Действительные числа. Перевод обыкновенной дроби в бесконечную десятичную дробь
Этап 0. Знакомство с множествами чисел (5 мин): натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные числа
Повторение множеств чисел
Множества чисел
Натуральные числа — числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, … .
Целые числа включают натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … .
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби $\frac{a}{b}$. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$.
Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе.
Связь множеств: натуральные числа являются частью целых, целые — частью рациональных, а рациональные входят в множество действительных чисел. Иррациональные числа также являются действительными, но не являются рациональными.
Натуральные числа — числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, … .
Целые числа включают натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … .
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби $\frac{a}{b}$. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$.
Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе.
Связь множеств: натуральные числа являются частью целых, целые — частью рациональных, а рациональные входят в множество действительных чисел. Иррациональные числа также являются действительными, но не являются рациональными.
Цели и задачи
- Цель: сформировать навык перевода обыкновенных дробей в десятичные и научить распознавать виды получаемых дробей на основе анализа знаменателя.
- Предметная задача: изучить алгоритм деления «уголком» для получения периодических дробей и освоить форму записи периода.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать, сравнивать и классифицировать математические объекты (конечные и бесконечные дроби).
- Воспитательная задача: воспитывать настойчивость в поиске решения и критическое отношение к полученному результату.
- Методическая задача: реализовать исследовательский подход через выявление закономерности между разложением знаменателя на множители и видом дроби.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие находчивости и активности при решении математических задач.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навык использования знаково-символических средств для представления информации (запись периода).
- Способность организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби.
- Уметь переводить обыкновенную дробь в десятичную путём деления числителя на знаменатель.
- Владеть навыком распознавания конечных и бесконечных периодических дробей по виду знаменателя.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие критичности мышления.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности действий при делении столбиком.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с примерами деления «уголком» (слайды 1–5).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы по уровням сложности (30 экз.).
- Заготовить листы самооценки «Мой прогресс» для каждого ученика.
- Проверить наличие калькуляторов (для этапа проверки гипотез).
- Открыть учебник алгебры 7 класса (автор Макарычев Ю.Н.) на стр. 195.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на исследовательскую деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы с вами превратимся в исследователей. Математика полна сюрпризов, и сегодня мы столкнемся с числом, которое «не хочет заканчиваться». Проверьте, всё ли у вас на столах: тетрадь, ручка, учебник и боевой настрой?» | Приветствуют учителя, проверяют готовность рабочего места. |
2 мин | «Посмотрите на доску. Там записаны дроби: 1/2, 1/4, 1/5. Мы легко переводим их в десятичные. А теперь попробуйте быстро перевести 1/3. Что вы заметили? Почему с этим числом что-то не так?» | Пытаются перевести 1/3 в уме или на черновике. Отвечают: «Тройки повторяются бесконечно!», «Деление не заканчивается!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Именно этот феномен «бесконечности» мы сегодня и будем изучать. Запишите тему урока: «Действительные числа. Перевод в бесконечную десятичную дробь».»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить алгоритм перевода дробей, которые «заканчиваются».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вспомним наше правило. Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель. Выполните в тетрадях перевод дробей: 3/8 и 7/20. Кто первым получит ответ?» | Выполняют деление уголком в тетрадях. Ответы: 0,375 и 0,35. |
3 мин | «Почему эти дроби называются конечными? Что общего у их знаменателей? Давайте разложим 8 и 20 на простые множители. 8 = 2*2*2, 20 = 2*2*5. Видите закономерность?» | Раскладывают числа на множители. Предполагают: «В знаменателях только двойки и пятёрки». Один ученик записывает разложение на доске. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как работают «послушные» дроби. А теперь перейдем к «бунтарям», которые не хотят останавливаться.»
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: выявить причину появления бесконечных периодических дробей и ввести понятие периода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте разделим 5 на 6 уголком. Будьте внимательны, делите до тех пор, пока не увидите, что остатки начали повторяться. Что происходит с остатком?» Учитель контролирует процесс деления, проходя по рядам. | Выполняют деление: 50 : 6 = 0,8 (ост. 2), 20 : 6 = 3 (ост. 2), 20 : 6 = 3 (ост. 2)... Отвечают: «Остаток всё время 2, значит, цифра 3 будет повторяться вечно!» |
3 мин | «Такие дроби называются бесконечными десятичными периодическими. Повторяющаяся цифра или группа цифр называется периодом. Мы записываем это так: 0,8(3). Читается: «ноль целых, восемь десятых и три в периоде». Попробуйте записать в таком виде результат деления 1 на 11.» | Делят 1 на 11, получают 0,090909... Записывают: 0,(09). Читают вслух: «Ноль целых и ноль девять в периоде». |
3 мин | «Приём «Лаборатория»: посмотрите на знаменатели наших «бесконечных» дробей: 3, 6, 11. Есть ли в их разложении множители, отличные от 2 и 5? Сделайте вывод: когда дробь будет бесконечной?» | Анализируют: 3=3, 6=2*3, 11=11. Формулируют вывод: «Если в разложении знаменателя есть другие простые множители, кроме 2 и 5, то дробь будет бесконечной периодической». Записывают вывод в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Периодическая дробь — бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого разряда, повторяется одна и та же группа цифр.
- Запись: 5/6 = 0,8333... = 0,8(3).
- Правило: Несократимая дробь a/b переводится в конечную десятичную тогда и только тогда, когда b не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поздравляю, вы сами вывели закон математики! Теперь проверим его в действии.»
Этап 4. Первичное закрепление и практика (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка определения вида дроби без деления и практика записи периода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Приём «Светофор». Я показываю дробь, а вы, не считая, поднимаете зеленую карточку, если она конечная, и красную — если бесконечная периодическая. Дроби: 7/15, 9/40, 1/12, 3/25, 5/18.» | Анализируют знаменатели (15=3*5 — красная, 40=2*2*2*5 — зеленая, 12=2*2*3 — красная, 25=5*5 — зеленая, 18=2*3*3 — красная). Поднимают карточки. |
4 мин | «Теперь решим из учебника № 964 (а, в). Нужно перевести дроби 5/9 и 7/12 в десятичные и указать период. Один человек у доски, остальные в тетрадях. Помните про аккуратность «уголка»!» | Один ученик работает у доски, комментируя: «5 делю на 9, беру по 0, добавляю 0...» Получают 0,(5) и 0,58(3). Сверяют результаты. |
Эталон решения
5/9: 5,0 : 9 = 0,555... = 0,(5). 7/12: 7,000 : 12 = 0,58333... = 0,58(3).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились «видеть» бесконечность заранее. Теперь проверим, как вы справитесь с заданиями разного уровня.»
Этап 5. Самостоятельная работа по уровням (7 мин)
Цель этапа: дифференцированный контроль усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Перед вами карточки с тремя уровнями. Уровень А — базовый (на 3), Б — средний (на 4), В — продвинутый (на 5). Выберите тот, который вам по силам. У вас 6 минут.» | Выбирают карточку и приступают к решению. |
6 мин | Учитель наблюдает, дает краткие подсказки тем, кто выбрал уровень В. «Если закончили раньше, проверьте себя по эталону на обратной стороне доски». | Самостоятельно решают задачи. Уровень А: перевод 2/3, 1/9. Уровень Б: 5/11, 13/15. Уровень В: сравнение 0,(3) и 1/3, 0,2(6) и 4/15. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сдаем работы. Кто выбрал уровень В и справился — вы настоящие профи сегодня!»
Этап 6. Творческое задание «Числовой код» (5 мин)
Цель этапа: развитие креативного мышления и связи математики с реальностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Представьте, что вы — создатели секретного шифра. Придумайте свою обыкновенную дробь, которая при переводе в десятичную дает «красивый» или необычный период. Дайте этому числу название. Например, дробь «Ступеньки» или «Зеркало». Обоснуйте выбор.» | Придумывают дроби. Например: «Дробь 1/7 — это «Танцор», потому что у нее длинный период 142857, цифры меняются местами». Или «1/99 — это «Близнецы» (0,0101...)». Записывают свои идеи на листочках. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика — это не только сухие цифры, но и простор для фантазии. Ваши «именные» числа мы вывесим на стенд.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок-исследование подходит к концу. Заполните листы самооценки. Что было самым трудным? Какое открытие вы сегодня сделали?» | Заполняют листы: «Я понял, что...», «Мне было трудно...», «Я научился...» Озвучивают 1-2 ответа. |
1 мин | «Запишите домашнее задание. Оно тоже будет на выбор, чтобы каждый мог проявить себя». Учитель поясняет пункты задания. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (включая уровень В), работа оформлена аккуратно, период записан верно.
- «4» — верно выполнены задания уровня Б или А без ошибок, допущены мелкие недочеты в оформлении «уголка».
- «3» — выполнен уровень А с 1-2 вычислительными ошибками, но понимание алгоритма деления и записи периода присутствует.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«В каком случае обыкновенная дробь превращается в бесконечную?» | Проверка усвоения главного теоретического вывода урока. |
«Что именно в делении уголком подсказало нам, что цифры начнут повторяться?» | Осознание алгоритмического процесса и фиксация момента возникновения периода. |
«Какое задание сегодня вызвало у тебя азарт?» | Выявление эмоционально-значимых моментов для поддержания мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что числа могут быть бесконечными, но при этом подчиняться строгим правилам. Мы приоткрыли дверь в мир действительных чисел, где живут не только знакомые нам дроби, но и загадочные иррациональные числа, о которых мы поговорим на следующем уроке. Вы отлично потрудились как исследователи. Не бойтесь бесконечности — в математике она приручена! До встречи завтра!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 965, 967 (а, б) | Перевести дроби в десятичные, выделить период. |
Средний (повышающий) | № 970, 972 | Сравнить обыкновенную и периодическую дробь, предварительно приведя к одному виду. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект «Число 1/7» | Найти в интернете интересные факты о периоде дроби 1/7 и подготовить сообщение на 1 минуту. |
Контрольные вопросы: Можно ли дробь 5/14 представить в виде конечной десятичной дроби? Почему? Как правильно прочитать запись 2,1(45)?
