Тождества. Тождественные преобразования
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать тождества и выполнять тождественные преобразования выражений, применяя распределительное, переместительное и сочетательное свойства, а также проверять результат подстановкой двух числовых значений.
- Сформировать понимание различия между равенством, уравнением и тождеством; научить приводить буквенные выражения к равным им формам.
- Развивать умение анализировать структуру выражения, выбирать последовательность преобразований и находить ошибки в рассуждениях.
- Формировать навыки сотрудничества, аргументации и самоконтроля при работе в парах и индивидуально.
- Показать связь алгебраических преобразований с геометрией, физикой и практическими расчётами.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность точного и последовательного математического рассуждения.
- Проявлять познавательный интерес к поиску разных форм записи одного и того же результата.
- Развивать ответственное отношение к самостоятельной проверке вычислений и уважение к аргументированной позиции одноклассника.
- Понимать практическую значимость алгебры для дальнейшего изучения физики, информатики и технических дисциплин.
Метапредметные
- Выделять существенные признаки тождества и структурировать информацию в виде алгоритма.
- Планировать последовательность преобразований, контролировать промежуточные действия и корректировать ошибку.
- Формулировать вопросы, объяснять способ решения и сравнивать разные формы одного выражения.
- Использовать подстановку числовых значений как способ проверки математического утверждения.
Предметные
- Знать определения тождества и тождественных преобразований.
- Уметь определять, является ли равенство тождеством, проверяя его область допустимых значений и преобразуя выражения.
- Уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и применять свойства сложения и умножения.
- Уметь записывать цепочку равенств и проверять полученный результат подстановкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы: научиться преобразовывать выражения без потери смысла.
- Проявляют готовность признавать ошибку и использовать её для улучшения способа решения.
- Осознают связь аккуратной записи и надёжности математического результата.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей и стремятся перейти к более сложному уровню.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют шаги преобразования выражения и удерживают их последовательность.
- Сверяют решение с эталоном и проверяют равенство подстановкой.
- Находят место ошибки, объясняют её причину и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Сравнивают левую и правую части равенства и выделяют общий математический смысл.
- Классифицируют равенства на тождества и равенства, верные при отдельных значениях переменной.
- Строят цепочку преобразований и моделируют выражение в более удобной форме.
- Работают с символьной и числовой информацией, формулируют обобщающий вывод.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют выбор преобразования математическими свойствами.
- Сравнивают решения одноклассников без перехода к оценке личности.
- Распределяют роли в парной работе и корректно принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с равенствами: 3(x+2)=3x+6, 2a+5a=7a, (x+1)^2=x^2+1, 4(y-2)=4y-8.
- Распечатать карточки трёх уровней: обязательный, повышающий и дополнительный — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать лист самопроверки с алгоритмом: определить область допустимых значений; раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; записать цепочку равенств; проверить результат.
- Подготовить карточки для работы в парах с выражениями 5(a+3)-2a, 7x-(3x-4), 2(3m-1)+4m.
- Заранее вывести на экран таблицу «Равенство — тождество — уравнение» и критерии успешного решения.
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Освободить безопасное пространство между рядами для короткой физкультминутки; подготовить таймер.
- Подготовить схему связи алгебры с геометрией: периметр прямоугольника P=2(a+b), раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
- На доске оставить место для записи темы, определения тождества и образца цепочки преобразований.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать потребность в новом способе преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, карточка для работы и место на столе для записи. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение доказывать, что две разные записи обозначают одно и то же." | Проверяют принадлежности, записывают дату, занимают рабочее место. |
3 мин | Учитель показывает на доске равенства 3(x+2)=3x+6 и (x+1)^2=x^2+1: "Посмотрите на две пары выражений. Какое равенство, по вашему мнению, верно при любом допустимом значении переменной? Обсудите ответ с соседом 30 секунд. Не называйте только ответ — подготовьте объяснение." | Обсуждают в парах, формулируют предположения: "Первое равенство верно всегда, потому что действует распределительное свойство"; "Второе неверно: при x=1 левая часть равна 4, а правая — 2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внешне похожие равенства могут иметь разный смысл. Сегодня выясним, как распознавать равенства, верные при всех допустимых значениях переменных, и как получать такие равенства преобразованием выражений."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства действий и умения раскрывать скобки, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните распределительное, переместительное и сочетательное свойства. Запишите по одному примеру каждого свойства. Затем объясните соседу, где именно в записи используется свойство." | Индивидуально записывают примеры, затем обсуждают: "a(b+c)=ab+ac"; "a+b=b+a"; "(a+b)+c=a+(b+c)". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с выражениями: 4(x+2), 6a-2a+3, 5(y-1)+2y. Говорит: "Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Проговаривайте действие: умножаем общий множитель на каждый член скобок, затем объединяем подобные слагаемые." | Решают в тетрадях и сверяют в парах: 4x+8; 4a+3; 7y-5. Один ученик объясняет у доски решение выражения 5(y-1)+2y. |
Запись в тетрадях
Свойства: a(b+c)=ab+ac; a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). Подобные слагаемые складываются с сохранением буквенной части.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили инструменты, с помощью которых меняем форму выражения. Теперь проверим, достаточно ли просто получить одинаковые результаты на нескольких примерах, чтобы назвать равенство тождеством."
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие тождества и определить план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: 2(x+3)=2x+6; x+5=10; (a+b)^2=a^2+b^2. "Сравните эти равенства. Какие верны при любом значении переменной, какие — только при отдельных значениях, а какие вообще неверны? Как это проверить?" | Классифицируют: первое — верно всегда; второе — только при x=5; третье — не является общим правилом. Предлагают проверку преобразованием и подстановкой. |
3 мин | Учитель направляет беседу: "Какую цель поставим? В конце урока вы должны уметь не угадывать, а обосновывать. Предложите шаги работы: что определить сначала, что сделать затем и чем проверить результат." | Формулируют цель: "Научиться распознавать тождества и преобразовывать выражения". Называют план: определить допустимые значения, выполнить преобразования, сравнить части, проверить подстановкой. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: отдельная проверка ещё не заменяет доказательство общего равенства. Сейчас мы выведем определение и алгоритм, который позволит действовать надёжно."
Этап 4. Открытие нового знания. Межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: вывести определение тождества и алгоритм тождественных преобразований на основе свойств действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске цепочку: 3(x+4)=3x+12. "Сначала раскроем скобки по распределительному свойству. Получили ли мы новое значение выражения или только другую форму той же величины? Почему знак равенства сохраняется?" Затем формулирует: "Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Тождественное преобразование — замена одного выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях." | Отвечают: "Значение не изменилось, изменилась только форма записи"; записывают определения; приводят собственный пример тождества. |
3 мин | Учитель предлагает разобрать выражение 5(a+3)-2a: "Действуем по алгоритму. Первый шаг — раскрыть скобки. Второй — привести подобные слагаемые. Записываем каждую строку с новым знаком равенства." На доске появляется: 5(a+3)-2a=5a+15-2a=3a+15. | Записывают цепочку, проговаривают: "5 умножаем на a и на 3; 5a и -2a — подобные слагаемые; получаем 3a+15". |
2 мин | Учитель показывает геометрическую связь: "Периметр прямоугольника со сторонами a и b записывают как P=2(a+b). Раскроем скобки: P=2a+2b. Эти записи выглядят по-разному, но описывают один и тот же периметр. Поэтому тождественные преобразования нужны и в геометрии, и в физике, где формулу приводят к удобному виду для расчёта." | Объясняют, почему 2(a+b)=2a+2b; приводят пример, когда удобнее первая форма, а когда вторая; отвечают: "Для подстановки конкретных a и b удобны обе формы, а для выделения суммы сторон — первая". |
Запись в тетрадях
Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Тождественные преобразования — преобразования выражения, при которых его значение не изменяется. Алгоритм: 1) определить допустимые значения; 2) раскрыть скобки; 3) привести подобные слагаемые; 4) записать цепочку равенств; 5) выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не отдельный приём, а общий алгоритм. Теперь применим его сначала вместе, а затем каждый самостоятельно, чтобы проверить устойчивость нового способа."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить распознавание тождественных преобразований в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. На слово «скобки» поднимите руки вверх, на слово «подобные» потянитесь вправо и влево, на слово «тождество» сделайте спокойный вдох и выдох. Повторяем последовательно: скобки — подобные — тождество — проверка." | Выполняют движения, проговаривают этапы алгоритма, возвращаются к рабочим местам. |
5 мин | Учитель организует игру «Верно — неверно»: "Поднимите зелёную карточку, если равенство является тождеством, жёлтую, если нужна проверка, красную, если равенство неверно. Рассмотрим: 4(x+1)=4x+4; 3x+2x=5x; x+2=7; 2(a+b)=2a+2b. Объясняйте выбор, ссылаясь на свойство или подстановку." | Поднимают карточки и аргументируют: первые два и четвёртое — тождества; x+2=7 — уравнение, верное только при x=5. Записывают краткие пояснения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились отличать общее правило от равенства, которое выполняется лишь при одном значении. Теперь каждый проверит себя на преобразовании выражений, а выбор уровня задания поможет работать в собственном темпе."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом тождественных преобразований и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем выберите повышающий или дополнительный. Работайте самостоятельно, не перепрыгивайте через строки преобразований. Через пять минут на экране появится эталон." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают решение. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "Какой множитель стоит перед скобками? Какие слагаемые являются подобными? Что нужно проверить после преобразования?" Задания: обязательный — упростить 3(x+2)+4x и 7a-2(a+1); повышающий — доказать тождество 2(3y-4)+y=7y-8 и преобразовать 5(2m-1)-3(m+2); дополнительный — найти ошибку в записи 4(x+3)-2x=4x+3-2x=2x+3 и исправить её. | Решают выбранные задания, подчёркивают подобные слагаемые, записывают цепочку равенств. При затруднении используют алгоритм на листе. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только последний ответ, но и каждый переход. Если нашли расхождение, поставьте знак вопроса рядом с ошибкой и исправьте её другим цветом." | Проверяют: 3(x+2)+4x=3x+6+4x=7x+6; 7a-2(a+1)=7a-2a-2=5a-2; 2(3y-4)+y=6y-8+y=7y-8; 5(2m-1)-3(m+2)=10m-5-3m-6=7m-11. Исправляют ошибку: 4(x+3)-2x=4x+12-2x=2x+12. |
Эталон решения
1) 3(x+2)+4x=3x+6+4x=7x+6. 2) 7a-2(a+1)=7a-2a-2=5a-2. 3) 2(3y-4)+y=6y-8+y=7y-8. 4) В ошибочной записи неверно раскрыты скобки: 4(x+3)=4x+12, поэтому 4(x+3)-2x=4x+12-2x=2x+12.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное место риска — раскрытие скобок и сохранение знака перед отрицательным слагаемым. В завершение свяжем новый способ с общей системой знаний и сформулируем личный вывод о работе."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить затруднения и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Тождество — это...», «Чтобы преобразовать выражение, я сначала...», «Моя типичная ошибка — ...». Затем обменяйтесь ответами с соседом и дополните формулировку, если она стала точнее." | Письменно завершают фразы, сравнивают ответы в парах, формулируют: "Тождество верно при любых допустимых значениях"; "сначала смотрю на скобки и допустимые значения". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка означает, что вы можете самостоятельно преобразовать выражение; жёлтая — что нужен ещё один пример; красная — что требуется разбор с учителем. Поднимите карточку и назовите конкретный шаг, который требует внимания." | Поднимают карточки и называют затруднение: "Мне нужно ещё потренироваться со знаком минус перед скобками" или "Я уверенно раскрываю скобки, но хочу проверить сложные примеры". |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему 3(x+2)=3x+6 является тождеством, а x+2=7 — уравнением?" Подводит итог и сообщает домашнее задание. | Отвечают: "Первое равенство верно при всех значениях x, второе только при x=5"; записывают домашнее задание и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто раскрывали скобки, а доказали, почему форма выражения может измениться без изменения его значения. Проверьте себя по контрольным вопросам и выберите домашний уровень, который позволит сделать следующий шаг."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания обязательного уровня и одно задание повышенного или дополнительного уровня; цепочки преобразований записаны полностью, знаки расставлены корректно, ошибка в дополнительном задании объяснена.
- «4» — верно выполнены все задания обязательного уровня, допущена одна несущественная ошибка в промежуточной записи или повышенном задании, которая исправлена при самопроверке.
- «3» — правильно выполнено не менее двух заданий обязательного уровня, но допущены ошибки при раскрытии скобок или приведении подобных слагаемых; ученик способен исправить их с опорой на алгоритм.
- Ниже базового уровня — работа требует индивидуального разбора последовательности действий и повторного выполнения одного аналогичного выражения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое тождество и чем оно отличается от уравнения? | Проверка осознания ключевого понятия и различения общего равенства и равенства при отдельных значениях. |
Какой шаг алгоритма тождественного преобразования сегодня оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как ты проверишь, что преобразование выполнено верно? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и использования подстановки. |
Какой уровень домашнего задания ты выбираешь и почему? | Оценка самоопределения, адекватности самооценки и готовности к дальнейшему усложнению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что тождество — это равенство, сохраняющееся при любых допустимых значениях переменных, а тождественные преобразования меняют форму, но не значение выражения. Самая частая ошибка — неправильное раскрытие скобок, особенно когда перед ними стоит знак минус или числовой множитель. Проверяйте каждую строку цепочки равенств и при необходимости используйте подстановку. На следующем уроке мы продолжим преобразования и применим их при решении более сложных алгебраических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 упражнений на раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, аналогичных выражениям 3(x+2)+4x и 7a-2(a+1). Записать полные цепочки преобразований. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки, распределительное свойство и наличие всех промежуточных строк. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания: доказать два тождества преобразованием и определить, является ли одно из предложенных равенств тождеством или уравнением; для одного примера выполнить проверку подстановкой. | Развивает анализ и аргументацию; проверить различение тождества и равенства, верного при отдельных значениях. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных буквенных выражения, тождественно равных 6x+12, объяснить использованные свойства и придумать практический или геометрический контекст для одной пары выражений. | Развивает создание математической модели и понимание того, что одну величину можно представить в разных формах. |
Контрольные вопросы перед выходом: «При каких значениях переменной выражение имеет смысл?», «Как раскрыть скобки, если перед ними стоит множитель?», «Какие слагаемые называются подобными?», «Чем тождество отличается от уравнения?», «Как проверить результат тождественного преобразования?»
