Иррациональные числа. Действительные числа
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие иррационального и действительного числа, научить отличать рациональные числа от иррациональных на основе их десятичной записи.
- Образовательная задача: Познакомить с историей возникновения иррациональных чисел (школа Пифагора), научить представлять рациональные числа в виде бесконечных периодических дробей.
- Развивающая задача: Развивать навыки классификации чисел по множествам (N, Z, Q, R) и умение сравнивать действительные числа.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и умение работать в паре при решении проблемных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Развитие познавательного интереса к истории математики.
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Критичность мышления при анализе числовой информации.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки иррациональных чисел, строить логические рассуждения.
- Регулятивные: умение ставить учебную задачу, планировать действия по её решению и проводить самоконтроль.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию в паре, слушать и понимать партнёра.
Предметные
- Знать определение иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной дроби.
- Уметь представлять рациональные числа в виде периодических дробей.
- Владеть понятием множества действительных чисел (R) и уметь сравнивать их на координатной прямой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между изучением чисел и их практическим применением в измерениях).
- Самоопределение в процессе выбора уровня сложности заданий.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (периодичность/непериодичность).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы (задание на классификацию чисел) — 15 шт.
- Подготовить чертеж на доске: квадрат со стороной 1 и его диагональю.
- Открыть учебник на стр. 19–21.
- Подготовить слайд с определением иррациональных чисел и примерами (π, 0,101101110...).
- Заготовить таблицу-схему множеств чисел (круги Эйлера) для заполнения на уроке.
Карточка | Эталон ответа |
|---|---|
1 | $\frac{3}{4}$ ∈ Q, R; $-5$ ∈ Z, Q, R; $0$ ∈ Z, Q, R; $\sqrt{2}$ ∈ I, R; $0,(6)$ ∈ Q, R; $\pi$ ∈ I, R. |
2 | $7$ ∈ N, Z, Q, R; $-\frac{2}{3}$ ∈ Q, R; $\sqrt{9}=3$ ∈ N, Z, Q, R; $0,125$ ∈ Q, R; $\sqrt{5}$ ∈ I, R; $1,010010001...$ ∈ I, R. |
3 | $-12$ ∈ Z, Q, R; $\frac{11}{6}$ ∈ Q, R; $\sqrt{16}=4$ ∈ N, Z, Q, R; $-\sqrt{3}$ ∈ I, R; $2,(45)$ ∈ Q, R; $0,101101110...$ ∈ I, R. Чисел, принадлежащих ровно трём множествам, в этой карточке нет. |
4 | $\frac{5}{2}$ ∈ Q, R; $-8$ ∈ Z, Q, R; $\sqrt{25}=5$ ∈ N, Z, Q, R; $\sqrt{7}$ ∈ I, R; $3,14$ ∈ Q, R; $-0,(27)$ ∈ Q, R. Пример рационального числа: $\frac{1}{2}$; иррационального: $\sqrt{2}$. |
5 | $1$ ∈ N, Z, Q, R; $-\frac{9}{4}$ ∈ Q, R; $\sqrt{36}=6$ ∈ N, Z, Q, R; $\sqrt{10}$ ∈ I, R; $4,(9)=5$ ∈ N, Z, Q, R; $0,123456789101112...$ ∈ I, R. В отношение двух целых чисел можно представить рациональные числа. |
6 | $-1$ ∈ Z, Q, R; $\frac{7}{3}$ ∈ Q, R; $\sqrt{49}=7$ ∈ N, Z, Q, R; $-\sqrt{11}$ ∈ I, R; $5,2(3)$ ∈ Q, R; $2,010010001...$ ∈ I, R. Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись; иррациональные — бесконечную непериодическую. |
Карточка | Числа для классификации | Задание для пары |
|---|---|---|
1 | $\frac{3}{4}$; $-5$; $0$; $\sqrt{2}$; $0,(6)$; $\pi$ | Распределите числа по множествам N, Z, Q, I, R. Для каждого числа назовите все подходящие множества. |
2 | $7$; $-\frac{2}{3}$; $\sqrt{9}$; $0,125$; $\sqrt{5}$; $1,010010001...$ | Распределите числа по множествам N, Z, Q, I, R. Объясните, какие признаки помогли классифицировать числа. |
3 | $-12$; $\frac{11}{6}$; $\sqrt{16}$; $-\sqrt{3}$; $2,(45)$; $0,101101110...$ | Определите принадлежность каждого числа множествам N, Z, Q, I, R. Найдите два числа, принадлежащих ровно трём из этих множеств. |
4 | $\frac{5}{2}$; $-8$; $\sqrt{25}$; $\sqrt{7}$; $3,14$; $-0,(27)$ | Распределите числа по множествам N, Z, Q, I, R. Составьте по одному примеру рационального и иррационального числа. |
5 | $1$; $-\frac{9}{4}$; $\sqrt{36}$; $\sqrt{10}$; $4,(9)$; $0,123456789101112...$ | Классифицируйте числа и обоснуйте ответы. Проверьте, какие из них можно представить в виде отношения двух целых чисел. |
6 | $-1$; $\frac{7}{3}$; $\sqrt{49}$; $-\sqrt{11}$; $5,2(3)$; $2,010010001...$ | Распределите числа по множествам N, Z, Q, I, R и сформулируйте правило, по которому отличают рациональные числа от иррациональных. |
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: проверить готовность к уроку, актуализировать знания о рациональных числах и создать ситуацию затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте! Сегодня мы продолжаем исследовать мир чисел. Давайте вспомним: любое ли число мы можем представить в виде дроби m/n? Как называются такие числа?" Учитель предлагает вспомнить правило измерения отрезков со стр. 19 учебника: "Если единица измерения e укладывается m раз, то длина m. Если нет — берем доли e/n. Всегда ли мы найдем такие m и n?" | Отвечают: "Да, это рациональные числа". Вспоминают процесс измерения: если отрезок соизмерим с единичным, его длина выражается числом вида m/n. |
3 мин | "Давайте переведем обыкновенные дроби в десятичные: 27/25 и 5/27. Что вы заметили?" Учитель фиксирует результаты на доске: 1,08 и 0,185185... "Как мы называем такие дроби?" | Выполняют деление в тетрадях. Отвечают: "Первая дробь конечная, вторая — бесконечная периодическая с периодом 185. Записывают: 0,(185)". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы знаем, что любое рациональное число — это либо конечная, либо бесконечная периодическая дробь. Но существуют ли другие числа?"
Этап 2. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через геометрическую задачу прийти к выводу о существовании чисел, которые нельзя представить в виде m/n.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на Рис. 5 в учебнике (стр. 20). Перед вами квадрат со стороной 1. Пифагорейцы еще в V веке до н. э. обнаружили, что длину его диагонали нельзя выразить рациональным числом. Как же так? Если мы начнем записывать это число десятичной дробью, мы не найдем периода!" Учитель вводит понятие: "Числа, которые нельзя представить в виде m/n, называются иррациональными. 'Ир' — значит отрицание. Это бесконечные НЕпериодические дроби." | Рассматривают рисунок. Пытаются осознать, что есть отрезки, длина которых не 'укладывается' в привычные дроби. Записывают определение в тетрадь. |
4 мин | "Приведите примеры таких чисел из текста учебника. Что это за число π? Посмотрите на пример 0,101101110... Почему оно не является рациональным?" | Находят в тексте: π ≈ 3,14159... Поясняют: "В числе 0,101101110... количество нулей меняется, нет повторяющегося блока цифр — периода, значит оно иррациональное". |
3 мин | "А теперь объединим все наши знания. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Обозначается буквой R (от латинского realis — реальный). Каждой точке на координатной прямой соответствует ровно одно действительное число." | Зарисовывают схему: R включает в себя Q (рациональные) и I (иррациональные). Записывают символ R. |
Запись в тетрадях
- Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь.
- Примеры: π, 0,121121112..., √2 (длина диагонали квадрата со стороной 1).
- R — множество действительных чисел (Q ∪ I).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли новый вид чисел. Теперь давайте научимся работать с ними и отличать их от уже знакомых нам рациональных чисел."
Этап 3. Первичное закрепление и работа в парах (10 мин)
Цель этапа: закрепить навык классификации чисел и представления их в разных формах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем в парах. Откройте упражнение №79 (а, в, д). Представьте числа 2/3, -2/7 и -23 в виде бесконечной периодической дроби. Обсудите с соседом, как правильно записать период." | Работают в парах, выполняют деление уголком. Записывают: а) 0,(6); в) -0,(285714); д) -23,(0). Проверяют друг друга. |
5 мин | "Теперь обратная задача — №83. Даны числа: а) 6,(9); б) -1,35(0); в) 0,8(678); г) 2π. К каким множествам (N, Z, Q, R) они принадлежат? Обоснуйте свой ответ." | Обсуждают в парах. Приходят к выводу: а, б, в — рациональные (Q) и действительные (R). Число 2π — иррациональное, значит только действительное (R). |
Эталон решения (№79 в)
2 : 7 = 0,285714285... Остатки повторяются: 2, 6, 4, 5, 1, 3. Период состоит из 6 цифр. Ответ: -0,(285714).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с классификацией. Пора немного размяться, прежде чем перейдем к сравнению этих чисел."
Этап 4. Физкультминутка «Числовая прямая» (2 мин)
Цель этапа: физическая разгрузка и закрепление понятия положительных/отрицательных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Представьте, что вы стоите в точке 0 на координатной прямой. Если я называю положительное число — шаг вправо, отрицательное — шаг влево. 5! -3! π! -0,(2)! 0! (на 0 — подпрыгнуть)." | Выполняют движения: шагают вправо на 5 и π, влево на -3 и -0,(2). На числе 0 подпрыгивают на месте. |
Этап 5. Сравнение действительных чисел и самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: научить сравнивать действительные числа по их десятичной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Как сравнить два действительных числа? Правило на стр. 21: сравниваем по разрядам, как и обычные десятичные дроби. Давайте сравним №86 (а): 2/7 и 0,(3). Нам нужно перевести 2/7 в десятичную дробь: 0,285... Сравниваем с 0,333... Что больше?" | Сравнивают разряды десятых: 2 < 3. Делают вывод: 2/7 < 0,(3). |
6 мин | "Выполните самостоятельно №86 (в, г). В пункте (г) будьте внимательны: 2,7(8) и 2,787787778... Распишите побольше знаков после запятой." | Самостоятельно сравнивают. в) 2,7(8) = 2,7888... и 2,(78) = 2,7878... Значит 2,7(8) > 2,(78). г) 2,788... > 2,787... Проверяют по эталону на доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сравнение — это база для всех дальнейших вычислений. Мы видим, что даже иррациональные числа подчиняются строгим правилам порядка."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Вспомните нашу цель: научиться отличать рациональные числа от иррациональных. Поднимите зеленую карточку, если вы теперь легко это сделаете, и желтую — если еще нужно потренироваться." | Оценивают свою работу, поднимают карточки. Отвечают на вопросы учителя. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Обратите внимание на задачу №88 — она со звездочкой, для тех, кто хочет бросить себе вызов." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания (№79, 83, 86), правильно определены периоды и множества принадлежности чисел.
- "4" — допущены 1-2 ошибки в вычислении периода или в сравнении разрядов при сохранении верного алгоритма.
- "3" — верно выполнена половина заданий, есть путаница в определениях рациональных и иррациональных чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число называется иррациональным? | Проверка усвоения ключевого определения урока. |
В чем главное отличие записи рационального числа от иррационального в виде десятичной дроби? | Выявление понимания признака периодичности/непериодичности. |
Какое задание сегодня вызвало наибольшее затруднение? | Диагностика проблемных зон для планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили важное открытие — узнали, что мир чисел гораздо шире, чем мы думали раньше. Мы познакомились с 'неуловимыми' иррациональными числами, которые нельзя запереть в рамки простой дроби. Это знание станет фундаментом для изучения корней и функций. Если сегодня что-то осталось непонятным — не переживайте, на следующем уроке мы будем учиться складывать и умножать эти числа. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | §2, п. 6 (читать); №80 (а-г), №84 | Представить числа в виде обыкновенных дробей и проверить истинность утверждений о множествах. |
Средний (повышающий) | №81, №87 (а, б) | Выполнить сложение периодических дробей и найти числа между заданными значениями. |
Продвинутый (дополнительный) | №88, №90 | Доказать свойства множества иррациональных чисел (замкнутость) и привести контрпримеры. |
Контрольный вопрос: Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом? (Подумайте над примером: π + (5 - π)).
