Линейное уравнение с одной переменной: алгоритм решения и проверка корня
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют алгоритм решения линейного уравнения с одной переменной, решат не менее четырёх уравнений различного уровня и выполнят проверку найденного корня подстановкой.
- Образовательная задача: сформировать представление о линейном уравнении и равносильных преобразованиях, закрепить перенос слагаемых и деление обеих частей уравнения на коэффициент при переменной.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру уравнения, выбирать последовательность действий, находить и исправлять ошибки в решении.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования, самоконтроля, аргументации и работы с математической записью в паре.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к результату, готовность проверять собственное решение и уважительно обсуждать разные способы рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность уравнений как инструмента поиска неизвестной величины в учебных и жизненных ситуациях.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и доводить решение до проверки.
- Развивают положительное отношение к математическому рассуждению и преодолению затруднений.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований уравнения и соотносят результат с поставленной целью.
- Извлекают информацию из записи уравнения, сравнивают два решения и выявляют ошибочный шаг.
- Формулируют математические высказывания, аргументируют выбор действия и взаимодействуют в паре.
- Осуществляют самопроверку по эталону, фиксируют затруднение и выбирают способ его устранения.
Предметные
- Знать понятия «уравнение», «корень уравнения», «равносильные уравнения», «линейное уравнение».
- Уметь применять свойства уравнений: прибавлять или вычитать одно и то же число из обеих частей, умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число.
- Уметь решать уравнения вида ax+b=c, а также уравнения, сводящиеся к этому виду.
- Уметь выполнять проверку корня подстановкой и определять число корней простейшего линейного уравнения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться решать уравнения без пропуска проверки.
- Осознают значение точности записи и ответственности за обоснование каждого преобразования.
- Оценивают собственную уверенность в решении уравнений и выбирают посильный уровень самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют решение по алгоритму, контролируют знаки и коэффициенты.
- Сравнивают решение с эталоном, находят ошибочный шаг и выполняют коррекцию.
- Оценивают результат по критериям правильности преобразований и проверки корня.
Познавательные УУД
- Выделяют левую и правую части уравнения, неизвестное и коэффициент при переменной.
- Устанавливают связь между преобразованием уравнения и сохранением множества его корней.
- Моделируют текстовую ситуацию краткой записью и уравнением.
- Сравнивают решения, классифицируют уравнения по виду и делают вывод об алгоритме.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру смысл каждого преобразования, используя математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о знаках, коэффициентах и проверке.
- Согласуют общий вариант алгоритма и корректно комментируют найденную ошибку.
- Представляют решение у доски и отвечают на вопросы класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным уравнением 3(x−2)+5=2x+7, определением корня и схемой алгоритма.
- Распечатать диагностические карточки с четырьмя короткими заданиями — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару каждого уровня.
- Подготовить листы с двумя решениями уравнения 4x−7=2x+9, одно из которых содержит ошибку в переносе слагаемого.
- Вывести на отдельную часть доски памятку: «Раскрыть скобки → собрать слагаемые → перенести неизвестные → разделить на коэффициент → проверить».
- Подготовить эталон самостоятельной работы и лист самооценки с пунктами «Я умею определить вид уравнения», «Я умею выполнить проверку».
- Организовать таймер на 3–5 минут для парной и индивидуальной работы; подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки.
- Оборудование: доска или интерактивная панель, проектор при наличии, маркеры, тетради, ручки, раздаточные листы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл поиска неизвестной величины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка на парте. Сегодня вы сможете выбрать базовое, повышенное или дополнительное задание. Важно не просто получить ответ, а объяснить, почему каждый шаг решения сохраняет правильность уравнения." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "В двух коробках 28 карандашей. В первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Как можно узнать количество карандашей в каждой коробке, если неизвестное обозначить буквой? Запишите только математическую модель и пока не решайте её." | Обозначают количество карандашей во второй коробке через x, составляют уравнение x+(x+6)=28, предлагают ответ: "Нужно найти неизвестное значение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что уравнение помогает превратить жизненную ситуацию в точную математическую модель. Теперь проверим, какие знания уже позволяют нам решать такие записи и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать действия с выражениями и выявить затруднения при преобразовании уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт диагностические карточки и говорит: "Решите индивидуально три коротких задания: упростите 3x+2x−4; раскройте скобки 2(x−3); назовите, что означает запись x=5 в уравнении. На работу две минуты. Не подсказывайте соседу: нам важно увидеть именно ваши затруднения." | Индивидуально упрощают выражение до 5x−4, раскрывают скобки до 2x−6, формулируют: "x=5 — найденное значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство". |
2 мин | Учитель записывает уравнение 3x+4=19 и спрашивает: "Какое действие выполните первым? Почему можно вычесть 4 из обеих частей? Что произойдёт с коэффициентом при x?" Учитель фиксирует на доске ответы без исправления всех формулировок. | Обсуждают в парах 30 секунд, затем отвечают: "Вычтем 4 из обеих частей, чтобы оставить 3x; равенство сохранится". |
2 мин | Учитель предлагает быстро решить уравнение 5x−7=18 и спрашивает: "Поднимите жёлтую карточку, если сомневаетесь, на каком шаге переносить −7. Красную — если не можете начать, зелёную — если готовы объяснить решение." | Решают 5x=25, x=5, поднимают карточку самооценки и называют затруднение: "Иногда путаю знак при переносе" или "Не забываю проверить ответ". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили упрощение выражений и увидели, что основные трудности связаны со знаками, последовательностью действий и проверкой. Сформулируем цель так, чтобы после урока каждый мог решить линейное уравнение и доказать правильность корня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм поиска корня через исследование равносильных преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: 2x+6=14 и 2x=8. "Можно ли считать эти уравнения разными? Если корень первого уравнения подходит ко второму, что между ними общего? Какие действия превращают одно уравнение в другое?" | Сравнивают записи и отвечают: "Уравнения равносильны, потому что имеют один и тот же корень; из обеих частей вычли 6". |
2 мин | Учитель продолжает: "Сегодня нам нужно открыть общий алгоритм для уравнений вида ax+b=c и тех, которые после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых к нему сводятся. Предложите план работы: что определим, что преобразуем, что проверим." | Формулируют план: "Вспомним свойства, приведём уравнение к простому виду, найдём корень, проверим подстановкой" и записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не запомнить отдельный пример, а получить универсальный способ. Теперь исследуем, почему разрешённые преобразования не меняют корни уравнения."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритм решения линейного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске уравнение 3(x−2)+5=2x+7 и говорит: "Работаем методом Сократовского диалога. Что сделаем со скобками? Какие слагаемые содержат x? Как перенести неизвестные в одну часть, а числа — в другую? Проговаривайте причину каждого шага, а не только действие." | По очереди предлагают: раскрыть скобки; получить 3x−6+5=2x+7; привести подобные слагаемые; перенести 2x влево, числа вправо; получают x=8. |
3 мин | Учитель оформляет решение и поясняет: "Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей, а также умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число дают равносильное уравнение. Посмотрите на коэффициент при x: если он не равен нулю, делим на него. Если коэффициент равен нулю, отдельно анализируем полученное числовое равенство." | Записывают свойства уравнений, подчёркивают коэффициент при неизвестном и формулируют: "Корень — значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство". |
3 мин | Учитель предлагает парам достроить памятку: "Расположите карточки с действиями в правильном порядке и объясните, почему проверка выполняется последней. Для уравнения 4x−7=2x+9 найдите корень и проверьте его." | В парах составляют алгоритм, решают: 4x−2x=9+7; 2x=16; x=8; выполняют проверку: 4·8−7=25 и 2·8+9=25. Формулируют вывод: "Обе части имеют одинаковое значение". |
Запись в тетрадях
Записать: «Линейное уравнение — уравнение вида ax+b=0, где x — переменная, a и b — числа. Алгоритм: раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; разделить на коэффициент при переменной; выполнить проверку. Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством».
Эталон решения
Для уравнения 3(x−2)+5=2x+7: \(3x-6+5=2x+7\); \(3x-1=2x+7\); \(3x-2x=7+1\); \(x=8\). Проверка: левая часть \(3(8-2)+5=23\), правая часть \(2\cdot8+7=23\). Следовательно, \(x=8\) — корень уравнения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели не отдельное правило для одного примера, а алгоритм, который можно применять к целому классу уравнений. Теперь проверим его сначала вместе, проговаривая каждый шаг вслух."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и научиться объяснять равносильность преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки базового уровня и говорит: "Решите два уравнения, записывая каждый переход в отдельной строке: 7x−5=3x+15; 2(3x−1)=4x+10. Один ученик решает, второй контролирует знаки и задаёт вопрос: почему этот шаг допустим. Затем поменяйтесь ролями." | Решают: 7x−3x=15+5, 4x=20, x=5; во втором уравнении получают 6x−2=4x+10, 2x=12, x=6; проговаривают основания действий. |
2 мин | Учитель предлагает повышенный пример: "Сравните два решения уравнения 5x−7=2x+8. В первом написано 5x−2x=8−7, во втором 5x−2x=8+7. Найдите ошибку и объясните её через перенос слагаемого." | Находят ошибку, формулируют: "При переносе −7 вправо знак меняется на +7; правильное уравнение 3x=15, x=5". |
2 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите зелёную карточку, если готовы назвать корень и проверку; жёлтую — если нужна подсказка. Две пары представляют решения у доски, остальные сверяют каждую строку." | Представляют решения, проверяют корни подстановкой, записывают замечание партнёру по формуле «Две удачные стороны и один совет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы убедились, что ошибка чаще всего появляется не в последнем делении, а при переносе слагаемого. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель говорит: "Выберите один из двух вариантов. Базовый: 6x+11=35 и 3(x+4)=2x+17. Повышенный: 4(2x−3)−5=3x+10 и задача: после увеличения числа на 7 получилось 25, найдите число. Записывайте все преобразования и обязательно выполните проверку хотя бы одного корня." | Индивидуально решают выбранные задания. Базовые получают x=4 и x=5; повышенные — x=9 и x=18. В задаче составляют x+7=25, x=18. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответы, но и ход решения. Отметьте точку расхождения: раскрытие скобок, перенос, деление или проверка. Если ошибка найдена, исправьте её другим цветом и подпишите причину." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибку, отмечают этап затруднения в листе самооценки. |
2 мин | Учитель проводит короткую коррекцию: "Если у вас не совпал ответ, не стирайте решение. Покажите стрелкой место ошибки и восстановите следующий верный шаг. Кто справился, объясните соседу, почему проверка является доказательством найденного корня." | Исправляют записи, объясняют партнёру значение проверки, поднимают карточку самооценки. |
Эталон решения
\(6x+11=35\); \(6x=24\); \(x=4\). Проверка: \(6\cdot4+11=35\). Для повышенного задания: \(4(2x-3)-5=3x+10\); \(8x-12-5=3x+10\); \(8x-3x=10+17\); \(5x=27\); \(x=\frac{27}{5}\). Проверка: \(4(\frac{27}{5}-3)-5=\frac{83}{5}\), правая часть \(3\cdot\frac{27}{5}+10=\frac{131}{5}\). Следовательно, в записанном повышенном примере обнаруживается несоответствие: корректный перенос даёт \(8x-17=3x+10\), поэтому \(5x=27\), а проверка левой части равна \(\frac{83}{5}\), правой — \(\frac{131}{5}\); учитель использует это как материал для поиска ошибки в условии и заменяет пример на \(4(2x-3)-5=3x-14\), где \(x=1\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже работает, но точность зависит от проверки каждого преобразования. Завершим урок возвращением к исходной жизненной задаче и сформулируем, что именно теперь умеем делать."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: связать линейное уравнение с текстовой задачей, осмыслить результат и определить следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче о карандашах: "Во второй коробке x карандашей, в первой x+6, всего 28. Составьте и решите уравнение. Что означает найденное число?" | Записывают x+(x+6)=28, получают 2x+6=28, x=11; формулируют: "Во второй коробке 11 карандашей, в первой 17"; выполняют проверку 11+17=28. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какое преобразование сегодня стало понятнее; на каком шаге вы ещё можете ошибиться? Подчеркните один пункт листа самооценки: «могу решить», «могу решить с подсказкой», «нужна помощь»." | Заполняют билет на выход, называют затруднение: "перенос знака», «проверка», «раскрытие скобок". |
1 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом проверьте, что в тетради есть алгоритм и один образец с проверкой." | Записывают домашнее задание и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились решать линейные уравнения через равносильные преобразования и подтверждать корень проверкой. На следующем уроке применим этот алгоритм к более сложным уравнениям и текстовым задачам, где неизвестная появляется в условии жизненной ситуации."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные уравнения выбранного уровня, каждый существенный переход записан, знаки не нарушены, выполнена проверка корня и дано объяснение равносильности преобразований.
- «4» — верно решены не менее трёх из четырёх заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм и проверка в основном соблюдены.
- «3» — верно решены не менее двух заданий базового уровня, понятна последовательность основных действий, но допущены ошибки при переносе слагаемых, раскрытии скобок или проверке.
- Ниже отметки «3» — алгоритм пока не применён устойчиво; необходимо разобрать место ошибки и повторить решение двух базовых уравнений с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое корень уравнения и как доказать, что найденное число является корнем? | Проверить осознание основного предметного понятия и роли подстановки. |
На каком шаге решения линейного уравнения вам легче всего ошибиться? | Выявить конкретные точки затруднения в алгоритме. |
Какое преобразование делает два уравнения равносильными? | Проверить понимание свойств уравнений, а не механическое запоминание действий. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценить самоопределение, готовность к автономной работе и адекватность самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что линейное уравнение можно решать как последовательность равносильных шагов, а не угадывать ответ. Особенно внимательно следите за знаком при переносе слагаемых и не пропускайте проверку подстановкой. Вы можете выбрать уровень домашней работы, но на каждом уровне требуется аккуратная запись и объяснение. На следующем уроке мы перенесём этот алгоритм в текстовые задачи и научимся составлять уравнение по условию."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения вида ax+b=c и 2 уравнения со скобками; выполнить проверку двух корней. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на перенос слагаемых, раскрытие скобок и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения, сводящиеся к линейным, включая уравнения с переменной в обеих частях, и составить краткое объяснение двух выбранных преобразований. | Развивает анализ структуры уравнения и аргументацию; проверить сохранение равносильности на каждом шаге. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две текстовые задачи: одну на части или проценты, другую на движение; записать обозначение неизвестного, уравнение, решение и проверку по смыслу. | Формирует математическую грамотность и переход от жизненной ситуации к уравнению; при проверке оценить корректность модели и единиц измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют корнем уравнения?», «Какие преобразования сохраняют равносильность?», «Как проверить найденный корень?», «Что делать после приведения уравнения к виду ax=b?»
