Основные числовые множества. Целые числа
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут определять принадлежность числа к множеству целых чисел, находить противоположные числа и модули, а также выполнять арифметические действия с положительными и отрицательными числами.
- Образовательная задача: сформировать понятие о множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ как расширении множества натуральных чисел $\mathbb{N}$, изучить понятие модуля и противоположного числа.
- Развивающая задача: развивать абстрактное мышление через понимание отрицательных величин и их расположения на координатной прямой.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков сотрудничества при работе в парах и формировать интерес к истории математики через знакомство с трудами Брахмагупты.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Понимание математики как важной части общечеловеческой культуры (история появления нуля и отрицательных чисел).
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать числа, строить логические рассуждения и делать выводы о свойствах операций.
- Регулятивные: способность ставить новые учебные задачи, планировать пути достижения целей и осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать действия с партнером.
Предметные
- Знать определение натуральных и целых чисел, понимать обозначения $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$.
- Уметь находить противоположные числа и вычислять модуль числа.
- Владеть навыками сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел, включая работу с отрицательными множителями.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценностных ориентиров и смыслообразования в процессе решения практических задач.
- Развитие критичности мышления при анализе числовых закономерностей.
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений при открытии нового знания.
- Оценка правильности выполнения действия и внесение корректив.
Познавательные УУД
- Смысловое чтение учебного текста (история нуля, понятие отрицательного числа).
- Моделирование ситуаций с использованием координатной прямой.
Коммуникативные УУД
- Участие в коллективном обсуждении проблемных вопросов.
- Эффективное взаимодействие в паре при выполнении тренировочных упражнений.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию со слайдами: портрет Брахмагупты, определение множества $\mathbb{Z}$, схема модуля.
- Распечатать карточки для работы в парах (по 1 шт. на парту) с заданием «Математическое лото» по теме «Модуль и противоположные числа».
- Подготовить демонстрационную координатную прямую (магнитную или нарисованную на доске).
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для выделения положительных и отрицательных зон.
- Учебник: Алгебра 7 класс (открыть стр. 13–15).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к восприятию абстрактных понятий через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы отправимся в путешествие по миру чисел. Вы уже знакомы с натуральными числами — теми, что создала сама природа. Но достаточно ли их нам? Представьте, что у вас в кармане 0 яблок, а вы обещали другу одно. Как математически записать ваше состояние? В 628 году индийский математик Брахмагупта ввел понятие нуля как пустоты. Но математика пошла дальше. Сегодня мы узнаем, что находится "за нулем"». | Слушают учителя, настраиваются на работу. Размышляют над вопросом о «долге» яблока, предлагают варианты записи (минус один, долг). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, натуральных чисел нам явно не хватает для описания всех жизненных ситуаций. Давайте выясним, какие числа приходят им на помощь».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить знания о натуральных числах и выявить проблему невозможности вычитания большего из меньшего в рамках $\mathbb{N}$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вспомним: какие числа мы называем натуральными? Приведите примеры. Является ли ноль натуральным числом?» | Отвечают: «Натуральные — это числа для счета предметов: 1, 2, 3... Ноль не является натуральным, так как мы не начинаем счет с нуля». |
3 мин | «Решите примеры: $15 - 7$, $10 - 10$. А теперь попробуйте решить $5 - 8$. В чем сложность? Можем ли мы получить результат, используя только те числа, которые знаем?» | Решают первые примеры устно (8, 0). При попытке решить $5 - 8$ фиксируют затруднение: «Нельзя из 5 вычесть 8, получится число меньше нуля». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы столкнулись с границей наших знаний. Чтобы преодолеть её, нам нужно познакомиться с целыми числами».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие отрицательных чисел, противоположных чисел и множества $\mathbb{Z}$ на основе текста учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на странице 13. Прочитайте раздел о том, как возникают отрицательные числа. Обратите внимание на понятие "расстояние от нуля". Если мы отложим единицу вправо — получим 1, а если влево? Как называются такие числа?» | Читают текст. Отвечают: «Числа, находящиеся на таком же расстоянии от нуля, но в противоположную сторону, называются отрицательными. Например, -1, -2». |
4 мин | «Посмотрите на доску. Здесь записано: $n + (-n) = 0$. Что это значит? Как называются такие числа? И как нам обозначить всё это огромное семейство чисел, включая натуральные, им противоположные и ноль?» | Формулируют определение: «Числа $n$ и $-n$ называются противоположными. Множество всех таких чисел называется целыми и обозначается буквой $\mathbb{Z}$ от немецкого Zahl — число». |
3 мин | «И последнее важное понятие — модуль. Посмотрите на стр. 14. Что такое модуль числа? Как он записывается? Чему равен $|-5|$ и $|5|$?» | Записывают в тетрадь: $|a|$ — модуль. Отвечают: «Модуль — это расстояние от числа до нуля. $|-5| = 5$, $|5| = 5$. Модуль не может быть отрицательным». |
Запись в тетрадях
- $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ — целые числа.
- $n$ и $-n$ — противоположные числа. $n + (-n) = 0$.
- $|a|$ — модуль числа (расстояние до 0). $|-a| = a$, $|a| = a$, $|0| = 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть полный набор инструментов для работы с любыми целыми числами. Давайте проверим их в деле».
Этап 4. Физкультминутка «Положительный — отрицательный» (2 мин)
Цель этапа: физическая разгрузка и закрепление понятий «положительное/отрицательное».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Я буду называть числа или ситуации. Если число положительное — тянемся руками вверх, если отрицательное — приседаем, если ноль — стоим ровно и хлопаем в ладоши. Итак: 10; -5; температура на Северном полюсе; ваш выигрыш в лотерею; долг за мобильную связь; число Брахмагупты!» | Выполняют упражнения: тянутся вверх на «10» и «выигрыш», приседают на «-5», «температура», «долг», хлопают на «число Брахмагупты» (ноль). |
Этап 5. Первичное закрепление и практика (10 мин)
Цель этапа: отработка навыков вычисления модуля и сравнения чисел через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Работаем в парах. Выполните упражнение №53 со страницы 15. Вам нужно вычислить значения выражений с модулями. Обсуждайте решение с соседом, если ответы не совпадут — ищите ошибку вместе». | В парах решают примеры: а) $|117| + |-17|$; б) $|-213| - |-17|$; в) $|-391| : |-17|$. Записывают решения, сверяют результаты. |
5 мин | «Теперь проверим вашу интуицию. Упражнение №56: сравните числа. Кто объяснит правило: какое из двух отрицательных чисел больше?» | Сравнивают: -547 и -479; 547 и -479. Формулируют вывод: «Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше (оно ближе к нулю)». |
Эталон решения (№53)
а) $|117| + |-17| = 117 + 17 = 134$;
б) $|-213| - |-17| = 213 - 17 = 196$;
в) $|-391| : |-17| = 391 : 17 = 23$.
б) $|-213| - |-17| = 213 - 17 = 196$;
в) $|-391| : |-17| = 391 : 17 = 23$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Работа в парах показала, что вы отлично справляетесь с модулями. Пришло время для самостоятельного испытания».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на примерах из источника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Выполните самостоятельно №45 (а, б) и №51 (а, в). Будьте внимательны со знаками при умножении и сложении. Помните правило из учебника: произведение двух отрицательных чисел есть число положительное». | Индивидуально решают: 45а) $-233 + 55$; 45б) $-177 + 322$; 51а) $-52 \cdot (-15)$; 51в) $-523 \cdot 0$. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: «Сверьте свои результаты. Поднимите руку, у кого всё верно». | Проверяют свои работы, исправляют ошибки. Анализируют, где ошиблись (в знаке или в вычислениях). |
Эталон решения
№45: а) -178; б) 145.
№51: а) 780; в) 0.
№51: а) 780; в) 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки — это путь к знанию. Главное, что теперь вы видите, как работают знаки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание пройденного пути и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы узнали о множестве $\mathbb{Z}$, научились находить модули и играть с отрицательными числами. Посмотрите на свои записи. Что было самым неожиданным?» | Отвечают: «Неожиданно, что минус на минус дает плюс», «Интересно про историю нуля», «С модулем работать легко». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы и упражнения в паре, нет ошибок в знаках.
- «4» — допущена 1 ошибка в вычислениях при верном алгоритме работы со знаками.
- «3» — верно решено более половины заданий, но есть путаница в определении модуля или знака результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число называется противоположным для $k$? | Проверка усвоения базовой терминологии. |
Может ли модуль быть отрицательным? Почему? | Выявление понимания геометрического смысла модуля. |
В каких жизненных ситуациях мы встречаем целые числа? | Связь теории с функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг — вышли за пределы привычного мира натуральных чисел. Целые числа — это фундамент всей алгебры. Если вы сегодня поняли, как работает модуль и почему $-1$ и $1$ — это братья-близнецы по разные стороны от нуля, значит, вы готовы к покорению новых математических вершин. На следующем уроке мы научимся решать сложные уравнения с этими числами. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №44, №46 (а, б, в) | Проверить верность утверждений о множествах и выполнить вычитание. |
Средний (повышающий) | №55 | Решить задачу про изменение температуры воздуха в течение суток. |
Продвинутый (дополнительный) | №58 (а) | Выполнить действия с многозначными числами, состоящими из повторяющихся цифр. |
Контрольный вопрос: «Как изменится сумма двух чисел, если одно из них заменить на противоположное?»
