче, не потеряв смысл? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите идею с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Самостоятельно предлагают вариант сокращения, обсуждают его в парах и формулируют предположение: "Можно записать число 7 один раз и указать, что оно повторяется пять раз". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели повторяющееся умножение и поняли, что его можно записывать короче. Сегодня выясним, как называется такая запись и как правильно читать каждый её элемент."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения одинаковых множителей и подготовить учащихся к введению степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $3\cdot3\cdot3\cdot3$ и спрашивает: "Как называется такая запись? Какие числа являются множителями? Сколько множителей записано? Чем все множители похожи?" | Отвечают: "Это произведение; множители равны 3; всего четыре множителя; множители одинаковые". |
2 мин | Учитель предлагает устно сравнить выражения $2\cdot2\cdot2$, $5\cdot5$, $4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4$ и спрашивает: "Что в этих произведениях меняется, а что остаётся общим?" | Называют общее: одинаковые множители; определяют количество повторений: 3, 2 и 5. |
1 мин | Учитель создаёт затруднение: "Можно ли одним коротким знаком записать число 4, повторённое пять раз? Как сообщить читателю сразу и само число, и количество его повторений?" | Формулируют проблему: "Нужен специальный способ записи; пока мы не знаем, как он называется и где записывается число повторений". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить одинаковый множитель и считать его повторения, но ещё не знаем принятой математической записи. Теперь сформулируем цель и откроем новое понятие."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать открытие определения степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к записи $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$: "Какую информацию мы должны сохранить в краткой записи? Что должно быть видно сразу? Предложите цель урока, используя слова «узнать» и «научиться»." | Формулируют: "Узнать, что такое степень, и научиться записывать произведение одинаковых множителей в виде степени". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: 1) прочитать определение в учебнике; 2) установить смысл основания и показателя; 3) выполнить преобразования в обе стороны; 4) проверить себя. "Работаем с текстом учебника: найдите определение и сравните его с нашим планом." | Находят определение в учебнике, отмечают ключевые слова, подтверждают план и уточняют: "Нужно научиться читать степень и называть её части". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто запомним новое слово, а сами установим правило записи и научимся применять его. Переходим к чтению определения и проверим его на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение степени с натуральным показателем и научиться выделять основание и показатель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока и говорит: "Прочитайте определение степени с натуральным показателем молча. Найдите, сколько одинаковых множителей содержится в записи $a^n$. Обратите внимание на фразу «где $n\in\mathbb{N}$»." После чтения учитель показывает на доске запись $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$ и подчёркивает, что множителей ровно $n$. | Читают определение, выделяют в тексте слова «произведение», «одинаковые множители», «натуральный показатель», формулируют: "$n$ показывает количество множителей". |
3 мин | Учитель объясняет: "В записи $a^n$ число $a$ называется основанием степени, число $n$ — показателем степени, а вся запись $a^n$ — степенью. Например, в $5^4$ основание равно 5, показатель равен 4, а произведение имеет вид $5\cdot5\cdot5\cdot5$. Прочитайте эту запись словами." | Называют части записи: "5 — основание, 4 — показатель, $5^4$ — степень"; читают: "пять в четвёртой степени". |
2 мин | Учитель предлагает парную проверку: "Сопоставьте записи на карточке. Для каждого произведения назовите основание и показатель. Если в карточке есть $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$, не потеряйте скобки: основанием является всё число $-2$." | В парах сопоставляют $3\cdot3\cdot3$ и $3^3$, $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ и $(-2)^3$, объясняют выбор. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Сколько множителей в $x^6$? Какое основание у $(-4)^5$? Что означает $a^1$? Посмотрите в учебнике пояснение о первой степени числа." | Отвечают: "$x^6$ — шесть множителей $x$; основание $-4$; $a^1=a$, потому что множитель один". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$. Число $a$ — основание степени, число $n$ — показатель степени. $a^1=a$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что верхняя маленькая цифра не является случайной: она показывает число одинаковых множителей. Теперь применим определение сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить переход от произведения одинаковых множителей к степени и чтение элементов степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задания: $4\cdot4\cdot4$, $(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$, $y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y$. "Работаем по алгоритму: найдите одинаковый множитель, посчитайте его повторения, запишите основание и показатель. Первый пример разберём вместе." | Записывают $4^3$, проговаривают: "Основание 4, показатель 3"; затем в парах выполняют два следующих примера. |
2 мин | Учитель предлагает обратное преобразование: "Раскройте степени $2^5$, $(-1)^4$, $b^3$. В каждом случае сначала назовите показатель, затем запишите произведение ровно с таким количеством множителей." | Записывают $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$, $(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)$, $b\cdot b\cdot b$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте две позиции: совпадает ли основание и правильное ли количество множителей. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: назовите два верных элемента и укажите, что нужно исправить, если ошибка есть." | Проверяют записи партнёра, формулируют замечания: "Основание определено верно; количество множителей совпадает; нужно поставить скобки около отрицательного основания". |
Эталон решения
$(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$ содержит четыре одинаковых множителя. Основание степени равно $-3$, показатель равен $4$. Поэтому произведение записывается так: $(-3)^4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились выполнять оба перехода и увидели типичную ошибку: отрицательное основание нужно заключать в скобки. Сейчас каждый проверит, может ли применить алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение определением степени и умение использовать его в заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, на котором сможете показать уверенную работу. Базовый обязателен для всех; средний можно выбрать при готовности; продвинутый — дополнительный вызов. Работайте молча, записывайте промежуточные рассуждения." | Выбирают карточку, подписывают работу и знакомятся с заданиями. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости напоминает алгоритм: "В задании на запись произведения сначала посчитайте множители, а в задании на раскрытие степени ориентируйтесь на показатель. Не вычисляйте значение, если требуется только раскрыть степень." | Индивидуально выполняют выбранные задания: представляют $5\cdot5\cdot5\cdot5$ в виде степени; раскрывают $(-2)^3$ и $c^4$; называют основание и показатель в $7^2$, $(-a)^5$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: $5^4$; $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$; $c\cdot c\cdot c\cdot c$; в $7^2$ основание 7, показатель 2; в $(-a)^5$ основание $-a$, показатель 5. "Проверьте каждую строку и поставьте знак «+» или исправьте ошибку." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, подчёркивают место затруднения. |
2 мин | Учитель проводит краткий «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно переходите в обе стороны, жёлтую — если нужна ещё тренировка, красную — если пока не различаете основание и показатель. Это не оценка, а сигнал для дальнейшей помощи." | Показывают цвет, фиксируют в тетради личный вывод: «Мне нужно повторить...» или «Я уверенно умею...» . |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что определение уже можно применять без опоры на подсказку. Осталось связать новое знание с общей системой действий и сформулировать, что именно мы унесём с урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает завершить фразы: "Сегодня я узнал... Научился... Мне ещё нужно потренироваться..." Затем возвращается к проблемному вопросу: "Как кратко записать произведение пяти семёрок и что означает верхняя цифра?" | Формулируют: "Пять семёрок записываются как $7^5$; верхняя цифра показывает количество множителей". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите степень для произведения $(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)$, назовите её основание и показатель. Второй пункт: раскройте $x^3$. Сдайте листок при выходе." | Индивидуально выполняют билет: $(-4)^3$, основание $-4$, показатель 3; $x\cdot x\cdot x$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшнего результата. На следующем уроке мы начнём использовать степени в вычислениях, поэтому особенно важно не путать основание и показатель и сохранять скобки у отрицательного основания." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли определение степени и научились видеть в короткой записи произведение одинаковых множителей. Проверьте дома не только ответ, но и количество множителей. На следующем уроке продолжим работу со степенями и их значениями."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной обязательной карточки, правильно названы основания и показатели, отрицательные основания записаны в скобках, исправления обоснованы.
- «4» — допущена одна существенная ошибка в записи степени или раскрытии степени, но определение и смысл основания с показателем в целом поняты.
- «3» — выполнена базовая часть не менее чем наполовину, распознаётся произведение одинаковых множителей, но есть ошибки в количестве множителей или чтении степени.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает показатель степени в записи $a^n$? | Проверка осознания ключевого определения. |
Как записать произведение $(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$ в виде степени? | Выявление умения учитывать отрицательное основание и количество множителей. |
Какая операция сегодня оказалась для вас сложнее: переход от произведения к степени или раскрытие степени? | Определение точки затруднения для последующей дифференциации. |
Что нужно проверить в своей записи перед тем, как считать ответ готовым? | Формирование навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что степень — это не отдельный новый вид числа, а удобная запись произведения одинаковых множителей. Мы научились различать основание и показатель и выполнять переходы в обе стороны. Самая частая ошибка — забыть, сколько раз повторяется множитель, или не поставить скобки у отрицательного основания. Дома закрепите определение, а на следующем уроке будем использовать степени в вычислениях и преобразованиях выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на представление произведения одинаковых множителей в виде степени и раскрытие степеней с натуральными показателями; отдельно назвать основание и показатель в каждой записи. | Закрепляет определение степени и алгоритм перехода между двумя формами записи; при проверке обратить внимание на число множителей и скобки у отрицательных оснований. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5–6 смешанных заданий: записать в виде степени произведения с положительными и отрицательными множителями, раскрыть степени $a^3$, $(-b)^4$, $x^5$, назвать основание и показатель. | Развивает применение определения в разных случаях; при проверке смотреть, не смешаны ли основание и показатель. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 4 собственных примера: два на переход от произведения к степени и два на раскрытие степени, включив число, переменную и отрицательное основание; к каждому дать краткое объяснение. | Формирует умение создавать математические примеры и аргументировать решение; при проверке оценить корректность примеров и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют степенью числа с натуральным показателем? Что является основанием и что показывает показатель? Как записать произведение $6\cdot6\cdot6\cdot6$? Как раскрыть $(-2)^4$?»
