Числовые промежутки: запись, изображение и чтение на координатной прямой
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать числовые промежутки по условию и рисунку, записывать их обозначения с помощью круглых и квадратных скобок и изображать на координатной прямой не менее четырёх промежутков с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о числовом интервале, числовом отрезке, полуинтервале и числовом луче.
- Научить выбирать круглую или квадратную скобку в зависимости от принадлежности конца промежутку.
- Развивать умение переводить условие неравенства в графическую и символьную запись, сравнивать полученные записи и находить ошибки.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, готовность аргументировать решение и сотрудничать в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт значение точной математической записи при описании ограничений и условий в практических задачах.
- Проявляет интерес к исследованию связей между неравенством, рисунком и обозначением промежутка.
- Принимает право одноклассника на самостоятельное мнение и корректно обсуждает разные способы решения.
- Оценивает собственную готовность применять новые обозначения при изучении неравенств.
Метапредметные
- Умеет извлекать информацию из рисунка координатной прямой и сопоставлять её с символьной записью.
- Планирует последовательность построения промежутка: отметить концы, определить их принадлежность, заштриховать нужную часть.
- Использует парное обсуждение для проверки гипотезы и аргументирует выбор скобок.
- Осуществляет самопроверку по эталону и исправляет обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать определения числового интервала, числового отрезка, полуинтервалов и числовых лучей.
- Уметь записывать промежутки вида (a; b), [a; b], (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (−∞; a), (−∞; a].
- Уметь изображать числовые промежутки на координатной прямой с помощью пустой или закрашенной точки.
- Уметь определять, принадлежит ли число заданному промежутку, и приводить пример числа из промежутка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают учебную задачу как переход от наглядного рисунка к математической модели.
- Проявляют смыслообразование через связь точных обозначений с описанием допустимых значений.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору уровня задания.
- Формируют ответственное отношение к проверке собственного результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия при изображении и записи промежутка.
- Сверяют работу с эталоном, находят причину ошибки в скобке или направлении штриховки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки открытой и закрашенной точки.
- Сравнивают виды промежутков по принадлежности концов.
- Преобразуют информацию из формы неравенства в рисунок и обозначение.
- Строят простую математическую модель множества чисел.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и аргументируют выбор обозначения в паре.
- Распределяют роли при выполнении карточки: чертёжник и проверяющий.
- Слушают объяснение партнёра и задают уточняющие вопросы.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение координатной прямой с примерами промежутков (a; b), [a; b], (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (−∞; a), (−∞; a].
- Распечатать карточки для парной работы — по одной карточке на парту, 15 экземпляров; включить задания на чтение рисунка и запись промежутка.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, 30 экземпляров.
- Подготовить мини-лист самооценки и билет на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: пустая точка — конец не принадлежит; закрашенная точка — конец принадлежит; стрелка — продолжение до бесконечности.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры и линейки; на доске заранее начертить координатную прямую.
- Для физкультминутки подготовить слайд или устные команды с движениями вправо, влево, вверх и вниз.
- Подготовить эталон ответов для парной и самостоятельной работы, не показывая его до этапа самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость точного описания множества чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится особая точность: мы будем описывать не одно число, а целые множества чисел. Запишите дату и тему урока: «Числовые промежутки»." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "Для безопасной работы устройства температура должна быть выше −5 °C, но не выше 5 °C. Как можно кратко показать все допустимые значения? Пока не спешите с ответом: сначала обсудите идею с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | 30 секунд думают индивидуально, около минуты обсуждают в парах, формулируют предположение: «нужно отметить все числа между −5 и 5 и указать, входят ли концы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного числа недостаточно: нужно описать целый набор допустимых значений. Сейчас вспомним координатную прямую и подготовим основу для новой записи."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать координатную прямую, сравнение чисел и запись неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную прямую: "Посмотрите на направление оси. Где расположены числа, меньшие 0? Как сравнить −3 и 2? Что означает запись x > 2?" Учитель фиксирует ответы рядом с осью. | Отвечают: «слева от нуля», «−3 меньше 2», «x больше 2 — все числа правее 2». Показывают направление движения по оси. |
3 мин | Учитель предлагает три записи: x < 4, −2 < x < 3, x ≥ 1. "Определите, какие числа удовлетворяют каждому условию. На оси отметьте границу и решите, нужна ли стрелка или конечный отрезок. Обсудите спорный случай с партнёром." | На мини-листах отмечают область решений, в парах объясняют: «при x < 4 берём числа левее 4; при −2 < x < 3 — между −2 и 3; при x ≥ 1 — от 1 вправо, включая 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем показывать на оси числа, удовлетворяющие неравенству. Но пока у нас нет краткой записи для такого множества. Именно это затруднение и станет задачей урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость новых обозначений и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует рисунок с заштрихованной частью между точками −2 и 3: "Как записать эту область словами? Можно ли каждый раз подробно говорить «все числа больше −2 и меньше 3»? Какой знак покажет, что конец не входит?" | Предлагают: «это числа между −2 и 3», «нужна короткая запись», «пустая точка показывает, что конец не входит». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель урока одним предложением, затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку. Цель должна начинаться со слов «научиться…»." | Записывают индивидуальную цель, обсуждают в парах и формулируют: «научиться записывать и изображать числовые промежутки, определяя принадлежность их концов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: связать условие, рисунок и обозначение. Теперь исследуем, как скобки и точки сообщают нам о принадлежности концов."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия основных видов числовых промежутков и правило выбора скобок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель чертит отрезок между a и b и говорит: "Множество чисел, расположенных между числами a и b, называют числовым интервалом и обозначают (a; b). Круглые скобки показывают, что числа a и b не принадлежат промежутку. На рисунке это отмечается пустыми кружками. Если добавить оба конца, получим числовой отрезок [a; b]: квадратные скобки показывают принадлежность концов." | Рассматривают схему, записывают определения, отвечают: «в (a; b) концы не входят, в [a; b] входят оба конца». |
3 мин | Учитель показывает два рисунка: в первом включён только b, во втором — только a. "Если включить в интервал только одно число, получатся полуинтервалы: (a; b] и [a; b). Сравните рисунки и объясните, почему в одной записи одна круглая, а другая квадратная скобка." | Сравнивают рисунки, формулируют: «в (a; b] число a не входит, b входит; в [a; b) число a входит, b не входит». |
3 мин | Учитель продолжает: "Если множество продолжается вправо от a, это числовой луч: (a; +∞) или [a; +∞). Если продолжается влево, получаем (−∞; a) или (−∞; a]. Бесконечность концом промежутка не является, поэтому рядом с ней всегда круглая скобка. Запишите эту памятку." | Записывают виды промежутков и правило: «у бесконечности всегда круглая скобка». По рисункам называют обозначения: «(a; +∞)», «[a; +∞)», «(−∞; a)», «(−∞; a]». |
Запись в тетрадях
Числовой интервал (a; b) — множество чисел, расположенных между a и b, без концов. Числовой отрезок [a; b] содержит оба конца. Полуинтервалы: (a; b] и [a; b). Числовые лучи: (a; +∞), [a; +∞), (−∞; a), (−∞; a]. Круглая скобка означает, что конец не принадлежит промежутку; квадратная — принадлежит.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли язык числовых промежутков: точка показывает границу, её вид — принадлежность, а штриховка — все подходящие числа. Проверим новое правило на конкретных рисунках и записях."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить различение скобок и обозначений через двигательную смену деятельности и парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Представьте, что вы точка на координатной прямой. Шаг вправо — числа увеличиваются, шаг влево — уменьшаются. На слово «отрезок» соедините ладони, на слово «интервал» оставьте между ними промежуток, на слово «луч вправо» вытяните правую руку. Выполняем спокойно, без резких движений." | Выполняют движения по командам, проговаривают: «вправо — больше, влево — меньше». |
5 мин | Учитель раздаёт карточки парам: «1) изобразите (−3; 4); 2) изобразите [−5; 0); 3) запишите обозначение промежутка, изображённого между 2 и 5 с пустыми точками; 4) назовите любой пример числа из (−0,5; 0,5). Один ученик чертит, второй проверяет по памятке, затем поменяйтесь ролями». | В парах строят четыре рисунка и записи. Ожидаемые ответы: «(−3; 4)», «[−5; 0)», «(2; 5)», например «0». Сверяют наличие пустых и закрашенных точек. |
Эталон решения
1) (−3; 4): отмечаем −3 и 4 пустыми точками, штрихуем участок между ними. 2) [−5; 0): точку −5 закрашиваем, точку 0 оставляем пустой, штрихуем между ними. 3) Пустые точки в 2 и 5 дают (2; 5). 4) Подходит любое число строго между −0,5 и 0,5; например, 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверили три шага: расположение границ, принадлежность концов и направление штриховки. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение записывать и изображать числовые промежутки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Обязательный минимум — выполнить первое задание выбранной карточки. На базовой карточке изобразите (−5; 4), [−1; 6), (2; +∞). На повышенной дополнительно запишите промежутки для условий −3 < x ≤ 2 и x ≥ −1. На дополнительной определите, какие из чисел −4; −1; 0; 3 принадлежат (−2; 3]. Работайте индивидуально." | Выбирают уровень, выполняют задания в тетради: строят оси, отмечают точки, записывают скобки и проверяют принадлежность чисел. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только ответ, но и каждый элемент: границы, вид точек, направление штриховки и скобки. Ошибку не стирайте сразу — подчеркните место, где нарушен алгоритм, и исправьте рядом." | Сверяют работу с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. |
2 мин | Учитель проводит быструю самопроверку: "Поставьте в листе самооценки знак «+», если можете выполнить действие без помощи, и знак «?» — если нужна тренировка: назвать вид промежутка, выбрать скобки, изобразить луч, проверить принадлежность числа." | Заполняют лист самооценки, формулируют индивидуальное затруднение: «путаю полуинтервалы», «не уверен в записи луча». |
Эталон решения
(−5; 4): пустые точки −5 и 4, штриховка между ними. [−1; 6): закрашенная точка −1 и пустая точка 6, штриховка между ними. (2; +∞): пустая точка 2, штриховка вправо. Условие −3 < x ≤ 2 записывается как (−3; 2]. Условие x ≥ −1 записывается как [−1; +∞). В промежуток (−2; 3] входят −1, 0 и 3; число −4 не входит.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось обобщить его и ответить на начальный вопрос о допустимой температуре."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: связать новые обозначения с неравенствами, осознать результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к мотивационной задаче: "Температура должна быть выше −5 °C, но не выше 5 °C. Запишите условие неравенством и промежутком. Какая точка будет пустой, а какая закрашенной?" | Записывают −5 < t ≤ 5 и промежуток (−5; 5]. Объясняют: «−5 не входит, 5 входит». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На отдельном листке ответьте на три вопроса: что означает квадратная скобка; как записать x < 7; какой промежуток изображается пустой точкой в a и штриховкой вправо?" | Пишут ответы: «конец входит», «(−∞; 7)», «(a; +∞)». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень или добавьте повышающий и продвинутый. Запишите выбранный вариант. Перед уходом сформулируйте одним предложением, что сегодня стало понятнее." | Записывают домашнее задание, называют итог: «я научился связывать рисунок и запись промежутка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились описывать множество чисел тремя способами: словами, рисунком и обозначением. Главная проверка — понять, входят ли концы промежутка. На следующем уроке будем использовать числовые промежутки при решении неравенств и объединении промежутков."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, корректно изображены границы и штриховка, верно выбраны круглые и квадратные скобки, объяснение содержит связь между рисунком и записью.
- «4» — правильно выполнены не менее 80% заданий, допущена одна неточность в точке, скобке или обозначении, но общий алгоритм применён верно.
- «3» — правильно выполнена обязательная часть, но есть две-три ошибки в принадлежности концов или направлении штриховки; после подсказки ученик может исправить запись.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о круглых и квадратных скобках? | Выявление осознания правила принадлежности концов. |
Как определить обозначение промежутка по рисунку? | Проверка понимания алгоритма перехода от графической модели к символьной. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Сможете ли вы самостоятельно изобразить (−2; 5]? Что нужно проверить? | Оценка готовности применять знание в новой ситуации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать числовые промежутки и увидели, что одна маленькая скобка меняет смысл всей записи. Не забывайте сначала определить, входит ли конец промежутка, затем выбрать точку и только после этого поставить скобку. Если промежуток уходит к бесконечности, рядом с бесконечностью всегда ставится круглая скобка. На следующем уроке мы применим эти обозначения при решении неравенств и работе с объединениями промежутков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на изображение промежутков: (−3; 4), [−5; 0), (2; +∞), (−∞; 6]. Для каждого рисунка записать обозначение и указать, входят ли концы. | Закрепляет распознавание интервала, отрезка и лучей; при проверке смотреть на вид точек, скобки и направление штриховки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на перевод двойных неравенств и условий x > a, x ≤ b в числовые промежутки и обратно; привести по одному числу, принадлежащему каждому промежутку. | Формирует умение переходить между неравенством, записью и примером числа; проверять соответствие границ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных примера из жизненного контекста, где используются ограничения величины, и представить каждое ограничение числовым промежутком с рисунком на координатной прямой. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; оценивать корректность контекста, границ и обозначений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает круглая скобка? Когда используется квадратная скобка? Почему у бесконечности всегда круглая скобка? Как записать множество чисел, для которых −4 < x ≤ 2?»
