Понятие первообразной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать первообразную функции, проверять её дифференцированием и находить простейшие первообразные для степенных функций, используя исследовательский алгоритм.
- Сформировать понятие первообразной функции и установить связь между первообразной и производной.
- Научиться проверять результат подстановкой производной и объяснять, почему первообразных одной функции существует бесконечно много.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, анализировать таблицу производных и аргументировать выводы в проблемном диалоге.
- Воспитывать ответственность за математическое рассуждение, готовность к самостоятельной проверке результата и осознанную учебную мотивацию.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявлять интерес к исследованию связи между производной и первообразной.
- Осознавать значение самопроверки и доказательного рассуждения при решении математических задач.
- Связывать изучение первообразной с дальнейшим изучением интеграла и применением математики в профильном обучении.
- Принимать ответственность за точность записи и обоснованность собственного вывода.
Метапредметные
- Выдвигать и проверять гипотезу на основе таблицы производных.
- Извлекать информацию из формул, структурировать её и преобразовывать в алгоритм.
- Планировать решение, осуществлять самоконтроль дифференцированием и корректировать ошибку.
- Аргументированно участвовать в проблемном диалоге и формулировать общий вывод группы.
Предметные
- Знать определение первообразной функции на промежутке.
- Уметь проверять, является ли заданная функция первообразной для другой функции.
- Понимать, что две первообразные одной функции отличаются постоянной.
- Уметь находить простейшие первообразные функций вида $x^n$, где $n\ne-1$, и проверять результат дифференцированием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения обратной операции к дифференцированию.
- Проявляют познавательную инициативу при выдвижении математической гипотезы.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
- Соблюдают интеллектуальную честность при проверке решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и план её достижения.
- Сравнивают предполагаемый результат с эталоном через дифференцирование.
- Обнаруживают и исправляют отсутствие постоянной в ответе.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Анализируют таблицу производных и устанавливают обратную зависимость.
- Строят математическую модель связи $F'(x)=f(x)$.
- Классифицируют функции по виду и выбирают соответствующий способ поиска первообразной.
- Формулируют доказательный вывод о виде всех первообразных.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в исследовательской паре или группе.
- Формулируют вопросы и аргументируют ответ математическими преобразованиями.
- Сопоставляют разные гипотезы без подмены доказательства мнением.
- Представляют общий вывод группы и корректно реагируют на замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицей производных $x^n$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ и проблемным вопросом: «Как восстановить функцию по её производной?»
- Распечатать исследовательские карточки двух уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить лист самооценки и рефлексивные стикеры — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки с функциями $2x$, $3x^2$, $\cos x$, $1/x$ и предполагаемыми первообразными.
- Вывести на доску памятку проверки: «Продифференцируй ответ; сравни с исходной функцией; добавь произвольную постоянную».
- Подготовить маркеры, таймер, магниты и чистые листы для представления групповых гипотез.
- Организовать на доске три зоны: «Гипотеза», «Проверка», «Вывод».
- Подготовить проектор или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать заранее записанные формулы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать формулу, а исследовать математическую операцию, обратную дифференцированию. Проверьте, готовы ли тетради, ручки и исследовательские карточки. На доске оставьте место для гипотез и доказательств." | Готовят тетради и карточки, записывают дату, настраиваются на исследовательскую работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске равенство $F'(x)=2x$ и задаёт проблемный вопрос: "Производную функции найти можно. А можно ли, зная производную $2x$, восстановить саму функцию? Предложите несколько вариантов и не бойтесь ошибиться: сейчас нам важно увидеть способ проверки." | Индивидуально предлагают варианты $x^2$, $x^2+1$, $x^2-5$, обсуждают их с соседом и формулируют гипотезу: «подойдут функции, производная которых равна $2x$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели обратную задачу к дифференцированию. Теперь проверим ваши гипотезы и выясним, как назвать все функции, производная которых совпадает с данной."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать таблицу производных и подготовить основу для самостоятельного открытия определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математическое лото»: "На экране записаны функции $x^2$, $x^3$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$. Назовите их производные и объясните, какое действие мы выполняем с исходной функцией." | Называют: $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(e^x)'=e^x$; формулируют: «находим производную». |
3 мин | Учитель раздаёт карточки с парами функций и спрашивает: "Отметьте пары, в которых вторая функция является производной первой. Затем переверните направление вопроса: какая функция могла быть исходной, если производная равна $3x^2$?" | Проверяют пары, исправляют неверные соответствия, отвечают: «исходной могла быть $x^3$; также $x^3+C$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Таблица производных позволяет двигаться в обратную сторону. Но нам нужно точное определение и объяснение постоянной добавки, поэтому переходим к проблемному исследованию."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план исследовательских действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $x^2$, $x^2+7$, $x^2-\pi$ и спрашивает: "Что общего у этих функций? Почему их графики различны, но производные совпадают? Какое понятие нам необходимо ввести, чтобы описать эту ситуацию?" | Сравнивают функции, находят общность: «у всех производная $2x$», объясняют, что постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании. |
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: "Сформулируйте цель урока. План может быть таким: исследовать примеры, дать определение, установить вид всех первообразных, научиться находить и проверять их. Согласны ли вы? Что добавим в план?" | Формулируют цель: «научиться находить первообразные и проверять их производной»; принимают план и дополняют пунктом «не забывать произвольную постоянную». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно описать функцию, производная которой равна заданной. Сейчас вы сами исследуете примеры и выведете определение."
Этап 4. Исследовательское открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: через исследование установить определение первообразной и общий вид всех первообразных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель делит класс на группы и раздаёт карточки: "Для каждой функции найдите несколько функций, производная которых совпадает с исходной. Исследуйте пары $2x$ и $x^2$, $3x^2$ и $x^3$, $\cos x$ и $\sin x$. Запишите не менее трёх вариантов и сформулируйте наблюдение." | В группах находят $x^2$, $x^2+4$, $x^2-10$; $x^3$, $x^3+1$, $x^3-8$; $\sin x$, $\sin x+5$, $\sin x-2$. Проверяют варианты дифференцированием. |
3 мин | Учитель организует представление: "Представьте один пример и объясните, почему все ваши варианты подходят. Какую роль играет постоянное число? Запишем вашу гипотезу в зоне «Гипотеза»." | Представляют результаты, отвечают: «производная постоянной равна нулю, поэтому постоянное число не меняет производную». |
3 мин | Учитель подводит к определению: "Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется $F'(x)=f(x)$. Посмотрите на формулу: первообразная — это функция, производная которой равна заданной функции. Запишите определение и общий вывод." | Записывают определение, формулу $F'(x)=f(x)$ и вывод: если $F$ — первообразная $f$, то $F(x)+C$ также первообразная, где $C$ — произвольная постоянная. |
Запись в тетрадях
Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке, если $F'(x)=f(x)$. Все первообразные одной функции имеют вид $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не получили определение готовым сообщением — вывели его из примеров. Теперь проверим новое понятие на конкретных функциях и научимся быстро отличать верный ответ от неверного."
Этап 5. Первичное закрепление. Проверка гипотез (7 мин)
Цель этапа: отработать распознавание первообразной и закрепить алгоритм проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задания на доске: "Для функции $f(x)=6x$ проверьте варианты $F_1(x)=3x^2$, $F_2(x)=3x^2+8$, $F_3(x)=6x^2$. Для каждого варианта сначала предположите ответ, затем обязательно найдите производную." | Вычисляют производные: $F_1'(x)=6x$, $F_2'(x)=6x$, $F_3'(x)=12x$; делают вывод: первые два варианта являются первообразными. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Является ли $F(x)=\cos x$ первообразной для $f(x)=\sin x$? А для $f(x)=-\sin x$? Обоснуйте ответ одной строкой." | Отвечают: «для $\sin x$ — нет, так как $(\cos x)'=-\sin x$; для $-\sin x$ — да». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает вашу уверенность: зелёный — определение применяю самостоятельно, жёлтый — нужна проверка по алгоритму, красный — требуется объяснение." | Показывают карточки, формулируют личный вопрос или называют шаг алгоритма, который вызывает затруднение. |
Эталон решения
Для $f(x)=6x$: $F_1(x)=3x^2$, поскольку $F_1'(x)=(3x^2)'=6x$; $F_2(x)=3x^2+8$, поскольку $F_2'(x)=6x+0=6x$; $F_3(x)=6x^2$, поскольку $F_3'(x)=12x\ne6x$. Следовательно, первообразными являются $3x^2$ и $3x^2+8$, то есть общий вид: $F(x)=3x^2+C$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главный инструмент проверки — производная, а постоянная не должна исчезать из общего ответа. Теперь каждый самостоятельно применит алгоритм к новым функциям."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения и умение находить простейшие первообразные.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание: найдите общий вид первообразной для $f(x)=4x^3$, $f(x)=5$, $f(x)=\cos x$. Затем выберите одно повышенное задание: проверьте, является ли $F(x)=x^4-6$ первообразной для $4x^3$, и найдите все первообразные функции $-\sin x$. Работайте индивидуально, время — шесть минут." | Решают индивидуально: $F(x)=x^4+C$, $F(x)=5x+C$, $F(x)=\sin x+C$; проверяют производной и записывают вывод. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и ход проверки. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Отметьте в листе самооценки: «определяю», «нахожу», «проверяю»." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют три пункта листа самооценки и подсчитывают верно выполненные задания. |
Эталон решения
$\int$ как обозначение пока не вводится: для $f(x)=4x^3$ подбираем функцию $x^4$, так как $(x^4)'=4x^3$, поэтому $F(x)=x^4+C$. Для $f(x)=5$ используем $(5x)'=5$, поэтому $F(x)=5x+C$. Для $f(x)=\cos x$ используем $(\sin x)'=\cos x$, поэтому $F(x)=\sin x+C$. Для $f(x)=-\sin x$ получаем $F(x)=\cos x+C$, поскольку $(\cos x)'=-\sin x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять к нескольким видам функций. Осталось осмыслить, что именно мы открыли, где возникли трудности и почему постоянная $C$ обязательна."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и определить следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Заполните на стикере три фразы: «Сегодня я понял…», «Теперь я умею…», «Мне нужно повторить…». Затем ответьте на контрольный вопрос: почему $x^2$, $x^2+3$ и $x^2-100$ являются первообразными одной функции?" | Заполняют стикеры, отвечают: «производные всех функций равны $2x$, потому что производная постоянной равна нулю»; прикрепляют стикеры в зоны «Понял», «Нужно уточнить». |
2 мин | Учитель подводит итог и задаёт домашнюю работу: "Сегодня мы определили первообразную как обратное направление к дифференцированию. Дома закрепите алгоритм и обязательно проверяйте ответы производной. На следующем уроке начнём систематизировать таблицу первообразных и подойдём к понятию неопределённого интеграла." | Записывают домашнее задание, формулируют личный следующий шаг и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены все три обязательные первообразные, выполнена проверка дифференцированием, в общем виде присутствует $C$, повышенное задание обосновано.
- «4» — верно выполнены три обязательных задания, но допущена одна неточность в проверке или объяснении постоянной $C$.
- «3» — верно выполнены два обязательных задания либо найден результат без полной проверки; определение первообразной воспроизведено с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи первообразной и производной? | Проверка осознания ключевого определения. |
Как вы проверяете, что функция является первообразной? | Выявление освоения алгоритма самоконтроля. |
Почему в общем виде появляется постоянная $C$? | Проверка понимания роли постоянной при дифференцировании. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли понятие первообразной через исследование, а не через готовое правило. Вы установили, что первообразная функции $f(x)$ — это функция $F(x)$, для которой $F'(x)=f(x)$, и объяснили появление постоянной $C$. Типичная ошибка — записать одну функцию и забыть, что все первообразные отличаются постоянным слагаемым. На следующем уроке мы расширим таблицу первообразных и свяжем её с неопределённым интегралом.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение общего вида первообразной для постоянной функции, линейной функции, функции вида $x^n$ и одной тригонометрической функции; каждый ответ проверить дифференцированием. | Закрепить определение и алгоритм обратного действия; при проверке смотреть на правильность производной и наличие $C$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на распознавание первообразной из нескольких вариантов и обосновать выбор производной; отдельно объяснить, почему два ответа отличаются постоянной. | Развить умение анализировать варианты и аргументировать решение, а не только воспроизводить формулу. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару функций, имеющих одну и ту же производную, и доказать это; затем придумать пример функции, для которой предложенная первообразная неверна. | Развить исследовательское и критическое мышление; при проверке смотреть на корректность доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется первообразной функции? Как проверить предложенный ответ? Почему к первообразной можно прибавить любое число? Какую первообразную имеет функция $\cos x$?»
