Уравнения, сводящиеся к линейным
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать уравнения, сводящиеся к линейным, преобразовывать их по равносильным правилам и решать не менее трёх таких уравнений с обязательной проверкой корня.
- Научиться раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и переносить члены уравнения с изменением знака.
- Освоить алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным, и применять его к уравнениям с одной или двумя скобками.
- Развивать умение находить и объяснять ошибку в готовом решении, аргументировать выбор шага и работать в паре.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание применения уравнений в задачах физики и финансового планирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску общего алгоритма решения уравнений.
- Осознают ценность точности, последовательности и самопроверки в математической деятельности.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и корректно аргументируют собственную позицию.
- Понимают связь алгебраических преобразований с решением практических задач, встречающихся в инженерии, экономике и естественных науках.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из записи уравнения, экранной схемы и таблицы преобразований.
- Сравнивают решения, выявляют ошибочный шаг и объясняют причину ошибки.
- Используют цифровой тренажёр для получения обратной связи и корректируют собственное решение.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия и представляют общий вывод.
Предметные
- Знать признаки уравнений, которые после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых сводятся к линейным.
- Уметь раскрывать скобки, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую и приводить подобные слагаемые.
- Уметь решать уравнения вида ax+b=cx+d и уравнения со скобками.
- Уметь выполнять проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение.
- Уметь объяснять, почему выполненные преобразования являются равносильными.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться видеть структуру уравнения и выбирать последовательность преобразований.
- Оценивают собственную готовность обратиться за помощью или выбрать повышенный уровень задания.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в решении.
- Связывают аккуратность алгебраической записи с качеством будущей профессиональной деятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение по алгоритму: раскрыть скобки — привести подобные — собрать неизвестные — найти корень — выполнить проверку.
- Осуществляют пошаговый контроль знаков и коэффициентов.
- Сверяют решение с эталоном, находят расхождение и вносят исправления.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы записи уравнения и классифицируют преобразования.
- Устанавливают причинно-следственную связь между раскрытием скобок и переходом к линейному уравнению.
- Моделируют решение в виде алгоритма и краткой схемы.
- Анализируют готовое решение и находят нарушение правила знаков.
- Проверяют гипотезу подстановкой значения в исходное уравнение.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о непонятном шаге решения и уточняют позицию партнёра.
- Распределяют роли в паре: один выполняет преобразования, второй контролирует знаки и задаёт проверочные вопросы.
- Аргументируют выбор следующего действия математическими правилами.
- Корректно обсуждают ошибочное решение без оценивания личности одноклассника.
- Представляют классу общий алгоритм и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным уравнением, алгоритмом решения, двумя готовыми решениями для анализа ошибки и заданиями для самопроверки.
- Подготовить интерактивный цифровой тренажёр или тест с автоматической проверкой трёх уравнений; проверить работу ссылок и режима демонстрации экрана.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с уравнениями и отдельными карточками-этапами алгоритма — по одному комплекту на пару.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Разместить на доске или первом слайде тему урока, проблемный вопрос и заготовку алгоритма: «Что делаем? Зачем? Как проверяем?».
- Подготовить слайд с практическим контекстом: расчёт стоимости поездки по формуле с неизвестной величиной.
- Подготовить проектор, компьютер учителя, интерактивную доску или экран, маркеры и таймер.
- Заранее записать на доске памятку: «Раскрыть скобки; привести подобные; перенести; разделить; проверить».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать готовность к работе и вызвать интерес к поиску универсального способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и устройство, если оно находится на вашей парте. Сегодня я предлагаю вам не просто решить несколько уравнений, а выяснить, как распознавать их общий скрытый вид. На экране появится задача, похожая на обычную, но требующая внимательного выбора действий." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Стоимость поездки складывается из фиксированной платы 120 рублей и 35 рублей за каждый километр. В итоге заплатили 470 рублей. Сколько километров проехали? Запишите уравнение самостоятельно. Подумайте, где в такой задаче может пригодиться алгебра." | Записывают уравнение 120+35x=470, называют неизвестную величину и предполагают: "Алгебра помогает найти неизвестное по известным условиям". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что линейное уравнение описывает реальную ситуацию. Сейчас проверим, всегда ли уравнение сразу записано в удобном виде и что делать, если ему сначала нужно придать линейную форму."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила преобразования выражений и обнаружить затруднение при решении уравнения со скобками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран три коротких задания: "Раскройте скобки: 3(x+2), −2(4−x). Приведите подобные слагаемые: 5x+3x−7. Перенесите слагаемое 6x из левой части в правую. В каждом случае проговорите, какое правило используете." Учитель принимает ответы и фиксирует типичные ошибки со знаками. | Решают в тетрадях и отвечают: "3x+6", "−8+2x", "−7", "При переносе через знак равенства знак меняется". Сверяют записи с доской. |
3 мин | Учитель предлагает уравнение: 3(x−2)+5=2x+9 и спрашивает: "Попробуйте решить его привычным способом. На каком шаге возникает вопрос? Можно ли считать это линейным уравнением, если в начале неизвестная находится в скобках?" Учитель не сообщает готовый алгоритм, а отмечает затруднения класса. | Решают индивидуально, затем обсуждают в парах. Формулируют затруднение: "Сначала нужно раскрыть скобки, а затем уравнение станет линейным". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили правила, которые понадобятся для решения. Затруднение возникло не в нахождении корня, а в подготовке уравнения к линейному виду. Теперь сформулируем цель и план исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и согласовать алгоритм действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд каждый запишите, что нужно сделать с уравнением 3(x−2)+5=2x+9. Затем обсудите с соседом порядок действий и выберите формулировку цели. Не стремитесь угадать всё сразу — нам важно увидеть логику." | Индивидуально записывают предположение, затем в парах составляют план: раскрыть скобки, упростить выражения, перенести неизвестные, найти корень, проверить. |
2 мин | Учитель собирает формулировки: "Какую цель поставим на урок? Как поймём, что достигли её?" На доске записывает согласованный вариант: "Научиться решать уравнения, которые после преобразований сводятся к линейным, и проверять ответ". | Формулируют цель: "Научиться приводить сложное на вид уравнение к линейному и решать его". Предлагают критерий успеха: правильная последовательность и проверка. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не запомнить отдельный пример, а открыть способ, который будет работать в целом классе уравнений. Перейдём к исследованию и проверим каждый шаг на конкретном примере."
Этап 4. Открытие нового знания. Вывод алгоритма (10 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным, и обосновать равносильность преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель записывает на доске уравнение 3(x−2)+5=2x+9 и говорит: "Работаем по шагам. Сначала раскрываем скобки: 3x−6+5=2x+9. Затем приводим подобные слагаемые: 3x−1=2x+9. Теперь соберём неизвестные в левой части, а числа — в правой: 3x−2x=9+1. Почему знак у числа −1 изменился? Потому что слагаемое перенесли через знак равенства. Получаем x=10." | По очереди называют промежуточные записи, объясняют изменение знака и записывают решение: 3x−6+5=2x+9; 3x−1=2x+9; 3x−2x=9+1; x=10. |
3 мин | Учитель предлагает выполнить проверку: "Подставим x=10 в исходное уравнение. Левая часть равна 3(10−2)+5=29, правая часть равна 2·10+9=29. Равенство верно. Значит, корень найден правильно. Обратите внимание: проверка выполняется в исходном уравнении, а не только в последней строке." | Подставляют 10 в обе части исходного уравнения, вычисляют 29 и 29, формулируют вывод: "Значение 10 является корнем, потому что обе части равны". |
2 мин | Учитель показывает на экране схему: "1. Раскрыть скобки. 2. Привести подобные слагаемые. 3. Перенести члены с переменной в одну часть, числа — в другую. 4. Разделить на коэффициент при переменной. 5. Проверить корень в исходном уравнении. Если после упрощения переменная исчезает, нужно отдельно исследовать получившееся равенство." | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, отмечают, что алгоритм применим к разным уравнениям. |
Запись в тетрадях
Уравнения, сводящиеся к линейным, после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых преобразуются к виду ax+b=0 или ax+b=cx+d. Алгоритм: раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; перенести члены; найти корень; выполнить проверку в исходном уравнении.
Эталон решения
\(3(x-2)+5=2x+9\); \(3x-6+5=2x+9\); \(3x-1=2x+9\); \(3x-2x=9+1\); \(x=10\). Проверка: \(3(10-2)+5=29\), \(2\cdot10+9=29\). Ответ: \(x=10\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не единичное решение, а алгоритм. Теперь проверим его в совместной работе и выясним, умеем ли мы объяснять не только ответ, но и основание каждого преобразования."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в паре и увидеть использование уравнений при описании физических и практических ситуаций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Решите уравнение 4(2x−3)−5=3x+10. Один участник выполняет преобразования, второй после каждого шага задаёт вопрос: какое правило использовано? Через две минуты поменяйтесь ролями. Затем вместе выполните проверку." | В парах раскрывают скобки и решают: 8x−12−5=3x+10; 8x−17=3x+10; 5x=27; x=27/5. Объясняют действия партнёру и выполняют подстановку. |
3 мин | Учитель показывает практическую модель: "В физике путь при равномерном движении описывается формулой s=vt. Пусть за первые 2 часа автомобиль проехал путь со скоростью v, а затем ещё 1 час со скоростью v+10; весь путь составил 230 км. Получается уравнение 2v+(v+10)=230. Как оно связано с сегодняшней темой?" | Записывают уравнение, приводят его к виду 3v+10=230, находят v=220/3 км/ч и обсуждают, что буквенное уравнение описывает реальную величину. Отмечают необходимость проверить разумность результата и единицы измерения. |
Эталон решения
\(4(2x-3)-5=3x+10\); \(8x-12-5=3x+10\); \(8x-17=3x+10\); \(8x-3x=10+17\); \(5x=27\); \(x=\frac{27}{5}\). Проверка: левая и правая части исходного уравнения равны \(\frac{131}{5}\). Для практической модели: \(2v+(v+10)=230\), \(3v+10=230\), \(3v=220\), \(v=\frac{220}{3}\) км/ч.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы применили алгоритм и увидели, что уравнение помогает описывать движение и другие реальные процессы. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно владеет всеми шагами."
Этап 6. Самостоятельная работа с ИКТ и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок с помощью цифровой обратной связи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет уровни выбора: "Каждый выбирает карточку базового или повышенного уровня. Базовый уровень содержит два уравнения, повышенный — три, включая уравнение с дробными коэффициентами. После записи решения можно открыть цифровой тренажёр и ввести только ответы, чтобы получить обратную связь. Цифровая проверка не заменяет записи решения: мне важно видеть ход рассуждений." | Выбирают уровень, получают карточку и записывают номер выбранного уровня в лист самооценки. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: решить 2(x+4)−3=x+9 и 5(1−x)+2=2x−8. Повышенный уровень: решить 3(2x−1)−4=x+7 и \(\frac{x+2}{3}+1=\frac{x}{2}\). Учитель перемещается по классу, задаёт вопросы: "На каком шаге вы сейчас находитесь? Где проверите знак?" | Индивидуально решают выбранные уравнения, раскрывают скобки или избавляются от дробных коэффициентов, записывают проверку хотя бы одного корня. |
3 мин | Учитель предлагает цифровую самопроверку: "Введите ответы в тренажёр. Если система показывает ошибку, не стирайте решение. Найдите первую строку, в которой возникло расхождение, и исправьте её другим цветом. На листе отметьте: зелёный — решил сам, жёлтый — исправил после проверки, красный — требуется разбор." | Вводят ответы, анализируют автоматическую обратную связь, исправляют первую ошибочную строку, отмечают цвет самооценки и формулируют причину ошибки: "не раскрыл скобки", "изменил знак неверно", "не выполнил проверку". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только результат, но и место затруднения. Ошибка — это сигнал для коррекции, а не повод отказываться от задачи. Осталось обобщить способ и проверить, что каждый может объяснить его своими словами."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, оценить результат и определить следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Билет на выход": "На небольшом листке завершите три фразы: сегодня я научился...; самый важный шаг алгоритма...; мне нужно ещё потренироваться... Запишите также, как проверить корень уравнения." | Заполняют билет на выход, формулируют: "Нужно раскрыть скобки и привести подобные", "Проверять в исходном уравнении", называют личное затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли назвать уравнение 3(x−2)+5=2x+9 линейным сразу? Что нужно сделать, чтобы оно стало линейным? Какой шаг чаще всего приводит к ошибке?" Затем сообщает критерии оценивания и домашнее задание. | Отвечают: "Сначала оно не записано в линейном виде, но после раскрытия скобок и упрощения сводится к линейному". Называют типичные ошибки и записывают домашнее задание. |
1 мин | Учитель завершает урок: "Спасибо за внимательную работу. Сдайте билет на выход, чтобы я увидел, какой шаг нужно повторить в начале следующего занятия." | Сдают билеты на выход, приводят в порядок рабочее место. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли алгоритм решения уравнений, которые скрывают линейную структуру. На следующем уроке мы продолжим применять этот способ в задачах и отдельно разберём случаи, когда после преобразований переменная исчезает."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены все задания выбранного уровня, преобразования записаны последовательно, правила раскрытия скобок и переноса применены без ошибок, выполнена проверка хотя бы одного корня в исходном уравнении.
- "4" — верно решено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; алгоритм в целом соблюдён.
- "3" — решено не менее одного уравнения базового уровня, но допущены ошибки при раскрытии скобок, переносе членов или проверке; ученик может объяснить отдельные шаги с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения уравнения, сводящегося к линейному, вы считаете главным? | Выявление осознанности последовательности действий и понимания структуры алгоритма. |
На каком преобразовании вы испытывали наибольшее затруднение? | Выявление точек затруднения: раскрытие скобок, перенос членов, дробные коэффициенты или проверка. |
Как вы доказали, что найденное значение является корнем? | Проверка понимания необходимости подстановки в исходное уравнение. |
Какой уровень домашнего задания вы готовы выполнить самостоятельно? | Субъективная оценка готовности и планирование индивидуальной траектории работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за скобками и сложными слагаемыми знакомую линейную структуру. Главное — не пропускать раскрытие скобок, внимательно следить за знаками и проверять ответ в исходном уравнении. Если цифровая проверка показала ошибку, это возможность найти первый неверный шаг и исправить способ рассуждения. На следующем уроке мы применим алгоритм к более сложным уравнениям и задачам, а также рассмотрим случаи особых равенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 уравнения, сводящиеся к линейным: два со скобками и два после переноса членов; выполнить проверку двух найденных корней в исходных уравнениях. | Закрепить основной алгоритм; при проверке обратить внимание на раскрытие скобок, изменение знаков и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 уравнений, среди которых есть уравнения с дробными коэффициентами и двумя скобками; к каждому кратко подписать использованное преобразование. | Развить устойчивость алгоритма в изменяющихся условиях; проверить последовательность действий и умение избавляться от дробных коэффициентов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу о движении, покупке или расходе ресурсов, которая решается уравнением со скобками, записать уравнение, решить его и объяснить смысл корня. | Развить умение моделировать реальную ситуацию, создавать собственное математическое условие и интерпретировать ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как распознать уравнение, сводящееся к линейному? В каком порядке выполняются преобразования? Почему при переносе слагаемого меняется его знак? Где выполняется проверка корня?"
