Координаты и графики. Понятие функции
Цели и задачи
- Цель: сформировать представление о функции как о зависимости одной переменной от другой, научить распознавать функциональные зависимости и находить значения функции по заданному значению аргумента.
- Образовательные: ввести понятия «функция», «аргумент», «область определения», «область значений»; научить определять функцию по описанию, формуле и графику.
- Развивающие: развивать навыки абстрактного и логического мышления, умение анализировать зависимости и строить гипотезы.
- Воспитательные: воспитывать культуру математической речи, формировать навыки самоконтроля и умение работать в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через анализ жизненных ситуаций.
- Понимание значимости математики в реальной жизни и будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно определять цели обучения, ставить и формулировать задачи.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для дискуссии.
Предметные
- Знать определение функции, аргумента, области определения и области значений.
- Уметь вычислять значение функции по формуле.
- Уметь определять, является ли зависимость функциональной по графическому или табличному представлению.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическая ориентация (оценивание усваиваемого содержания).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности промежуточных целей.
- Самоконтроль и коррекция в случае расхождения с эталоном.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации.
- Моделирование реальных процессов на языке математики.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиками различных зависимостей (включая нефункциональные).
- Распечатать рабочие листы с заданием «Исследование зависимости» (15 шт. — по одному на парту).
- Подготовить карточки для рефлексии «Светофор» (зеленый, желтый, красный).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- На доске заранее начертить координатную плоскость.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию новой темы через жизненный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: «Здравствуйте! Сегодня мы начинаем одну из самых важных тем в математике. Но прежде чем мы откроем тетради, ответьте на вопрос: от чего зависит ваша оценка за контрольную работу? А от чего зависит стоимость поездки на такси? А время, которое вы тратите на дорогу до школы? В жизни всё от чего-то зависит. Математика дает нам инструмент, чтобы описать эти связи точно. Сегодня мы станем исследователями таких зависимостей». | Ученики включаются в диалог, приводят свои примеры: «Оценка зависит от количества ошибок», «Стоимость такси зависит от расстояния», «Время зависит от скорости ходьбы». |
1 мин | Учитель: «Запишите в тетрадях число и тему урока: "Координаты и графики. Функции"». | Ученики записывают дату и тему в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что зависимости окружают нас повсюду. Теперь давайте выясним, любую ли зависимость математики называют функцией».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия координат и подготовить почву для введения понятия функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран график температуры воздуха за сутки: «Посмотрите на экран. Здесь показано, как менялась температура в течение дня. Скажите, какая температура была в 10:00? А в 16:00? Могло ли быть так, что в 12:00 температура была одновременно и +15, и +20 градусов?» | Ученики анализируют график, называют значения: «В 10:00 было +10 градусов, в 16:00 — +18». Отвечают на проблемный вопрос: «Нет, в один момент времени температура может быть только одна». |
2 мин | Учитель: «Верно. А теперь посмотрите на другой рисунок (показывает окружность в координатной плоскости). Если я выберу значение x, сколько значений y ему соответствует? Является ли это такой же строгой зависимостью, как с температурой?» | Ученики видят, что одному x соответствуют два y (сверху и снизу окружности). Возникает затруднение: они понимают разницу, но не знают, как это назвать математически. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы заметили важное правило: в некоторых зависимостях каждому значению одной величины соответствует строго одно значение другой. Именно такие правила мы и будем изучать».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение функции, аргумента и области определения через системно-деятельностный подход.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: «Давайте дадим определение. Функция — это такая зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную x мы будем называть аргументом, а зависимую y — функцией. Запишем это в тетрадь в виде схемы». Учитель рисует на доске блок-схему: x (вход) -> Правило (f) -> y (выход). | Ученики записывают определение и схему. Обсуждают в парах 1 минуту: «Что в примере с такси является аргументом, а что функцией?» (Аргумент — расстояние, функция — стоимость). |
7 мин | Учитель: «Функцию можно задать тремя способами: словами, таблицей или формулой. Давайте рассмотрим формулу y = 2x + 3. Если я задам x = 5, как найти y? А если я захочу взять x, при котором знаменатель дроби станет нулем, смогу ли я найти y? Те значения, которые может принимать x, называются областью определения функции». | Ученики пробуют подставлять значения: «Если x=5, то y=2*5+3=13». Слушают объяснение про область определения, делают пометки в тетрадях. Задают вопросы о том, какие еще ограничения могут быть (например, корень или дробь). |
Запись в тетрадях
- Функция — зависимость y от x, где каждому x соответствует единственное y.
- x — аргумент (независимая переменная).
- y — функция (зависимая переменная).
- Область определения — все значения, которые может принимать аргумент.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем "имя" этой зависимости и её составляющие. Давайте проверим, как это работает на практике».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: научить применять полученные знания для вычисления значений функции и определения функциональных зависимостей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задание «Верю — не верю»: «Я называю зависимость, а вы поднимаете руку, если это функция. 1. Зависимость площади квадрата от его стороны. 2. Зависимость роста человека от его возраста. 3. Зависимость веса товара от его цены (при фиксированной цене за кг)». Учитель комментирует ответы, акцентируя внимание на «единственности» значения. | Ученики анализируют примеры. 1. Да (функция). 2. Нет (в одном возрасте у людей разный рост). 3. Да (функция). Аргументируют свои ответы, используя ПОПС-формулу. |
4 мин | Учитель дает задание для работы в тетрадях: «Дана функция f(x) = x^2 - 1. Найдите f(0), f(3), f(-2). Один человек работает у доски, остальные самостоятельно». | Ученики решают задачу. Ученик у доски комментирует: «Подставляем вместо x число 0, получаем 0 в квадрате минус 1, равно -1». Остальные сверяются. |
Эталон решения
f(0) = 0^2 - 1 = -1;
f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8;
f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3.
f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8;
f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с вычислениями. Теперь самое сложное — самостоятельный поиск области определения».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения материала и развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с тремя уровнями сложности (дифференциация). Уровень А: найти значение функции по формуле. Уровень Б: найти область определения функции с дробью. Уровень В: определить, является ли график функцией. «Выберите тот уровень, который вам кажется интересным, и приступайте». | Ученики выбирают уровень сложности и самостоятельно выполняют задания в течение 5 минут. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: «Проверьте свои работы по эталону. Если всё верно — поставьте себе плюс на полях. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять почему». | Ученики проводят самопроверку, фиксируют результаты. Те, кто выбрал уровень В, обсуждают с учителем спорный график. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки — это наши точки роста. Главное, что мы теперь понимаем структуру функции».
Этап 6. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и оценить эмоциональное состояние учеников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: «Давайте подведем итоги. Что нового мы узнали? Какое главное условие должно выполняться, чтобы зависимость стала функцией? Приведите пример функции из вашей будущей профессии — например, если вы будете программистом или экономистом». | Ученики отвечают: «Узнали про аргумент и функцию», «Главное — единственность y для каждого x». Примеры: «Зарплата зависит от количества отработанных часов», «Расход топлива зависит от скорости машины». |
2 мин | Учитель просит поднять карточки «Светофор»: «Зеленый — я всё понял и могу объяснить другу. Желтый — я понял, но остались вопросы. Красный — мне было очень трудно, нужна помощь». | Ученики поднимают карточки, учитель фиксирует группы для консультации на следующем уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания выбранного уровня, нет фактических ошибок, аргументация четкая.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка или неточность в определении области определения.
- «3» — ученик понимает принцип подстановки в формулу, но затрудняется в определении функциональной зависимости.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое задание сегодня вызвало самый большой азарт? | Выявление уровня внутренней мотивации и интереса к предмету. |
Можете ли вы объяснить младшему брату, что такое функция, без сложных слов? | Проверка глубины понимания понятия через упрощение (перекодирование). |
В какой момент урока вы почувствовали, что «пазл сложился»? | Осознание момента инсайта и успешности учебной деятельности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали первый шаг в огромный мир функций. Вы увидели, что математика — это не просто цифры, а язык, на котором говорит природа и техника. Если сегодня что-то осталось неясным — не переживайте, на следующем уроке мы будем строить графики, и всё станет наглядным. Вы сегодня работали как настоящие исследователи. Спасибо за урок!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Решить 4 задачи на нахождение значения функции по формуле (линейная и квадратичная зависимости). | Закрепление навыка подстановки аргумента и вычисления. |
Средний | Найти область определения для 3 функций, содержащих деление на выражение с переменной. | Развитие навыка анализа ограничений аргумента. |
Продвинутый | Придумать и описать 3 примера функциональных зависимостей из повседневной жизни, задать их формулой. | Развитие математического моделирования и связи с реальностью. |
Контрольные вопросы перед выходом: 1. Как называется независимая переменная? 2. Может ли одному x соответствовать два значения y в функции?
