Функции и графики: от зависимости величин к линейной функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут распознавать функцию и её область определения, различать способы задания зависимости и строить графики прямой пропорциональности и линейной функции вида y = kx + b по формуле, используя не менее двух точек и проверяя результат по координатам.
- Образовательная задача: объяснить понятия функции, аргумента, значения функции, области определения и графика на примерах зависимостей величин.
- Образовательная задача: сравнить таблицу, формулу, словесное описание и график как способы задания функции.
- Развивающая задача: научиться выбирать точки для построения графика, анализировать роль коэффициентов k и b и проверять построение по координатам.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за точность вычислений и уважительное отношение к ответам одноклассников во время фронтального обсуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию зависимостей, встречающихся в повседневной жизни и будущих профессиях.
- Понимают, что точность вычислений и построений влияет на достоверность результата.
- Выбирают способ проверки своей работы и готовы корректировать её после обнаружения ошибки.
- Уважительно относятся к различным способам объяснения и обоснованным ответам одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию о зависимости из условия, таблицы и координатной плоскости.
- Сравнивают способы задания функции и обосновывают, какой способ удобнее для конкретной задачи.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют результат по выбранным точкам.
- Формулируют гипотезу о влиянии коэффициентов k и b и проверяют её на нескольких примерах.
Предметные
- Знают, что функция задаёт соответствие, при котором каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Умеют определять аргумент, значение функции и область определения в простых ситуациях.
- Различают словесный, табличный, формульный и графический способы задания функции.
- Умеют строить графики y = kx и y = kx + b по точкам и распознавать прямую пропорциональность как частный случай линейной функции.
- Могут объяснить, как знаки и значения коэффициентов k и b отражаются на наклоне прямой и её пересечении с осью Oy.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение функций с личным опытом наблюдения за изменяющимися величинами.
- Осознают практическую ценность графического представления данных.
- Проявляют самостоятельность при выборе точки проверки и способа построения.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют цель работы с графиками.
- Планируют вычисление значений функции и нанесение точек на координатную плоскость.
- Сверяют построенную прямую с таблицей значений и исправляют найденные неточности.
- Оценивают достижение цели по чек-листу: распознаю функцию, нахожу значения, строю и проверяю график.
Познавательные УУД
- Выделяют аргумент и зависимую величину в словесном условии.
- Сопоставляют формулу, таблицу и график одной и той же зависимости.
- Анализируют, как изменение коэффициентов линейной функции влияет на положение прямой.
- Используют координатную плоскость как модель зависимости двух величин.
Коммуникативные УУД
- Участвуют во фронтальном обсуждении, формулируя ответы полными математическими высказываниями.
- Объясняют выбор точек для построения и называют способ проверки графика.
- Задают уточняющие вопросы о допустимых значениях аргумента и свойствах графика.
- Корректно дополняют и уточняют ответы одноклассников, опираясь на вычисления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, таблицей значений и тремя графиками: y = 2x, y = 2x + 1 и y = −x + 2.
- Распечатать по одному листу на каждого ученика с координатной сеткой и заданием на построение y = 2x − 1.
- Подготовить карточки «Верно или неверно» по одной на парту: утверждения о функции, области определения и графике.
- Заранее записать на доске координатные оси с равномерным масштабом, оставив место для формул и таблиц значений.
- Подготовить цветные маркеры или мел для обозначения точек, прямой пропорциональности и свободного члена.
- Подготовить короткий чек-лист для самопроверки: верно подставлены значения x, правильно отмечены координаты, точки соединены прямой, график проверен.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для демонстрации графиков; при отсутствии оборудования использовать заранее начерченную координатную сетку на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и заинтересовать математическим описанием зависимости величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь, линейка и ручка. Сегодня будем не только вспоминать определения, но и проверять, как формула превращается в рисунок. Посмотрите на экран: поезд движется с постоянной скоростью, а пройденное расстояние увеличивается со временем. Как можно показать эту зависимость так, чтобы изменение было видно сразу?» | Готовят тетради и линейки, рассматривают ситуацию на экране; предполагают: «Записать формулу», «Составить таблицу» или «Построить график». |
2 мин | «Представьте, что вы планируете поездку или анализируете показания датчика. Иногда по одной формуле нужно быстро понять, что будет при разных значениях времени. Какой способ мог бы помочь увидеть закономерность? Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите ответ с соседом. Сейчас мы проверим, какие знания о координатах и зависимостях нам понадобятся, чтобы уверенно читать и строить графики». | В течение 30 секунд обдумывают вопрос, около минуты обсуждают с соседом, затем предлагают классу варианты: «График показывает зависимость наглядно», «По графику можно сравнить значения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы назвали несколько способов показать изменение величин. Давайте сначала проверим, какие знания о координатах и зависимостях уже помогут нам разобраться в теме».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатах и обнаружить, достаточно ли их для описания зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на координатную плоскость на доске. Напомните, как называется горизонтальная ось, а как вертикальная? Как записывают координаты точки и в каком порядке? Покажите, где находится точка A(2; 3), а затем точка B(−1; 2). Обратите внимание: сначала двигаемся по оси x, затем по оси y». | Отвечают: «Горизонтальная ось — Ox, вертикальная — Oy», «Координаты записываем как (x; y)». По очереди называют расположение точек A(2; 3) и B(−1; 2) на сетке. |
2 мин | Учитель выводит на экран таблицу: x: 0, 1, 2, 3; y: 0, 2, 4, 6. «Как связаны числа в строках? Какое значение y соответствует x = 3? Можно ли по этой таблице предложить правило для любого x? Запишите предполагаемую формулу и объясните, почему она подходит к каждой паре чисел». | Называют соответствия и замечают, что второе число в каждой паре вдвое больше первого. Предлагают формулу y = 2x и проверяют её на всех четырёх значениях. |
2 мин | «Поставьте точки, соответствующие парам из таблицы. Что общего у их расположения? Если мы продолжим таблицу, хватит ли четырёх точек, чтобы описать все возможные значения? Зафиксируйте, что уже умеете, и назовите, какой вопрос пока остаётся открытым». | Наносят точки на координатную плоскость и замечают, что они лежат на одной прямой. Предполагают, что можно продолжить прямую, и задают вопрос: «Какие значения x разрешены и что именно означает график?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем читать координаты, находить закономерность по таблице и отмечать точки. Но для полного описания зависимости нужны точные понятия и правила; сформулируем, что именно требуется выяснить».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: поставить учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Сравните два описания. В первом стоимость поездки равна 50 рублям за каждый километр: c = 50s. Во втором температура прибора описывается формулой t = 20 + 2n. В обоих случаях одной величине соответствует другая, но формулы устроены по-разному. Что нужно знать, чтобы решить, является ли такая зависимость функцией, и как её представить на координатной плоскости?» | Сравнивают формулы и отвечают: «В обоих случаях одной величине соответствует другая», «Нужно понять, какие значения можно подставлять», «Нужно уметь построить график». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока так, чтобы в конце можно было проверить, достигли ли мы её. Что вы хотите уметь делать с функцией? На доске зафиксирую наш план: выяснить, что называют функцией и областью определения; рассмотреть способы задания; построить графики y = kx и y = kx + b; сравнить их». | Формулируют цель: «Научиться распознавать функцию и строить её график». Записывают или проговаривают план, предлагают критерий результата: «Смогу вычислить значения и правильно нанести точки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель и план у нас есть. Теперь исследуем примеры и сами выведем, что объединяет различные способы задания функции».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: сформировать понятия функции, области определения, способов задания функции, линейной функции и прямой пропорциональности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Рассмотрим правило: каждому числу x сопоставляется число y = 2x. При x = 1 получаем y = 2, при x = 3 получаем y = 6. Может ли одному и тому же x по этому правилу соответствовать сразу два разных y? Если нет, как назвать такую зависимость? Запишем: функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции. x называют аргументом, y — значением функции». | Подставляют значения x, получают y = 2 и y = 6. Отвечают: «Нет, одному x соответствует одно значение y». Записывают определения функции, аргумента и значения функции. |
3 мин | «Теперь посмотрим на ограничение. Для формулы y = 1/x нельзя взять x = 0, потому что делить на ноль нельзя. Все допустимые значения аргумента образуют область определения. В наших примерах для y = 2x допустимы все действительные x, а для бытовой ситуации расстояния s неотрицательны. Значит, область определения зависит и от формулы, и от смысла задачи. Какими способами можно представить функцию?» | Называют запрет x = 0 для y = 1/x и неотрицательные значения расстояния. Перечисляют способы: «Словами, таблицей, формулой, графиком». Сопоставляют способы с примерами на экране. |
3 мин | Учитель записывает на доске y = kx + b и показывает таблицу для y = 2x + 1: при x = 0, 1, 2 значения y равны 1, 3, 5. «Какой вид имеет график линейной функции? Сколько точек достаточно, чтобы провести прямую? Что сообщает нам значение b при x = 0?» | Вычисляют значения, получают точки (0; 1), (1; 3), (2; 5). Отвечают: «График — прямая», «Достаточно двух различных точек», «b — значение y при x = 0, точка пересечения с Oy». |
3 мин | «Сравним y = 2x и y = 2x + 1. В первой формуле b равно нулю, поэтому это прямая пропорциональность y = kx. Её график тоже прямая, но обязательно проходит через начало координат. Коэффициент k задаёт наклон и направление: при положительном k прямая возрастает слева направо, при отрицательном — убывает. Проверим это по графикам y = 2x и y = −x + 2». | Сравнивают формулы и графики. Формулируют вывод: «Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции при b = 0», «Знак k определяет, возрастает прямая или убывает». |
Запись в тетрадях
- Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Область определения — множество допустимых значений аргумента.
- Функцию задают словесно, таблицей, формулой или графиком.
- Линейная функция имеет вид y = kx + b; её график — прямая.
- Прямая пропорциональность y = kx — линейная функция при b = 0; её график проходит через начало координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сформулировали определения и увидели связь между формулами и прямыми. Теперь проверим, можем ли мы применить эти знания при построении и сравнении графиков».
Этап 5. Первичное закрепление и обобщение (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика и обобщить свойства прямой пропорциональности и линейной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Построим фронтально график y = 2x − 1. Сначала выберем удобные значения x: 0 и 1. Вычислим y: при x = 0 получаем −1, при x = 1 получаем 1. Значит, отмечаем точки (0; −1) и (1; 1), затем проводим через них прямую. Проверьте: пересекает ли она ось Oy в точке −1? Возрастает она или убывает?» | Заполняют таблицу x: 0, 1; y: −1, 1. Наносят точки (0; −1) и (1; 1), проводят прямую. Отвечают: «Пересекает Oy при y = −1», «Возрастает, потому что k = 2 положительно». |
4 мин | Учитель показывает рядом графики y = 2x и y = 2x + 1. «Сравните их по двум признакам: где проходят через ось Oy и одинаково ли они наклонены? Затем выберите, какое утверждение верно: прямая пропорциональность проходит через начало координат; любая линейная функция проходит через начало координат. Обоснуйте выбор, используя формулы». | Сравнивают графики: «Обе прямые имеют одинаковый наклон, но пересекают Oy в разных точках». Выбирают верное утверждение о прямой пропорциональности и объясняют, что при b, отличном от нуля, линейная функция не проходит через начало координат. |
Эталон решения
Для y = 2x − 1: при x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1, точка (0; −1); при x = 1 получаем y = 2 · 1 − 1 = 1, точка (1; 1). Прямая через эти точки является графиком функции. Проверка: коэффициент k = 2 > 0, поэтому функция возрастает; при x = 0 значение y = −1, значит пересечение с осью Oy — точка (0; −1).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы построили прямую по двум точкам и объяснили роль коэффициентов. Теперь каждый самостоятельно выполнит небольшую работу и проверит её по критериям».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить понимание области определения, способов задания и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На листе выполните три пункта. Первый: для y = 3x укажите область определения и найдите значение при x = −2. Второй: составьте таблицу для y = −x + 2 при x = 0 и x = 2, затем постройте график по этим точкам. Третий: определите, является ли y = −x + 2 прямой пропорциональностью, и объясните ответ. Работайте самостоятельно; сначала вычисления, затем координаты». | Решают индивидуально: указывают допустимые значения x для y = 3x, вычисляют y(−2), составляют таблицу для второй функции, строят прямую и письменно обосновывают, что при b = 2 функция не является прямой пропорциональностью. |
3 мин | «Откройте чек-лист для самопроверки на доске. Сверьте вычисления: при x = −2 значение 3x равно −6; для второй функции точки должны быть (0; 2) и (2; 0). Проверьте, что прямая проходит через обе точки. Отметьте зелёным, что получилось самостоятельно, жёлтым — где нужна ещё одна тренировка». | Сверяют результаты с эталоном, проверяют прохождение прямой через обе точки. Отмечают уровень готовности и исправляют вычислительную или графическую ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что график можно проверить по координатам точек и значению функции при x = 0. Завершим урок и определим, какие умения уже стали уверенными».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока и дать дифференцированное домашнее задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Завершим урок коротким билетом на выход. Запишите одну фразу: чем функция отличается от произвольного набора пар чисел; затем назовите один признак прямой пропорциональности. Если осталось затруднение, сформулируйте его вопросом. Выберите для себя цвет: зелёный — могу объяснить и построить; жёлтый — понимаю, но нужна практика; красный — прошу разобрать ещё раз». | Пишут ответы: «Каждому допустимому x соответствует единственное y»; «График y = kx проходит через начало координат». Отмечают уровень уверенности и при необходимости записывают вопрос. |
2 мин | «Домашнее задание выберите по уровню: обязательный вариант нужен каждому, повышающий поможет увереннее строить графики, дополнительный предлагает исследование. Запишите формулировку выбранного задания. Перед выходом ответьте вслух: как найти y при заданном x и какие две точки удобно взять для построения прямой?» | Записывают выбранный уровень домашнего задания и отвечают: «Подставить x в формулу», «Можно взять x = 0 и ещё одно удобное значение, затем вычислить y». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены область определения и значение функции, составлена таблица, график проведён через верно вычисленные точки, вывод о прямой пропорциональности обоснован через коэффициент b.
- «4» — верно выполнены основные вычисления и построение, допущена одна неточность в оформлении или объяснении, не меняющая вывод.
- «3» — верно выполнена часть вычислений или построена прямая по точкам, но есть затруднение в определении области определения либо в объяснении различия между линейной функцией и прямой пропорциональностью.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает, что y является функцией от x? | Проверить осознанное усвоение определения функции. |
Как вы объясните, почему график y = kx проходит через начало координат? | Выявить понимание связи формулы с положением графика. |
На каком шаге построения графика вам пришлось остановиться и перепроверить себя? | Определить затруднения в алгоритме вычисления и построения. |
Какой способ задания функции — формула, таблица или график — оказался для вас сегодня наиболее удобным и почему? | Оценить осознанный выбор математического представления. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы связали понятие функции с таблицей, формулой и графиком и построили прямую по вычисленным точкам. Важно помнить: график линейной функции — прямая, а прямая пропорциональность проходит через начало координат, потому что в формуле y = kx свободный член равен нулю. Частая ошибка — поменять местами координаты точки или забыть вычислить значение функции при выбранном x. Проверьте каждую точку подстановкой в формулу. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства графиков и применять их для решения задач.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: определить значения функции y = 2x − 3 при трёх заданных значениях аргумента; составить таблицу для y = 3x при x = −1, 0, 1; построить график по полученным точкам. | Закрепляет подстановку в формулу и построение графика; при проверке обратить внимание на порядок координат и точность вычислений. |
Средний (повышающий) | Построить графики двух линейных функций вида y = kx + b с разными коэффициентами b и письменно сравнить их наклон и точки пересечения с осью Oy. | Развивает умение связывать коэффициенты формулы с видом графика; проверить обоснование выводов по значениям k и b. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать бытовую ситуацию с двумя связанными величинами, задать зависимость словесно и формулой, указать разумную область определения, составить таблицу из четырёх значений и изобразить график. | Формирует функциональную грамотность и умение моделировать реальную зависимость; проверить согласованность ситуации, формулы, области определения, таблицы и графика. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют аргументом функции? Что показывает область определения? Чем график y = kx отличается от графика y = kx + b при b ≠ 0? Как проверить, что отмеченная точка принадлежит графику?»
