Функция $y=\sin x$ и её свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут по графику и формуле функции $y=\sin x$ определять область определения и множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения, а также обосновывать периодичность и нечётность функции.
- Сформировать представление о графике функции $y=\sin x$ как о результате исследования ключевых свойств и опорных значений функции.
- Научить применять свойства синуса при решении исследовательских и практических заданий, связанных с графиком и периодичностью.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по таблице значений и графику, аргументировать выводы в парной работе.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому доказательству, самостоятельность и готовность использовать цифровые инструменты для исследования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение функциональной грамотности и тригонометрических моделей для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию закономерностей, а не только к запоминанию формул.
- Оценивать собственный вклад в парную работу и корректно воспринимать аргументы одноклассников.
- Понимать ценность точного обоснования вывода по графику и аналитической записи.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставлять разные способы представления функции.
- Формулировать гипотезу о свойствах синуса и проверять её на выбранных значениях аргумента.
- Планировать исследование, распределять время, осуществлять самопроверку по критериям.
- Аргументированно представлять результат парной работы и задавать уточняющие вопросы.
Предметные
- Знать область определения и множество значений функции $y=\sin x$, её периодичность и нечётность.
- Уметь строить график синусоиды по ключевым точкам на отрезке $[0;2\pi]$ и переносить его на всю числовую прямую.
- Уметь находить нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания.
- Уметь определять наибольшее и наименьшее значения функции и использовать периодичность при анализе графика.
- Владеть математической речью для записи и объяснения свойств функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться исследовать функцию по формуле и графику.
- Осознают связь точности математического рассуждения с успешностью дальнейшего обучения.
- Проявляют готовность принимать интеллектуальное затруднение как этап поиска решения.
- Оценивают, какие способы работы помогают им лучше понимать абстрактный материал.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования свойств функции и составляют последовательность действий.
- Распределяют время между построением графика, анализом и проверкой результата.
- Сверяют выводы с эталоном и исправляют неточности в знаках, интервалах и обозначениях.
- Осуществляют самооценку достижения цели по листу критериев.
Познавательные УУД
- Строят таблицу значений для ключевых аргументов и преобразуют её в графическую модель.
- Выделяют существенные признаки синусоиды и устанавливают причинно-следственные связи между свойствами.
- Сравнивают значения $\sin(-x)$ и $\sin x$, формулируя признак нечётной функции.
- Используют периодичность для переноса результатов с одного периода на всю область определения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один строит и проверяет график, другой формулирует свойства.
- Объясняют ход рассуждения, используя математические термины и обозначения.
- Задают вопросы к аргументам партнёра и корректно предлагают исправления.
- Представляют общий вывод пары и сопоставляют его с результатами других пар.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный график функции $y=\sin x$ на промежутке от $-2\pi$ до $2\pi$ с отмеченными точками.
- Распечатать для каждого ученика лист исследования с таблицей: область определения, значения, нули, знак, монотонность, экстремумы, периодичность, чётность.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар.
- Подготовить эталон графика с координатной сеткой и ключевыми точками $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.
- Записать на доске тему, проблемный вопрос «Как по нескольким точкам восстановить свойства функции на всей числовой прямой?» и формулы $\sin(x+2\pi)=\sin x$, $\sin(-x)=-\sin x$.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и таймер на 3–5 минут.
- Разложить на парты карточки с координатными осями и листы самооценки.
- Подготовить слайд с критериями построения графика: масштаб, ключевые точки, плавность, периодичность, подписи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто вспоминать значения синуса, а исследовать функцию как математический объект. На экране вы видите волну, похожую на график синуса. Где в реальной жизни могут встречаться периодические процессы?" | Рассматривают изображение, называют варианты: "колебания, звук, переменный ток, движение маятника". |
2 мин | Учитель показывает график на экране и продолжает: "Представьте, что вам дали только формулу $y=\sin x$. Как доказать, где график расположен, какие значения принимает и как повторяется? Сегодня вы сами построите систему свойств, а затем проверите её на заданиях. Запишите тему урока и сформулируйте личную цель." | Записывают тему, формулируют цель: "научиться строить график и исследовать свойства функции $y=\sin x$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что синус описывает повторяющиеся процессы. Теперь проверим, какие знания о тригонометрии помогут нам построить график без случайного угадывания."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные значения синуса и подготовить таблицу для построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует устную разминку: "Заполните пропуски без калькулятора: $\sin 0$, $\sin\frac{\pi}{2}$, $\sin\pi$, $\sin\frac{3\pi}{2}$, $\sin 2\pi$. Объясните, почему знаки на третьей и четвёртой четвертях различаются." | Записывают значения: $0$, $1$, $0$, $-1$, $0$; объясняют знаки по единичной окружности. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно назовите ещё два аргумента, для которых синус равен нулю. Затем сравните ответы с соседом и сформулируйте закономерность." | Самостоятельно записывают $x=\pi$ и $x=2\pi$, в парах обсуждают и отвечают: "Нули повторяются через $\pi$, но полный графический цикл повторяется через $2\pi$". |
2 мин | Учитель выводит на экран единичную окружность: "По окружности определите, какие значения может принимать синус. Может ли он быть больше единицы или меньше минус единицы?" | Отвечают: "Нет, $-1\leq\sin x\leq1$"; фиксируют неравенство в листе исследования. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили ключевые значения и границы синуса. Но пока это отдельные факты. Давайте определим, как превратить их в целостный график и систему свойств."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и совместно спроектировать исследование функции.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две неполные схемы графика: на первой отмечены точки одного периода, на второй — только формула. "Можно ли, имея пять точек, обоснованно продолжить график на всю числовую прямую? Какие свойства для этого нужно установить?" | Формулируют затруднение: "Нужно доказать периодичность, определить знак и монотонность, а также понять симметрию графика". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план исследования: "Предлагаю проверить область определения и значения, нули, знак, монотонность, экстремумы, периодичность и чётность. Согласны ли вы с таким порядком? Что добавили бы?" | Соглашаются, уточняют порядок действий и записывают план исследования в листе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена, план исследования составлен. Теперь основную работу выполните вы: по таблице и графику откройте свойства функции, а я помогу проверить обоснования."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование графика (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно построить один период синусоиды и вывести основные свойства функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт листы с координатными осями: "Работайте в парах. Отметьте точки для аргументов $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Соедините их плавной линией. Следите за масштабом по обеим осям: график должен быть волнообразным, а не ломаной." | В парах строят точки $(0;0)$, $(\frac{\pi}{2};1)$, $(\pi;0)$, $(\frac{3\pi}{2};-1)$, $(2\pi;0)$, проводят плавную кривую и проверяют подписи осей. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы по построенному периоду: "На каком промежутке функция возрастает? На каком убывает? Где достигает максимума и минимума? Не ограничивается ли график только отрезком $[0;2\pi]$?" | Отвечают: "Возрастает на $[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k]$, убывает на $[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k]$. Максимум равен $1$, минимум $-1$; график продолжается в обе стороны". |
3 мин | Учитель выделяет период: "Сравните значения в точках $x$ и $x+2\pi$. Посмотрите на график. Какое равенство позволяет перенести построенный фрагмент? Запишите его." | Формулируют и записывают: $\sin(x+2\pi)=\sin x$; делают вывод, что $2\pi$ — период функции. |
2 мин | Учитель предлагает проверить симметрию: "Сравните точки с абсциссами $x$ и $-x$. Например, сравните $\sin\frac{\pi}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{2})$. Какая симметрия у графика?" | Сравнивают значения, отвечают: "$\sin(-x)=-\sin x$, поэтому функция нечётная, а график симметричен относительно начала координат." |
Запись в тетрадях
- $D(\sin x)=\mathbb{R}$; $E(\sin x)=[-1;1]$.
- Функция нечётная: $\sin(-x)=-\sin x$.
- Основной период: $T=2\pi$, то есть $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
- Нули: $x=\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
- Максимум $1$ достигается при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, минимум $-1$ — при $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы построили один период и доказали, почему его можно повторять. Теперь проверим свойства на конкретных утверждениях и научимся быстро находить информацию по графику."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить выведенные свойства в заданиях с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Для функции $y=\sin x$ определите область определения, множество значений и значение функции при $x=\frac{3\pi}{2}$. Обязательно проговорите, какое свойство используете." | В парах записывают: $D=\mathbb R$, $E=[-1;1]$, $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$; объясняют выбор. |
3 мин | Учитель предлагает второе задание: "Найдите все нули функции на отрезке $[-2\pi;2\pi]$ и определите промежутки, где синус положителен. Работайте по графику и проверьте ответ по формуле." | Находят нули $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$; указывают положительность на $(-2\pi;-? )$. |
2 мин | Учитель корректирует запись: "Проверьте границы интервалов. В точках нулей функция не является ни положительной, ни отрицательной. Сравните решения с другой парой и поставьте вопрос к одному отличающемуся ответу." | Исправляют интервалы, формулируют: $\sin x>0$ на $(-2\pi;-? )$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "При записи промежутков важно не включать нули функции в интервалы знакопостоянства. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет исследовать синус без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание свойств функции и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания: "Выполните три пункта. 1) Укажите промежутки возрастания и убывания на отрезке $[-2\pi;2\pi]$. 2) Найдите наибольшее значение функции $y=\sin x$ и все точки его достижения на этом отрезке. 3) Объясните, почему $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}$. Работайте самостоятельно." | Решают письменно: используют график и формулы, записывают интервалы и координаты точек максимума, дают объяснение через нечётность. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте решения по пунктам. За каждый правильный пункт поставьте один знак в листе самооценки. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где нарушен алгоритм, и исправьте рядом." | Проверяют: возрастание на $[-\frac{3\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k]$, убывание на $[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k]$ в рассматриваемом отрезке; максимум $1$ при $x=-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}$; записывают коррекцию. |
Эталон решения
Для $y=\sin x$ функция возрастает на $[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k]$ и убывает на $[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k]$. На $[-2\pi;2\pi]$ максимум $1$ достигается при $x=-\frac{3\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$. Так как функция нечётная, $\sin(-x)=-\sin x$, поэтому $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основные свойства уже можно применять без графического шаблона. Осталось связать их в единую систему и проверить, можете ли вы объяснить назначение каждого свойства."
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить свойства функции, соотнести их с исследовательским планом и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Снежный ком»: "Сначала каждый назовите одно свойство синуса. Затем объединитесь в пары и выберите два наиболее важных вывода. Пара назовёт их классу, не повторяя уже сказанное." | Индивидуально вспоминают свойства, в парах составляют краткий список, называют: область определения, значения, нули, знак, монотонность, экстремумы, периодичность, нечётность. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы рефлексии: "Какая точка графика является опорной для максимума? Почему нельзя назвать $\pi$ периодом функции? Какое свойство помогает построить левую часть графика по правой? Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все три ответа; жёлтую — если нужна тренировка." | Отвечают: "$\frac{\pi}{2}$; период должен сохранять все значения, а $\sin(x+\pi)=-\sin x$; нечётность". Показывают карточки, фиксируют личную трудность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не получили свойства готовым списком, а вывели их из таблицы, единичной окружности и графика. Теперь запишите домашнее задание и контрольный вопрос, который поможет проверить понимание темы дома."
Этап 8. Домашнее задание и итоговая рефлексия (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать индивидуальный результат и объяснить направления дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает задание и говорит: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Перед выходом ответьте письменно на вопрос: какое свойство синуса позволяет восстановить весь график по одному периоду и как оно записывается?" | Записывают домашнее задание, формулируют контрольный ответ: "$\sin(x+2\pi)=\sin x$, поэтому график повторяется через $2\pi$". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно построен график на одном периоде, указаны все основные свойства функции, без ошибок найдены нули, экстремумы и промежутки монотонности, выводы аргументированы.
- «4» — график построен правильно, указано не менее шести свойств, допущена одна неточность в записи интервала или общей формулы, исправленная при проверке.
- «3» — построены ключевые точки и названы область определения и множество значений, но допущены две-три ошибки в периодичности, знакопостоянстве или монотонности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство функции $y=\sin x$ вы сегодня вывели самостоятельно? | Выявление осознания нового знания и степени самостоятельности открытия. |
Почему для построения всей синусоиды достаточно знать один период? | Проверка понимания периодичности как ключевого свойства. |
На каком шаге исследования возникло затруднение: таблица, график, интервалы или формулы? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции. |
Какое задание вы сможете решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка достижения цели и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы исследовали функцию $y=\sin x$ и увидели, как из нескольких опорных значений получается график на всей числовой прямой. Особенно важно не путать период $2\pi$ с расстоянием между соседними нулями $\pi$: это разные характеристики функции. Если при записи промежутков вы сомневаетесь, возвращайтесь к единичной окружности и графику. На следующем уроке мы будем применять свойства тригонометрических функций к преобразованиям графиков и решению задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить график $y=\sin x$ на отрезке $[-2\pi;2\pi]$ по ключевым точкам и письменно выписать область определения, множество значений, период, нули и точки экстремума. | Закрепляет построение синусоиды и базовый алгоритм исследования; при проверке смотреть на масштаб, подписи и корректность интервалов. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на чтение графика функции $y=\sin x$: найти значения в заданных точках, промежутки знакопостоянства и монотонности, точки максимума и минимума на указанном отрезке. | Формирует умение применять свойства в различных формулировках; при проверке учитывать обоснование ответа и границы интервалов. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, как изменится график при замене функции на $y=\sin(x-\frac{\pi}{3})$ или $y=2\sin x$: определить область определения, множество значений, период и описать преобразование графика. | Развивает исследовательское мышление и готовит к изучению преобразований графиков; при проверке смотреть на связь коэффициентов с амплитудой или сдвигом. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какова область определения функции $y=\sin x$? Какое множество значений она принимает? Чему равен её основной период? Как записывается свойство нечётности? При каких $x$ синус равен нулю?»
