Сложение, вычитание и умножение многочленов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов, приводить подобные слагаемые и самостоятельно решать не менее 4 из 5 практических заданий с проверкой результата.
- Сформировать умение раскрывать скобки при сложении и вычитании многочленов и приводить подобные слагаемые.
- Освоить алгоритм умножения многочлена на многочлен на основе распределительного свойства умножения.
- Развивать исследовательские умения: выдвигать гипотезу, проверять её на примерах, находить и объяснять ошибки в преобразованиях.
- Формировать ответственное отношение к математической записи, взаимопомощь и готовность корректировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математике как языку описания закономерностей и инструменту решения практических задач.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата в учебной и будущей профессиональной деятельности.
- Принимают право на ошибку как часть исследования и используют ошибку для коррекции способа действия.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении разных способов преобразования выражений.
Метапредметные
- Формулируют проблему, выдвигают гипотезу и проверяют её на конкретных алгебраических выражениях.
- Выбирают способ действия, составляют алгоритм, контролируют промежуточные преобразования и оценивают результат.
- Читают математическую запись, преобразуют информацию из словесной формы в символическую и объясняют ход решения.
- Сотрудничают в парах и группах, аргументируют ответ и корректно анализируют решение одноклассника.
Предметные
- Знать понятия многочлена, одночлена, коэффициента, степени многочлена и подобных слагаемых.
- Уметь складывать и вычитать многочлены, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.
- Уметь умножать многочлен на одночлен и многочлен на многочлен, используя распределительное свойство умножения.
- Уметь проверять преобразование подстановкой числового значения переменной и находить типичные ошибки в знаках и коэффициентах.
- Владеть математической речью при объяснении алгоритма преобразования выражения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения преобразований многочленов для дальнейшего решения уравнений и задач.
- Осознают необходимость аккуратной записи и самопроверки при работе с символами.
- Оценивают собственную готовность выполнять задания разного уровня сложности.
- Сохраняют рабочий настрой при возникновении затруднения и обращаются за адресной помощью.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения в проблемном задании.
- Планируют последовательность действий: раскрыть скобки, перемножить слагаемые, привести подобные слагаемые, проверить.
- Используют самопроверку по эталону и подстановку числового значения.
- Находят причину ошибки и вносят исправления в решение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки подобных слагаемых и классифицируют слагаемые по буквенной части.
- Устанавливают связь между умножением многочлена и распределительным свойством умножения.
- Проводят небольшое исследование на примерах и формулируют общий алгоритм.
- Моделируют геометрическую задачу о площади прямоугольника алгебраическим выражением.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по этапам преобразования и дают точные ответы с математическими терминами.
- Распределяют роли в паре или группе: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Аргументируют согласие или несогласие с решением, указывая конкретную строку преобразования.
- Представляют общий вывод группы и учитывают замечания одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или слайд с проблемным выражением, алгоритмами и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для исследовательской работы: по одной на группу из 3–4 человек.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею складывать», «Я умею вычитать», «Я умею умножать многочлены», «Я умею проверять результат».
- Подготовить цветные маркеры или стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Вывести на доску памятку: «раскрыть скобки — перемножить слагаемые — привести подобные — проверить».
- Подготовить линейку, листы в клетку и схему прямоугольника для межпредметной связи с геометрией.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска и маркеры, таймер.
- Методические ресурсы: материалы федеральной рабочей программы по математике, собственные карточки, схема алгоритма, эталоны решений и листы самооценки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл преобразования многочленов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки. Сегодня нам понадобится не только вычислительная аккуратность, но и исследовательская смелость: мы будем проверять гипотезы и искать короткий способ преобразования выражений." | Проверяют готовность к работе, записывают дату, настраиваются на урок. |
2 мин | Учитель показывает на экране выражение (x+3)(x+5) и изображение прямоугольника со сторонами x+3 и x+5: "Представьте, что это размеры прямоугольной площадки. Как получить её площадь? Можно ли записать ответ без скобок? Сегодня выясним, как алгебра помогает быстро раскрывать такую запись." | Рассматривают модель, предполагают: "Нужно перемножить длину и ширину", формулируют вопрос: "Как правильно раскрыть скобки?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что многочлены встречаются при записи площади и других величин. Теперь проверим, какие знания о выражениях помогут нам решить эту задачу."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать распределительное свойство, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Выполните по цепочке: 3(a+2), -2(b-4), 5x+2x-3. Объясняйте не только ответ, но и использованное свойство. Что происходит со знаком при раскрытии скобок перед минусом?" | Решают: "3a+6", "-2b+8", "7x-3"; объясняют применение распределительного свойства и изменение знаков. |
3 мин | Учитель записывает ошибочное решение: 4x-(2x-3)=4x-2x-3. Реплика: "Согласны ли вы с каждой строкой? Найдите место, где могла появиться ошибка, и докажите свою позицию подстановкой x=2." | В парах находят ошибку, получают правильное выражение 2x+3, проверяют: при x=2 исходное и преобразованное выражения дают 7. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили распределительное свойство и увидели, что знак перед скобками нельзя пропускать. Но пока у нас нет полного алгоритма для произведения двух многочленов. Сформулируем проблему и план исследования."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и последовательность действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает выражение (x+3)(x+5): "Известно, как умножить многочлен на одночлен. Можно ли представить второй множитель как сумму и применить уже известное свойство? Запишите гипотезу одним предложением." | Формулируют гипотезу: "Каждое слагаемое первого многочлена нужно умножить на каждое слагаемое второго". |
2 мин | Учитель уточняет: "Как проверим гипотезу? Какие шаги должны войти в алгоритм? Выберите из предложений правильный порядок." | Предлагают план: раскрыть скобки через распределительное свойство, перемножить все пары слагаемых, привести подобные слагаемые, выполнить проверку. Записывают цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться уверенно выполнять три действия с многочленами и проверять себя. Переходим к исследованию на конкретных выражениях."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательский метод (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы сложения, вычитания и умножения многочленов через самостоятельное наблюдение и обобщение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки и говорит: "Исследуйте выражение (2x^2+3x-1)+(x^2-5x+4). Сначала уберите скобки, затем объедините одинаковые буквенные части. Обсудите, какие слагаемые можно складывать." | В группах выполняют преобразование: 2x^2+3x-1+x^2-5x+4=3x^2-2x+3; формулируют: "Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью". |
3 мин | Учитель предлагает второе выражение: (4a^2-3a+2)-(a^2+2a-5). Реплика: "Перед второй скобкой стоит минус. Что произойдёт с каждым слагаемым? Сравните ответы групп." | Раскрывают скобки: 4a^2-3a+2-a^2-2a+5=3a^2-5a+7; объясняют изменение знаков. |
3 мин | Учитель пошагово направляет исследование произведения: "Рассмотрим (x+3)(x+5). Умножьте x на оба слагаемых, затем 3 на оба слагаемых. Запишите все четыре произведения и приведите подобные, если они есть." | Получают x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15; формулируют алгоритм умножения многочлена на многочлен. |
Запись в тетрадях
- При сложении многочленов раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», и привести подобные слагаемые.
- При вычитании многочленов раскрыть скобки, изменив знаки всех слагаемых второго многочлена, затем привести подобные слагаемые.
- При умножении многочленов каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго, полученные одночлены сложить и привести подобные слагаемые.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза подтвердилась: распределительное свойство превращает произведение многочленов в сумму произведений. Теперь закрепим алгоритмы с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритмы при решении выражений и связать умножение многочленов с вычислением площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает работу в парах: "Решите два выражения, проговаривая действия партнеру: (3x^2+2x-4)+(x^2-5x+1) и (5y^2-y+3)-(2y^2+4y-6). Один ученик преобразует, второй контролирует знаки по памятке, затем поменяйтесь ролями." | Получают 4x^2-3x-3 и 3y^2-5y+9; проговаривают порядок действий и сверяют запись с памяткой. |
3 мин | Учитель показывает прямоугольник со сторонами x+2 и x+4: "Запишите площадь двумя способами: сначала как произведение сторон, затем после раскрытия скобок. Почему результаты должны совпасть?" | Записывают S=(x+2)(x+4)=x^2+6x+8; объясняют связь алгебраического преобразования с геометрической моделью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритмы и увидели, что раскрытие скобок сохраняет смысл произведения. Теперь каждый проверит, насколько уверенно умеет действовать самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение действий с многочленами и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен; повышающий и дополнительный можно выбрать при готовности. Сначала прочитайте критерии и только потом начинайте." | Выбирают уровень, знакомятся с критериями, планируют порядок решения. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый уровень: 1) (2x^2+3x)+(x^2-5x+4); 2) (4a-7)-(2a+3); 3) (x+2)(x+6). Повышающий: 1) (3m^2-2m+1)-(m^2+4m-5); 2) (2p-3)(p+4). Дополнительный: обосновать тождество (a+b)(a-b)=a^2-b^2. | Индивидуально решают задания, подписывают выбранный уровень, выделяют места, в которых потребовалась проверка. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Сверяйте не только ответ, но и каждую строку. Если есть ошибка, зачеркните только ошибочный переход, рядом напишите причину: знак, умножение или приведение подобных." | Проверяют решения по эталону, исправляют ошибки, используют подстановку для одного выражения. |
Эталон решения
Для задания (2p-3)(p+4): 2p\cdot p+2p\cdot4-3\cdot p-3\cdot4=2p^2+8p-3p-12=2p^2+5p-12. Для проверки при p=1: исходное выражение (2-3)(1+4)=-5; преобразованное 2+5-12=-5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует внимания. Ошибка в знаке или пропущенное произведение меняет весь результат, поэтому завершаем преобразование обязательной проверкой."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, оценить результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу выполнить без подсказки, жёлтый — иногда ошибаюсь, красный — нужна помощь. Объясните, какой именно шаг вызвал затруднение." | Поднимают карточку выбранного цвета, формулируют: "Мне трудно менять знаки при вычитании" или "Мне нужно внимательнее перемножать все пары слагаемых". |
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одно правило и один пример, который вы теперь умеете преобразовывать. Внизу поставьте себе оценку от 1 до 5 и укажите, что нужно повторить." | Пишут правило, пример и самооценку, сдают лист при выходе. |
2 мин | Учитель задаёт домашнюю работу и говорит: "Выберите уровень осознанно. Важно не количество строк, а правильный алгоритм и проверка результата." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не получили готовое правило в готовом виде, а вывели его исследованием. Вы научились складывать и вычитать многочлены, умножать их и проверять результат. На следующем уроке продолжим применять эти преобразования при решении более сложных выражений и уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, корректно раскрыты скобки, приведены подобные слагаемые, отсутствуют ошибки в знаках; выполнена проверка одного результата.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, алгоритм в целом соблюдён, исправление выполнено после самопроверки.
- «3» — верно выполнено не менее половины заданий базового уровня, но допущены ошибки при раскрытии скобок или приведении подобных слагаемых; ученик может объяснить отдельные шаги с помощью памятки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма сложения и вычитания многочленов вы выполняете уверенно? | Выявление освоенных действий и уровня самостоятельности. |
В каком месте при умножении многочленов можно допустить ошибку? | Выявление понимания полного перебора произведений и типичных затруднений. |
Как помогла геометрическая модель прямоугольника понять выражение (x+2)(x+4)? | Проверка межпредметной связи и осмысления смысла преобразования. |
Что вы повторите дома после сегодняшнего урока? | Формирование личной учебной цели и плана коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что сложение, вычитание и умножение многочленов основаны на уже известных свойствах действий. Особенно внимательно следите за знаком перед скобками и не пропускайте ни одного произведения при умножении. Ошибку полезно не скрывать, а находить и объяснять: так формируется математическое мышление. На следующем уроке мы продолжим преобразования и будем использовать их при решении уравнений и задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения: два на сложение и вычитание многочленов и два на умножение многочлена на многочлен; в одном выражении провести проверку подстановкой значения переменной. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на знаки, распределительное свойство и приведение подобных слагаемых. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений смешанного типа, включающих скобки, отрицательные коэффициенты и произведение двух двучленов; письменно объяснить один наиболее сложный переход. | Развивает устойчивое применение алгоритма и математическую речь; проверить полноту раскрытия скобок и последовательность записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать произведение (a+b)(a-b), раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и составить геометрическое объяснение полученного тождества через площади прямоугольников. | Формирует исследовательское и образное мышление; при проверке оценить обоснованность вывода и связь алгебраической и геометрической моделей. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как раскрываются скобки при сложении и вычитании многочленов?», «Что означает умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго?», «Зачем приводить подобные слагаемые и выполнять проверку подстановкой?»
