Сравнение и упорядочивание рациональных чисел с выполнением их преобразования
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут сравнивать и упорядочивать рациональные числа, предварительно преобразуя их к удобному виду, и обосновывать выбор способа не менее чем в четырёх из пяти заданий.
- Образовательная задача: актуализировать представления о рациональных числах, координатной прямой, десятичных дробях и обыкновенных дробях.
- Образовательная задача: освоить способы сравнения рациональных чисел через приведение дробей к общему знаменателю, преобразование в десятичную дробь и сопоставление с нулём.
- Развивающая задача: формировать умение выбирать рациональный способ преобразования, объяснять ход рассуждений и проверять результат.
- Воспитательная задача: развивать уважительное взаимодействие в паре, самостоятельность выбора способа решения и ответственное отношение к точности вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет заинтересованность в поиске разных способов сравнения чисел и оценивает, какой из них удобнее в конкретной ситуации.
- Ученик проявляет готовность уважительно обсуждать решение одноклассника и корректно задавать уточняющие вопросы.
- Ученик осознаёт практическую ценность точного сравнения величин при работе с температурой, расстояниями и финансовыми данными.
- Ученик принимает ответственность за самостоятельную проверку преобразований и исправление найденной ошибки.
Метапредметные
- Ученик извлекает из записи чисел необходимые сведения: знак, целую часть, знаменатель и разряд десятичной дроби.
- Ученик сопоставляет способы сравнения и выбирает подходящий, объясняя критерий выбора.
- Ученик планирует последовательность преобразований, сверяет результат с координатной прямой или оценкой величины.
- Ученик участвует в парном обсуждении, формулирует аргумент и учитывает замечания партнёра.
Предметные
- Ученик знает, что из двух рациональных чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее.
- Ученик умеет сравнивать положительные и отрицательные рациональные числа, включая обыкновенные и десятичные дроби.
- Ученик преобразует обыкновенные дроби в десятичные, если это удобно, и приводит дроби к общему знаменателю.
- Ученик упорядочивает набор рациональных чисел по возрастанию или убыванию и проверяет порядок.
- Ученик обосновывает сравнение с помощью знаков неравенства и корректных промежуточных преобразований.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик соотносит учебную задачу с личным опытом сравнения величин и понимает смысл точности.
- Ученик проявляет познавательную инициативу, выбирая из предложенных способов тот, который считает наиболее понятным.
- Ученик оценивает свой прогресс без сравнения собственной ценности с результатами одноклассников.
- Ученик придерживается уважительного тона при несогласии с решением партнёра.
Регулятивные УУД
- Ученик формулирует цель: научиться сравнивать рациональные числа после удобного преобразования.
- Ученик планирует действия: определяет знаки чисел, выбирает преобразование, выполняет сравнение, записывает вывод.
- Ученик контролирует знаки, знаменатели и разрядность при выполнении вычислений.
- Ученик находит и исправляет ошибки, используя самопроверку и аргумент партнёра.
Познавательные УУД
- Ученик анализирует состав рациональных чисел и выделяет признаки, влияющие на выбор способа сравнения.
- Ученик моделирует расположение чисел на координатной прямой и соотносит модель со знаками неравенства.
- Ученик преобразует дробные записи и проверяет эквивалентность полученных чисел.
- Ученик сравнивает решения, выявляет закономерности и формулирует общий алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Ученик распределяет действия в паре и согласует общий ответ за отведённое время.
- Ученик задаёт вопросы о выборе способа и отвечает на вопросы партнёра с математическими аргументами.
- Ученик объясняет решение, используя термины «рациональное число», «общий знаменатель», «координатная прямая».
- Ученик корректно разрешает разногласие, проверяя спорное утверждение вычислением или моделью.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной ситуацией о температуре, координатной прямой и двумя наборами рациональных чисел; проверить её отображение на проекторе.
- Подготовить интерактивную доску или экран и заранее открыть слайд с температурными данными: −2,5 °C, −1/4 °C, 0 °C, 1,75 °C.
- Распечатать карточки с тремя наборами чисел — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальный лист самопроверки с пятью заданиями и ответами на обороте — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры для координатной прямой на доске и магнитные карточки с числами для демонстрации.
- Заранее начертить на доске координатную прямую с отметками −2, −1, 0, 1, 2 и оставить место для алгоритма сравнения.
- Подготовить памятку-алгоритм: определить знаки; сравнить числа одного знака; при необходимости преобразовать дроби; записать знак неравенства.
- Подготовить слайд с контекстом межпредметной связи: прогноз температуры в трёх городах и изменение показаний термометра; проверить, что числа читаемы с задних парт.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к проблеме сравнения чисел в жизненном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и объяснять, почему выбранный способ работает. На экране появятся показания температуры: −2,5 °C и −1/4 °C. Какое из них ниже? Пока не называйте ответ наугад: подумайте, какая запись может помочь сравнить числа." | Готовят тетради и ручки, читают показания на экране, индивидуально формулируют предположение: «Ниже −2,5 °C» или «Нужно сначала привести числа к одному виду». |
2 мин | "Это пример из географии и прогноза погоды: чтобы сравнить климатические показатели городов, важно правильно упорядочить температуры, в том числе отрицательные. В течение тридцати секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом одну минуту. После этого две пары объяснят классу не только ответ, но и способ. Ошибаться в гипотезе можно — сегодня мы проверим её математически." | Обдумывают задачу, обсуждают в паре сравнение −2,5 и −1/4, предлагают аргументы: «−2,5 левее на прямой»; «−1/4 = −0,25, значит, оно больше». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что дробные записи могут затруднить сравнение. Давайте проверим, какие знания уже помогут нам разобраться, а где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила сравнения чисел и преобразования дробей, необходимые для открытия нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на координатную прямую на доске. Напомните правило: какое число больше — расположенное левее или правее? Что можно сказать о положительном числе и отрицательном? Я запишу на доске утверждения −3 < −1 и −1 < 2. Объясните, как расположение точек подтверждает каждое неравенство. Затем быстро преобразуем 1/2 и 3/4 в десятичные дроби." | Отвечают: «Больше число, расположенное правее»; «Любое положительное число больше отрицательного». Объясняют расположение точек, записывают 1/2 = 0,5 и 3/4 = 0,75. |
3 мин | "Теперь за минуту выполните на доске и в тетради два коротких сравнения: 0,6 и 2/3; −5 и −2. Не просто поставьте знак: назовите действие, которое сделали. Сравните ответы с соседом. Если способы отличаются, определите, какой короче и почему." | Записывают 0,6 < 2/3, так как 2/3 = 0,6(6); записывают −5 < −2. Сверяют записи в паре, проговаривают преобразование и опираются на расположение отрицательных чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координатную прямую и преобразование дробей. Но не всякое сравнение удобно выполнять сразу; сейчас точно сформулируем, в чём состоит затруднение."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при сравнении рациональных чисел в разных формах записи и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Сравните числа −3/4 и −0,8. Можно ли сравнивать только цифры 3 и 8, не учитывая знак минус? Что произойдёт, если мы ошибочно применим правило для положительных дробей? Запишите рядом свой предварительный знак неравенства и отметьте, уверены ли вы в объяснении. На экране оставлю обе записи, чтобы к ним вернуться." | Индивидуально ставят знак и отмечают уверенность; замечают затруднение при сравнении отрицательных дробей. Некоторые предполагают −3/4 < −0,8, другие — обратное; объясняют, что одного сравнения числителей недостаточно. |
2 мин | "Обсудите в паре, что именно пока не получается: преобразовать дроби, учесть отрицательный знак или расположить результат на прямой? Сформулируйте вопрос урока одним предложением. Какой результат к концу занятия покажет, что мы справились? Я запишу ваши формулировки рядом с проблемным примером." | Обсуждают затруднение, предлагают вопрос: «Как сравнивать рациональные числа с разными записями, особенно отрицательные?» Формулируют цель: научиться выбирать преобразование и обосновывать порядок чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили затруднение: необходимо учитывать и форму записи, и знак числа. Теперь построим способ, который позволит сравнивать такие числа уверенно и проверять себя."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм сравнения рациональных чисел после преобразования к удобной форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вернёмся к −3/4 и −0,8. Предлагаю два пути: перевести −3/4 в десятичную дробь или представить −0,8 дробью со знаменателем 20. Выберите путь, который кажется вам прозрачнее. На доске отмечу числа на прямой: −0,8 находится левее −0,75. Какой знак нужно поставить? Обратите внимание: при отрицательных числах больше то, которое расположено ближе к нулю." | Выбирают способ преобразования; получают −3/4 = −0,75 и устанавливают −0,8 < −3/4. Объясняют: «−0,8 левее −0,75»; отмечают обе точки на координатной прямой в тетради. |
3 мин | "Сравним ещё 5/6 и 0,82. Какое преобразование здесь удобно? Приведите 5/6 к десятичной записи приближённо или сравните точными дробями: 0,82 = 41/50. Я покажу на доске способ с общим знаменателем. Важно не потерять точность: если десятичная запись бесконечная, лучше сравнить дроби точно." | Преобразуют 0,82 = 41/50, приводят к знаменателю 150: 5/6 = 125/150, 41/50 = 123/150; записывают 5/6 > 0,82. Объясняют, почему сравнение точных дробей надёжнее округления. |
3 мин | "Соберём общий алгоритм. Сначала определяем знаки чисел; затем используем известные правила для чисел разных знаков или одного знака. Если записи разные, выбираем удобное преобразование: общий знаменатель, десятичную дробь или координатную прямую. После сравнения проверяем, не изменили ли значение числа, и записываем ответ знаком неравенства. Перепишите алгоритм и назовите шаг, который помогает избежать ошибки с отрицательными числами." | Формулируют и записывают алгоритм; отмечают, что при сравнении двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю. Задают уточняющие вопросы и проверяют, что сравнение 5/6 и 0,82 выполнено точно. |
Запись в тетрадях
- Алгоритм: определить знаки чисел; выбрать удобное преобразование; сравнить полученные числа; записать знак неравенства; проверить результат по координатной прямой или оценкой.
- Правило: если оба числа отрицательные, больше то, модуль которого меньше; на координатной прямой это число расположено правее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили алгоритм и увидели, что способ выбирается по виду чисел. Теперь применим его вместе, проговаривая каждый шаг и проверяя рассуждения партнёра."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм сравнения и упорядочивания чисел через парное объяснение и межпредметную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем в парах. На карточке три показания термометра: −1,2 °C, −5/4 °C и −0,9 °C. Расположите их от самой низкой температуры к самой высокой, запишите преобразования и объясните, почему знак минус меняет привычное сравнение модулей. Один партнёр решает, второй проверяет, затем поменяйтесь ролями на следующем примере. На выполнение даю четыре минуты." | Упорядочивают числа: −5/4 = −1,25 < −1,2 < −0,9. Первый ученик выполняет преобразование, второй проверяет сравнение; затем партнёры меняются ролями и формулируют вывод о температурах. |
3 мин | "Сверим результат. Какой город в этой условной сводке холоднее, если его температура −5/4 °C? Почему неверно сказать, что −0,9 ниже −1,2, потому что 9 меньше 12? Покажите расположение трёх значений на прямой. Отметьте в карточке один удачный шаг партнёра и одно уточнение, если оно нужно." | Обосновывают порядок координатной прямой и преобразованием; отвечают: «−5/4 °C, то есть −1,25 °C, ниже −1,2 °C». Дают партнёру конкретную обратную связь: «Верно перевёл дробь» или «Проверь, какое отрицательное число ближе к нулю». |
Эталон решения
−5/4 = −1,25. Сравниваем десятичные числа: −1,25 < −1,20 < −0,90. Следовательно, −5/4 < −1,2 < −0,9. На координатной прямой числа расположены слева направо в указанном порядке.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм к температурным данным и обосновали порядок чисел. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно выбрать преобразование и заметить возможную ошибку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение сравнением и упорядочиванием рациональных чисел и организовать самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Раздаю индивидуальные листы. Выполните четыре задания: сравните −7/10 и −0,68; сравните 3/5 и 0,61; расположите −1/2, 0,2, −0,75 по возрастанию; найдите ошибку в утверждении −0,4 < −0,6 и исправьте его. Первые два задания обязательны, затем переходите к следующим. Записывайте преобразования, а не только итоговый знак. Работайте самостоятельно, на это шесть минут." | Индивидуально решают четыре задания, записывают преобразования и знаки. При необходимости отмечают место затруднения знаком вопроса, не сверяясь с соседями. |
3 мин | "Откройте ответы на обороте листа и проверьте каждое задание. Если обнаружили несовпадение, не стирайте первоначальную запись: подчеркните ошибочный шаг и рядом исправьте его. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все решения, жёлтую — если нужен один вопрос, красную — если пока нужна помощь. Я отмечу, на каком шаге чаще возникает затруднение." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибочные шаги другим цветом, показывают карточку самооценки и формулируют конкретный вопрос, например: «Почему −0,4 больше −0,6?». |
Эталон решения
−7/10 = −0,7, поэтому −0,7 < −0,68. 3/5 = 0,6, поэтому 0,6 < 0,61. По возрастанию: −0,75 < −1/2 < 0,2, так как −1/2 = −0,5. Утверждение −0,4 < −0,6 неверно: −0,4 > −0,6, поскольку −0,4 расположено правее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя и увидели, что главная причина ошибки часто связана с расположением отрицательных чисел. Закрепим результат коротким обобщением и оценим, насколько уверенно вы достигли цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ, получить обратную связь и объяснить варианты домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вернёмся к вопросу урока и к температуре −2,5 °C и −1/4 °C. Какое показание ниже и как это доказать? Завершите фразу на листке: „Сегодня я научился…“, а затем напишите, какой шаг алгоритма ещё требует тренировки. Это билет на выход: ответьте честно, он поможет мне подобрать примеры к следующему уроку. Не забудьте назвать способ проверки." | Пишут билет на выход; объясняют, что −2,5 < −0,25 = −1/4. Указывают освоенный шаг и оставшийся вопрос, например: «Нужно внимательнее сравнивать отрицательные числа». |
3 мин | "Домашняя работа дифференцирована: обязательный уровень выполняют все, следующий выбирают по готовности, продвинутый — по желанию. Запишите выбранный вариант и отметьте, какое преобразование будете использовать. Перед выходом ответьте устно: что больше, −3/5 или −0,58, и почему? На следующем занятии мы будем применять сравнение рациональных чисел в более сложных выражениях." | Записывают задание выбранного уровня, отвечают: «−3/5 = −0,6, значит, −3/5 < −0,58». Сдают билет на выход и отмечают свой уровень уверенности. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре задания самостоятельной работы, преобразования записаны корректно, порядок чисел обоснован с помощью правила или координатной прямой.
- «4» — верно выполнены три задания из четырёх; допущена не более чем одна ошибка в преобразовании или обосновании, итоговый знак в остальных заданиях выбран верно.
- «3» — верно выполнены два задания из четырёх; ученик определяет знаки чисел и с подсказкой исправляет ошибку при сравнении отрицательных чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма помог вам сравнить числа в разных формах записи? | Проверить осознание последовательности действий и роли преобразования. |
Как вы объясните, почему −0,4 больше −0,6? | Выявить понимание сравнения отрицательных чисел и связи с координатной прямой. |
В каком задании вы изменили первоначальный ответ после проверки и почему? | Оценить навыки самоконтроля и готовность корректировать решение. |
Насколько уверенно вы сможете самостоятельно упорядочить дробные и десятичные числа: уверенно, с небольшой помощью или пока затрудняюсь? | Получить самооценку освоения темы и определить потребность в дополнительной поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы выяснили, что сравнивать рациональные числа можно разными способами, но преобразование нужно выбирать осознанно. Особенно внимательно мы сравниваем отрицательные числа: ближе к нулю — значит больше. Если при самопроверке вы нашли ошибку, это полезный результат: вы определили, какой шаг стоит укрепить. На следующем уроке применим этот алгоритм при работе с выражениями и более сложными наборами рациональных чисел."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: сравнить рациональные числа с одинаковыми и разными знаками, включая не менее двух пар обыкновенных и десятичных дробей; в каждом задании записать одно преобразование. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки чисел и корректность преобразования. |
Средний (повышающий) | Упорядочить по возрастанию 3 набора по 5 рациональных чисел, содержащих отрицательные дроби, десятичные числа и ноль; для каждого набора объяснить выбор удобного способа. | Развить умение планировать сравнение и последовательно проверять полученный порядок. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить задачу о температуре, долгах, высотах или изменении уровня воды с набором из 5 рациональных чисел; упорядочить значения, привести решение и придумать правдоподобную ошибочную запись с её исправлением. | Применить математический алгоритм в жизненном контексте; проверить точность объяснения и умение анализировать ошибку. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое число больше из двух отрицательных чисел? Как сравнить обыкновенную и десятичную дроби? Каким способом вы проверите, что упорядочили набор чисел верно?
