Применение свойств и графика логарифмической функции при решении уравнений и неравенств
Цели и задачи
- Цель урока: за 45 минут систематизировать и применить свойства логарифмической функции и её графическое представление для решения логарифмических уравнений и неравенств трёх уровней сложности с обязательной проверкой области допустимых значений и обоснованием выбранного метода.
- Закрепить свойства монотонности, области определения и множества значений логарифмической функции в зависимости от основания.
- Отработать алгоритмы решения уравнений и неравенств с использованием равносильных преобразований, перехода к новой переменной и графического метода.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, анализировать ошибки и аргументировать математическое решение.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и записи решения, показать связь логарифмов с физикой, информатикой и практическими моделями роста и затухания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение логарифмических моделей для дальнейшего обучения в естественно-научной, технической и экономической сферах.
- Проявляют готовность проверять полученный результат и признавать необходимость коррекции решения.
- Развивают учебную самостоятельность при выборе уровня сложности задания.
- Понимают ценность строгого математического обоснования вывода.
Метапредметные
- Выделяют существенные условия задачи, в том числе область допустимых значений логарифмического выражения.
- Сравнивают аналитический и графический способы решения, оценивают их эффективность.
- Планируют последовательность решения и выполняют самопроверку по эталону.
- Аргументированно представляют решение в паре и корректно анализируют ошибку одноклассника.
- Интерпретируют логарифмическую зависимость в контексте физической или информационной модели.
Предметные
- Знать свойства функции $y=\log_a x$: область определения, множество значений, монотонность и расположение графика при $a>1$ и $0<a<1$.
- Уметь решать логарифмические уравнения вида $\log_a f(x)=b$ и уравнения, сводящиеся к квадратным относительно логарифма.
- Уметь решать логарифмические неравенства с учётом направления знака при $a>1$ и $0<a<1$.
- Уметь использовать графики функций $y=\log_a f(x)$ и $y=g(x)$ для определения числа и расположения корней.
- Владеть алгоритмом записи ОДЗ, преобразования, отбора корней и формулировки ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке и выбирают посильный уровень задания.
- Осознают ответственность за точность математического рассуждения.
- Проявляют устойчивость при решении задания повышенной сложности.
- Связывают изучаемый материал с будущей профессиональной и учебной деятельностью.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения логарифмического уравнения или неравенства.
- Контролируют наличие ОДЗ на каждом необходимом этапе.
- Сверяют промежуточные преобразования с эталоном и исправляют ошибки.
- Оценивают достигнутый результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Систематизируют свойства логарифмической функции в таблице или схеме.
- Преобразуют выражения и выбирают замену переменной.
- Моделируют решение с помощью графика и координатной плоскости.
- Анализируют ложное решение, находят место нарушения равносильности.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при парной проверке решения.
- Формулируют вопросы к решению партнёра и дают аргументированный ответ.
- Используют математическую терминологию при защите выбранного способа.
- Согласуют общий вывод при обсуждении межпредметной задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с графиками $y=\log_2x$, $y=\log_{1/2}x$ и таблицей свойств логарифмической функции.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, с маркировкой «минимум», «базовый», «повышенный».
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для парного приёма «Найди ошибку» — по одной на парту.
- Подготовить лист самопроверки с алгоритмом: ОДЗ, преобразование, решение, проверка, ответ.
- Подготовить для межпредметной задачи таблицу данных о децибелах и интенсивности звука — по одной на группу.
- Вывести на доску ключевую памятку: при $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ знак меняется.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при возможности подготовить динамические графики в графическом приложении.
- Заранее определить пары для взаимопроверки и подготовить эталоны решений для трёх уровней.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, обозначить практическую ценность выбора способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не вводим новое определение, а проверяем, насколько уверенно умеем использовать уже известные свойства логарифмической функции. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. На доске вы видите два графика: один возрастает, другой убывает. Вспомните, от чего зависит это различие." | Записывают дату и тему, рассматривают графики, формулируют ответ: "От значения основания логарифма". |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Решите неравенство $\log_{1/3}(x-1)\geq -2$. Какой шаг нельзя пропустить? Почему один и тот же алгоритм нельзя механически применять к любому основанию?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Называют необходимость записать ОДЗ и учесть убывание функции; формулируют: "При основании от 0 до 1 знак неравенства изменится". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем не просто получать ответы, а выбирать обоснованный способ решения. Начнём с проверки тех свойств, без которых решение логарифмических задач становится формальным и ненадёжным."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Шпаргалка-напоминание» (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства логарифмической функции и алгоритм решения логарифмических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску незаполненную таблицу: "Заполните пропуски в памятке. Укажите область определения, множество значений, точку пересечения с осью и направление монотонности для $y=\log_a x$. Работайте сначала индивидуально, затем сравните ответы в паре." | Заполняют таблицу, обсуждают в парах: "Область определения — $x>0$, множество значений — все действительные числа, график проходит через $(1;0)$"; дополняют: "При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ убывает". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какие условия входят в ОДЗ выражения $\log_a f(x)$? Когда можно применить равенство логарифмов? Что происходит со знаком неравенства при переходе от логарифмов к аргументам?" После ответов открывает эталон-памятку. | Отвечают: "$a>0$, $a\ne1$, $f(x)>0$"; "основания должны быть одинаковыми и допустимыми"; "при основании меньше единицы знак меняется". Сверяют записи с эталоном, исправляют неточности. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: $\log_a f(x)$ существует при $a>0$, $a\ne1$, $f(x)>0$; при $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ функция убывает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили свойства функции и условия допустимости. Теперь определим, какой способ — преобразование, замена или график — будет наиболее рациональным в каждой задаче."
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: сформулировать общий алгоритм выбора метода и критерии качественного решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Составьте план решения для трёх случаев: простое уравнение, уравнение с квадратом логарифма, неравенство. У вас 30 секунд на самостоятельную запись и одна минута на обсуждение." | Индивидуально записывают шаги, затем в парах объединяют варианты и предлагают классу общий алгоритм. |
2 мин | Учитель уточняет: "Какие критерии покажут, что решение полное? Как мы проверим, что посторонний корень не попал в ответ?" На доске фиксирует план: ОДЗ — преобразование — решение — отбор — ответ. | Называют критерии: наличие ОДЗ, равносильность преобразований, проверка корней, запись промежутков для неравенства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас есть единый алгоритм и критерии проверки. Переходим к заданиям: сначала разберём образец вместе, затем вы выберете уровень самостоятельной работы."
Этап 4. Первичное закрепление у доски (8 мин)
Цель этапа: применить свойства логарифмической функции при решении уравнения и неравенства с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: "Решим уравнение $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$. Сначала назовите ОДЗ, затем объясните, какое свойство логарифма применяем. Не называйте только ответ — проговаривайте причину каждого перехода." | Ученик у доски записывает ОДЗ: $x>1$, объединяет логарифмы: $\log_2((x-1)(x+1))=3$, получает $x^2-1=8$, откуда $x=3$ или $x=-3$, отбрасывает $-3$ по ОДЗ. Класс проверяет запись. |
4 мин | Учитель предлагает неравенство: "Решим $\log_{1/2}(x-2)>-1$. Как изменится знак? Объясните, почему." После решения просит сравнить ответ с графиком убывающей функции. | Решают: $x-2<\left(\frac12\right)^{-1}=2$ при условии $x>2$; получают $2<x<4$. Объясняют смену знака и отмечают промежуток на числовой прямой. |
Эталон решения
Для уравнения: $x-1>0$, $x+1>0$, следовательно, $x>1$. Тогда $\log_2((x-1)(x+1))=3$, поэтому $(x-1)(x+1)=8$, $x^2=9$, $x=\pm3$. По ОДЗ подходит только $x=3$. Ответ: $3$. Для неравенства: $x-2>0$, то есть $x>2$. Так как $0<\frac12<1$, функция убывает, поэтому $x-2<2$. С учётом ОДЗ: $2<x<4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В обоих заданиях ответ определился не одной формулой, а последовательностью: ОДЗ, свойство функции, решение и отбор. Теперь каждый применит этот алгоритм самостоятельно, выбрав уровень сложности."
Этап 5. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: закрепить умение решать логарифмические уравнения и неравенства на выбранном уровне сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит вам работать продуктивно. Минимум — обязательный для всех, базовый — основной, повышенный — для тех, кто готов исследовать более сложный случай. В каждом решении записывайте ОДЗ и ответ." | Получают карточку, выбирают уровень и записывают номер варианта. |
6 мин | Учитель консультирует, задаёт уточняющие вопросы: "Какое основание у логарифма? Возрастает или убывает функция? Какое условие определяет ОДЗ? Можно ли здесь применить замену?" Не сообщает готовый ответ. | Решают задания индивидуально. Минимальный уровень: $\log_3(x+2)=2$ и $\log_{1/4}(x-1)\leq -1$. Базовый уровень: $\log_2^2x-3\log_2x+2=0$ и $\log_{1/3}(x+1)>-2$. Повышенный уровень: $\log_2(x^2-5x+6)\leq1$. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон и организует самопроверку: "Проверьте не только совпадение ответа. Отметьте галочкой наличие ОДЗ, правильность преобразований и запись ответа. Если нашли ошибку, рядом кратко укажите её причину." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, выставляют себе предварительный результат по критериям. |
Эталон решения
Минимум: $\log_3(x+2)=2$, поэтому $x+2=9$, $x=7$. Для второго задания ОДЗ: $x>1$; поскольку основание меньше единицы, $x-1\geq4$, значит $x\geq5$. Базовый уровень: замена $t=\log_2x$, $t^2-3t+2=0$, откуда $t=1$ или $t=2$, поэтому $x=2$ или $x=4$. Для неравенства $x+1<9$ при $x>-1$, следовательно, $-1<x<8$. Повышенный уровень: ОДЗ $x^2-5x+6>0$, то есть $x<2$ или $x>3$. Так как основание $2>1$, получаем $x^2-5x+6\leq2$, или $x^2-5x+4\leq0$, откуда $1\leq x\leq4$. Пересечение с ОДЗ: $[1;2)\cup(3;4]$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что уровень сложности меняет не основной алгоритм, а количество преобразований и необходимость анализа. Следующий шаг — проверить, как логарифмическая модель работает за пределами чистой алгебры."
Этап 6. Межпредметная задача и графическая интерпретация (7 мин)
Цель этапа: применить логарифмическую зависимость к физическому контексту и сопоставить аналитическое решение с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам таблицу: уровень звука определяется формулой $L=10\log_{10}(I/I_0)$, где $I_0$ — порог слышимости. Учитель задаёт вопрос: "Во сколько раз должна измениться интенсивность, чтобы уровень звука увеличился на 20 дБ? Запишите уравнение и объясните, почему ответ не равен 20." | В группах составляют: $L_2-L_1=10\log_{10}(I_2/I_1)=20$, откуда $\log_{10}(I_2/I_1)=2$ и $I_2/I_1=100$. Формулируют вывод: "Интенсивность увеличилась в 100 раз". |
2 мин | Учитель показывает графики $y=\log_{10}x$ и прямой, соответствующей заданному уровню: "Как график помогает понять монотонность зависимости? Где будет находиться точка, соответствующая увеличению интенсивности в 100 раз?" | Находят на графике соответствующую пару значений, объясняют возрастание логарифмической зависимости и отмечают, что одинаковые прибавки уровня требуют кратного изменения интенсивности. |
2 мин | Учитель просит представить краткий вывод группы: "Свяжите математическое свойство логарифма с физическим смыслом шкалы децибел. Одна группа сообщает, остальные дополняют." | Представляют выводы: "Логарифм переводит кратное изменение интенсивности в прибавку уровня; поэтому шкала децибел удобна для широкого диапазона значений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Логарифмическая функция описывает не только учебные примеры. Она позволяет компактно представить огромный диапазон физических величин. Завершим урок проверкой того, что именно стало понятнее и где ещё требуется работа."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: оценить степень освоения алгоритма, зафиксировать затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если уверенно выполняете ОДЗ и решаете простые задачи; жёлтый — если требуется тренировка; красный — если пока нужна помощь. На обороте напишите один шаг алгоритма, который сегодня стал для вас самым важным." | Показывают стикер, записывают личный вывод: например, "сначала ОДЗ" или "при основании меньше единицы знак меняется". |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Ответьте письменно: почему решение $\log_{1/2}f(x)>b\Rightarrow f(x)>2^b$ ошибочно? Запишите правильное направление и условие." | Пишут: "При основании от 0 до 1 функция убывает, поэтому $\log_{1/2}f(x)>b$ означает $0<f(x)<(1/2)^b$". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самостоятельной работы. Во всех заданиях обязательны ОДЗ, обоснование преобразований и проверка ответа." | Записывают выбранный уровень и уточняющие вопросы, фиксируют срок выполнения. |
Завершающий этап: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили не отдельные формулы, а способ математического рассуждения: определить допустимые значения, исследовать свойства функции, выбрать метод и проверить результат. По итогам светофора вы видите, какой шаг требует внимания. На следующем уроке мы продолжим исследовать более сложные смешанные уравнения и обсудим, когда графический метод оказывается быстрее аналитического."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, в каждом решении записана ОДЗ, преобразования обоснованы, ответ дан в требуемой форме; для повышенного задания правильно выполнено пересечение промежутков.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна неточность в оформлении, вычислении или записи ОДЗ, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — решены простые задания и продемонстрировано понимание зависимости результата от основания, однако допущены ошибки в одном сложном преобразовании или при отборе корней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения логарифмической задачи вы теперь выполняете автоматически? | Выявление осознанности и устойчивости алгоритма. |
В каком месте самостоятельного задания возникло затруднение: ОДЗ, преобразование, знак неравенства или отбор корней? | Диагностика конкретной точки затруднения. |
Почему график $y=\log_a x$ меняет направление при переходе от $a>1$ к $0<a<1$? | Проверка понимания связи свойства функции и преобразований. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка самоопределения и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили применение свойств и графика логарифмической функции к уравнениям и неравенствам. Самая распространённая ошибка — начинать преобразования, не записав ОДЗ, или забывать о смене знака при основании от 0 до 1. Вы научились проверять не только ответ, но и путь его получения. Дома выберите уровень, который соответствует вашей сегодняшней работе. На следующем уроке мы применим эти умения к более сложным комбинированным задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 логарифмических уравнения и неравенства: два простых с разными основаниями, одно с суммой логарифмов и одно неравенство с основанием от 0 до 1. В каждом задании записать ОДЗ и выполнить проверку. | Закрепляет базовый алгоритм, свойства монотонности и смену знака; при проверке обратить внимание на ОДЗ и интервальный ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: два уравнения квадратного типа относительно логарифма, одно неравенство с разложением на множители и одну задачу на сравнение двух графиков. Для одного задания дать альтернативное графическое объяснение. | Развивает замену переменной, анализ знаков и выбор рационального метода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, содержащую логарифмическую модель из физики, информатики или экономики, а также решить 2 сложных смешанных логарифмических неравенства с подробным обоснованием области допустимых значений. | Формирует исследовательские и межпредметные умения; при проверке оценить корректность модели, полноту обоснования и качество графической интерпретации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие условия входят в ОДЗ логарифма? Как меняется направление неравенства при основании $0<a<1$? Зачем проверять корни после преобразований? В каком случае графический метод может быть рациональнее аналитического?»
