Решение задач на дроби и проценты
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться выбирать математическую модель и решать текстовые задачи на нахождение дроби от числа, числа по его дроби и процента от величины, объясняя ход решения и проверяя ответ.
- Закрепить алгоритм перевода процентов в дробь и нахождения дроби или процента от числа.
- Научиться анализировать условие задачи, выделять известные и неизвестные величины, составлять краткую запись или схему.
- Развивать умение аргументировать способ решения, сравнивать разные модели и осуществлять самопроверку.
- Формировать ответственное отношение к вычислениям, необходимым в бытовых, финансовых и профессиональных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению математики в ситуациях, связанных с покупками, скидками, бюджетом и планированием.
- Осознают значение точных вычислений для принятия обоснованных решений в повседневной жизни и будущей профессии.
- Развивают готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её на основе проверки.
- Проявляют уважение к мнению партнёра при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Выделяют условие, вопрос и связь между величинами, преобразуют текст в краткую запись или схему.
- Планируют последовательность решения и выбирают подходящий способ представления данных: дробь, десятичное число или процент.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор действия.
- Проверяют реалистичность ответа, сравнивая его с исходными данными и оценивая порядок величины.
Предметные
- Знать смысл понятий «дробь от числа», «процент от числа», «число по его дроби».
- Уметь находить дробь и процент от числа, а также число по известной дроби или проценту.
- Уметь решать текстовые задачи на дроби и проценты с помощью умножения и деления.
- Владеть алгоритмом анализа условия, записи решения и проверки полученного ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за качество вычислений и достоверность полученного результата.
- Соотносят учебную задачу с практическими ситуациями, в которых требуется финансовая грамотность.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения.
- Принимают возможность нескольких корректных способов решения одной задачи.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и составляют план решения текстовой задачи.
- Контролируют соответствие выбранного действия вопросу задачи.
- Находят и исправляют ошибку по образцу или с помощью проверки.
- Оценивают собственный уровень понимания с помощью приёма «Светофор».
Познавательные УУД
- Извлекают математическую информацию из текста и структурируют её в таблице или краткой записи.
- Устанавливают, какая величина принята за целое и какая часть или доля известна.
- Моделируют условие задачи с помощью схемы «целое — часть».
- Сравнивают решения и объясняют, почему в одной ситуации выполняется умножение, а в другой — деление.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один составляет модель, другой проверяет вычисления, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы к условию и дают развёрнутые ответы с математическим обоснованием.
- Слушают партнёра, уточняют непонятный шаг и корректно предлагают исправление.
- Представляют решение классу, используя математическую терминологию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой «целое — часть», памяткой перевода процентов в дробь и алгоритмом решения текстовой задачи.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с задачами трёх уровней сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с двумя базовыми и одной повышенной задачей.
- Подготовить стикеры или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить таблицу для межпредметной задачи о составе школьного бюджета или распределении времени на учебные и внеучебные дела.
- Вывести на экран условие проблемной задачи: «В магазине цена рюкзака 2400 рублей. Во время акции скидка составила 15%. Какова новая цена?»
- Подготовить эталон решения для самопроверки и критерии оценивания практической работы.
- Проверить наличие у каждого ученика тетради, линейки, ручки и калькулятора только для самопроверки после выполнения вычислений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через практическую ситуацию и обозначить значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение ценника: «Ребята, представьте, что вы выбираете рюкзак для учебы. Его цена — 2400 рублей, а магазин объявил скидку 15%. Как быстро понять, сколько денег нужно заплатить? Сегодня мы будем не просто выполнять действия с дробями и процентами, а учиться принимать решения в реальной ситуации». | Записывают дату, готовят тетради, рассматривают ценник и формулируют предположения: «Нужно найти 15% от 2400», «Сначала найдём размер скидки, потом вычтем его из цены». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какое действие будет первым и почему. Не называйте только число — объясните модель». После обсуждения учитель просит две пары озвучить версии. | Самостоятельно формулируют способ, затем обсуждают его в паре и сообщают: «15% — это 0,15; скидка равна 2400 · 0,15, а новая цена получается вычитанием скидки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что проценты встречаются в повседневных решениях. Чтобы уверенно решать такие задачи, сначала определим, какая величина является целым и какую часть от неё нужно найти».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила действий с дробями, процентами и величинами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задания: «Представьте в виде дроби 25%; найдите 3/5 от 40; найдите число, если 1/4 этого числа равна 12». Учитель говорит: «Работаем по цепочке. Называйте не только ответ, но и действие, которое вы выполняете. Если не уверены, покажите жёлтую карточку». | Решают устно и в тетрадях: «25% = 25/100 = 1/4», «3/5 от 40: 40 · 3/5 = 24», «если 1/4 числа равна 12, то число 12 : 1/4 = 48». |
3 мин | Учитель предлагает сравнить две записи: «Найдите 20% от 350» и «70 составляет 20% от какого числа? В чём различие вопросов? Посмотрите на схему целого и части, которую я записываю на доске». | В парах определяют неизвестную величину и объясняют: «В первой задаче известно целое и ищется часть, поэтому умножаем. Во второй известна часть и её доля, поэтому делим на долю». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили два базовых случая: нахождение части от целого и восстановление целого по известной части. Теперь проверим, что именно вызывает затруднение в текстовой задаче».
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость анализа условия и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует условие: «В школьном проекте 3/8 всех участников занимаются оформлением, это 9 человек. Сколько всего участников в проекте?» Учитель спрашивает: «Можно ли сразу умножить 9 на 3/8? Какая величина здесь является частью, а какая — целым?» | Читают условие, выделяют числа, отвечают: «9 человек — часть; 3/8 — доля части от целого; неизвестно целое, поэтому нужно разделить 9 на 3/8». |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: «Закончите фразу: “Сегодня я научусь…”». На доске фиксирует общий план: определить целое, найти известную часть или восстановить целое, проверить ответ. | Формулируют цель: «Научиться решать задачи на дроби и проценты, выбирая умножение или деление и объясняя выбор». Записывают план в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение связано не с вычислением, а с выбором математической модели. Сейчас мы выведем универсальный алгоритм, который поможет не угадывать действие, а обосновывать его».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм решения задач на нахождение части от числа и числа по его части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задачу: «В библиотеке 240 книг, 35% из них посвящены естественным наукам. Сколько таких книг в библиотеке?» Учитель ведёт эвристическую беседу: «Что принимаем за целое? Что известно о части? Как перевести 35%? Какое действие связывает целое и долю?» | Составляют краткую запись: всего — 240 книг, доля — 35%, часть — ?; переводят 35% в 0,35 и предлагают решение: «240 · 0,35 = 84». |
3 мин | Учитель записывает вторую задачу: «84 книги составляют 35% фонда библиотеки. Сколько книг во всём фонде?» Учитель спрашивает: «Что теперь известно? Почему действие изменилось? Как проверить ответ?» | Составляют модель «часть — 84, доля — 0,35, целое — ?», предлагают деление: «84 : 0,35 = 240», проверяют: «240 · 0,35 = 84». |
3 мин | Учитель оформляет на доске памятку: «1. Прочитать условие. 2. Определить целое и часть. 3. Перевести процент в дробь или десятичную дробь. 4. Если ищем часть — умножить целое на долю; если ищем целое — разделить часть на долю. 5. Проверить ответ». Учитель просит учащихся привести собственный пример из покупок или другой предметной области. | Записывают алгоритм, предлагают примеры: «На уроке биологии 20% класса работают с микроскопом», «В семейном бюджете 10% отложили на транспорт». Объясняют, какая величина является целым. |
Запись в тетрадях
1) Чтобы найти дробь или процент от числа, нужно число умножить на соответствующую долю: \(a \cdot \frac{m}{n}\) или \(a \cdot \frac{p}{100}\). 2) Чтобы найти число по его дроби или проценту, нужно известную часть разделить на соответствующую долю: \(b : \frac{m}{n}\) или \(b : \frac{p}{100}\). 3) Ответ необходимо проверить обратным действием.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм построен на отношении части к целому. Теперь применим его в парах и проверим, умеем ли мы распознавать тип задачи по вопросу».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор действия и способ решения через парную работу с реальным контекстом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет правила парной работы: «Я раздаю каждой паре карточку. Ученик А выделяет целое, часть и долю, ученик Б записывает решение. Затем вы меняетесь ролями и вместе выполняете проверку. В карточке можно выбрать базовое или повышенное задание». | Распределяют роли, читают карточку, выбирают уровень и отмечают известные величины. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовая задача: «В классе 28 учеников, 3/7 из них посещают спортивную секцию. Сколько учеников посещают секцию?» Повышенная задача: «После скидки 20% стоимость куртки стала 3200 рублей. Какова была первоначальная цена?» Учитель задаёт парам вопросы: «Что является целым? Какое действие отвечает на вопрос?» | Выполняют решения: «28 · 3/7 = 12»; для второй задачи: «3200 — это 80% первоначальной цены, значит 3200 : 0,8 = 4000». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: выделено целое, действие обосновано, выполнена проверка. Запишите одну сильную сторону и один вопрос партнёрам». | Проверяют решение соседней пары, используют формулировки: «Верно определено целое», «Проверьте, почему используется деление», задают уточняющие вопросы. |
Эталон решения
Для задачи о секции: \(28 \cdot \frac{3}{7}=4\cdot3=12\) учеников. Проверка: \(12:28=\frac{3}{7}\). Для задачи о куртке: после скидки осталось \(100\%-20\%=80\%=0{,}8\) первоначальной цены; \(3200:0{,}8=4000\) рублей. Проверка: \(4000\cdot0{,}8=3200\) рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили не только вычисления, но и смысл решения. Далее каждый самостоятельно решит задачи, чтобы увидеть собственный результат без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма решения задач на дроби и проценты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и говорит: «Решите две обязательные задачи. 1) В баке было 60 литров воды, использовали 35% воды. Сколько литров осталось? 2) 18 страниц составляют 3/10 отчёта. Сколько страниц в полном отчёте? Записывайте краткую запись, действие и ответ с единицами измерения». | Самостоятельно решают: «60 · 0,35 = 21, 60 − 21 = 39 литров»; «18 : 3/10 = 60 страниц». |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и предлагает самопроверку: «Сверьте решение по шагам, ошибки исправляйте другим цветом. Если решение полностью совпало, поставьте знак “+”; если обнаружили ошибку, подпишите, на каком шаге она возникла». | Сравнивают решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают причину: неверно определили целое, неправильно перевели процент или пропустили проверку. |
Эталон решения
1) Использовано: \(60\cdot0{,}35=21\) л. Осталось: \(60-21=39\) л. 2) Если \(\frac{3}{10}\) отчёта равны 18 страницам, то весь отчёт: \(18:\frac{3}{10}=18\cdot\frac{10}{3}=60\) страниц.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что важно контролировать не только ответ, но и каждый шаг модели. В завершение свяжем сегодняшние способы решения с задачами из других областей и оценим, чему научились».
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в межпредметном контексте и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: «На уроке биологии изучают состав почвы. В образце массой 500 г доля органических веществ составляет 6%. Сколько граммов органических веществ содержится в образце?» Учитель спрашивает: «Какая величина является целым? Почему здесь не нужно делить?» | Записывают модель: целое — 500 г, доля — 0,06; решают: «500 · 0,06 = 30 г». Объясняют связь с естественно-научным исследованием. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить действие; жёлтую — если решение получается, но требуется проверка; красную — если нужно разобрать алгоритм ещё раз. Объясните свой выбор одним предложением». | Показывают карточки и формулируют самооценку: «Зелёный: умею находить процент от числа», «Жёлтый: путаю задачу на нахождение целого», «Красный: не всегда понимаю, что принять за целое». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы для приёма «Одноминутная запись»: «Что сегодня стало понятнее? Какой шаг алгоритма для вас самый важный? Где вы сможете применить это знание вне урока?» | Записывают краткий ответ на стикере и прикрепляют его к доске в колонку «Узнал» или «Остался вопрос». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за текстом отношение части и целого, выбирать умножение или деление и проверять результат. Эти действия понадобятся при изучении более сложных зависимостей и при работе с реальными данными».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе обязательные задачи и выбранная задача повышенного уровня, корректно определены целое и часть, записаны действия с единицами измерения и выполнена проверка.
- «4» — верно решены две обязательные задачи, допущена одна несущественная вычислительная ошибка или отсутствует подробная проверка одного ответа.
- «3» — верно решена одна обязательная задача, вторая содержит ошибку в выборе действия, но краткая запись или математическая модель составлены частично верно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что сегодня помогло понять, когда нужно умножать, а когда делить? | Выявление осознанности выбора математического действия. |
Какую величину вы сначала ищете в задаче на проценты? | Проверка понимания роли целого, части и доли. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Где в жизни или будущей профессии пригодится умение работать с процентами? | Связь учебного материала с функциональной и финансовой грамотностью. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились переводить текстовую ситуацию на язык дробей и процентов. Главное — не начинать вычисления вслепую: сначала определите целое, часть и долю, затем выберите действие и выполните проверку. Типичная ошибка — делить там, где требуется найти часть от известного целого, или не учитывать, что после скидки остаётся не 100%, а уменьшенная доля цены. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с процентами и рассмотрим последовательные изменения величин».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение дроби или процента от числа и две на нахождение числа по известной дроби или проценту. В каждой задаче выделить целое, часть и долю, записать проверку. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор действия, перевод процентов и наличие единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с практическим контекстом: скидка, состав раствора или распределение семейного бюджета. Для одной задачи записать решение двумя способами: через обыкновенную и десятичную дробь. | Развивает функциональную и финансовую грамотность; проверить эквивалентность способов и реалистичность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на проценты или дроби, связанную с интересующей профессией или личным увлечением, решить её и подготовить краткое объяснение выбора действия. | Формирует умение моделировать ситуацию и создавать математическую задачу; проверить полноту условия и корректность обратной проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что принимают за целое в задаче? Как найти 15% от числа? Как найти число, если известны его 15%? Каким действием можно проверить решение?»
