Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Цели и задачи
- Цель: научиться складывать и вычитать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, применяя алгоритм преобразования числителей.
- Образовательная: вывести правила сложения и вычитания рациональных дробей на основе знаний об обыкновенных дробях.
- Развивающая: развивать навыки анализа, сравнения и обобщения через исследовательскую деятельность.
- Воспитательная: формировать культуру математической записи и ответственное отношение к проверке результатов.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование навыков анализа собственных ошибок.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать аналогии с ранее изученным материалом (обыкновенные дроби).
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение участвовать в коллективном обсуждении проблемы.
Предметные
- Знать правила сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
- Уметь выполнять сложение и вычитание дробей, числители которых являются многочленами.
- Уметь упрощать полученные результаты путем сокращения дробей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Регулятивные УУД
- Сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для актуализации знаний (сложение обыкновенных дробей).
- Выписать на доску основные формулы: a/c + b/c = (a+b)/c и a/c - b/c = (a-b)/c.
- Распечатать листы самооценки для этапа рефлексии.
- Подготовить презентацию с примерами 1 и 2 из параграфа 3.
- Проверить наличие мела/маркеров для записи решений на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Здравствуйте, ребята! Проверьте готовность к уроку: учебник, тетрадь, ручка. Сегодня мы продолжаем погружение в мир рациональных дробей. Как вы думаете, можно ли перенести правила работы с обычными числами на алгебраические выражения? Сегодня нам предстоит это выяснить." | Организуют рабочее место, настраиваются на работу, отвечают на вопрос учителя, предполагая наличие сходства правил. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, вы готовы к открытиям. Начнем с того, что нам уже хорошо знакомо."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить правила сложения обыкновенных дробей и создать проблемную ситуацию.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Посмотрите на доску. Вспомните, как сложить 2/7 и 3/7? Сформулируйте правило." Учитель записывает на доске пример: 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. | Отвечают: "При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним." |
"А теперь посмотрите на это выражение: (a/c) + (b/c). Как вы думаете, изменится ли правило, если вместо чисел будут многочлены? Попробуйте записать результат в тетради." | Пытаются применить правило по аналогии, фиксируют возникшее сомнение или уверенность в ответе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, у нас есть гипотеза, что правила для рациональных дробей аналогичны правилам для обыкновенных. Давайте проверим это."
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформулировать правила сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Откройте учебник на странице 19, параграф 3. Прочитайте правило в рамке. Совпадает ли оно с нашей гипотезой?" Учитель организует исследовательскую работу с текстом. | Читают текст учебника, подтверждают гипотезу. Один ученик зачитывает правило вслух. |
"Давайте разберем Пример 1 со страницы 19. Обратите внимание, как записывается сумма дробей (3a-7b)/15ab и (2a+2b)/15ab. Что происходит с числителями?" Учитель демонстрирует решение на доске, акцентируя внимание на приведении подобных слагаемых и сокращении дроби. | Следят за решением, задают вопросы. Записывают пример в тетрадь, отмечая, что 5a-5b можно разложить на множители 5(a-b) для последующего сокращения с 15ab. |
Запись в тетрадях
a/c + b/c = (a+b)/c; a/c - b/c = (a-b)/c. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило кажется простым, но при вычитании есть коварный момент. Давайте разберем Пример 2."
Этап 4. Первичное закрепление с комментированием (10 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма на практике, обращая внимание на изменение знаков при вычитании.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Разберем Пример 2 на странице 20. Важный момент: когда мы вычитаем дробь, числитель которой — многочлен, мы должны вычитать ВЕСЬ многочлен. Посмотрите, как в учебнике поставлены скобки или сразу изменены знаки." | Анализируют пример: (a^2+9)/(5a-15) - 6a/(5a-15). Записывают: (a^2-6a+9)/(5a-15). Видят формулу квадрата разности в числителе. |
"Теперь решим из упражнений №55 (а, в) и №56 (а, в). Кто хочет пойти к доске? Остальные работают в тетрадях." | Ученики у доски решают: 55а) x/3 + y/3 = (x+y)/3; 55в) x/9 + (y-x)/9 = y/9. Класс сверяет решения. |
Эталон решения №56 (в)
\frac{7y-13}{10y} + \frac{2y+3}{10y} = \frac{7y-13+2y+3}{10y} = \frac{9y-10}{10y}
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с простыми случаями. Теперь перейдем к более сложным выражениям."
Этап 5. Практикум: работа в классе (10 мин)
Цель этапа: автоматизация навыка сложения и вычитания многочленов в числителях.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Работаем самостоятельно над №57 (а, в), №58 (а, в, д) и №61 (а). Будьте внимательны в №58 — там три дроби. В №61 сначала упростите выражение, а потом подставьте значение a = 10,25." | Самостоятельно решают задачи. В №57а получают: (2x-3y+11x-2y)/4xy = (13x-5y)/4xy. В №61а после упрощения получают дробь, в которую подставляют число. |
Эталон решения №61 (а)
\frac{a^2-43}{a-6} - \frac{7}{a-6} = \frac{a^2-43-7}{a-6} = \frac{a^2-50}{a-6}. При a=10,25: \frac{10,25^2-50}{10,25-6} \approx 12,95. *Примечание: в учебнике в №61а опечатка в знаке или условии для красивого ответа, проверяем технику вычислений.*
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверьте свои ответы с соседом по парте. Если есть расхождения — найдите ошибку вместе."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, сформулировать правила и дать инструкции по ДЗ.
Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|
"Давайте подведем итог. Сформулируйте правило сложения рациональных дробей. А вычитания? В чем главная опасность при вычитании числителя-многочлена?" | Формулируют правила: "Нужно сложить/вычесть числители, а знаменатель оставить прежним". Отвечают, что при вычитании нужно менять знаки у всех членов вычитаемого числителя. |
"Запишите домашнее задание: параграф 3 (стр. 19-20) — учить правила. Выполнить №56 (б, г), №58 (б, г, е), №61 (б). Обратите внимание на №61б — там тоже нужно сначала упростить." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания (№55-58, 61), допущена максимум одна негрубая ошибка в вычислениях при подстановке.
- "4" — верно выполнены задания на сложение и вычитание, но есть ошибки в приведении подобных слагаемых или в №61.
- "3" — верно выполнены только простейшие задания №55-56, в более сложных допущены ошибки в знаках при вычитании.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие с числителями вызывало наибольшее затруднение? | Выявление проблем с приведением подобных слагаемых и раскрытием скобок. |
В чем сходство сложения обыкновенных и рациональных дробей? | Проверка осознания преемственности математических правил. |
Оцени свою работу сегодня: где ты был наиболее успешен? | Формирование навыка самоанализа и позитивной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что алгебра — это логичное продолжение арифметики. Сложение рациональных дробей — это фундамент, на котором мы будем строить решение сложных уравнений. Если сегодня у вас возникли трудности со знаками при вычитании — не расстраивайтесь, это самая частая ошибка, которую мы победим практикой. На следующем уроке мы научимся работать с дробями, у которых разные знаменатели. До встречи!"
Домашнее задание
Что задать | Зачем |
|---|---|
4 примера на сложение и вычитание дробей с одночленами в числителе (как в №56 б, г). | Закрепление базового алгоритма "числитель к числителю". |
3 примера на сложение/вычитание трех дробей и дробей с многочленами (как в №58 б, г, е). | Отработка навыка работы с длинными выражениями и знаками. |
Нахождение значения выражения после предварительного упрощения (№61 б). | Развитие навыка рациональных вычислений. |
