Показательная функция: свойства и график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать определение показательной функции, исследовать её основные свойства и построить эскиз графика для случаев $a>1$ и $0<a<1$, обосновывая каждый вывод по графику и формуле.
- Образовательная задача: вывести свойства функции $y=a^x$ при $a>0$, $a\ne1$, и установить влияние основания $a$ на характер монотонности.
- Развивающая задача: развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их с помощью таблицы значений, графического моделирования и цифрового ресурса.
- Коммуникативная задача: учить аргументированно представлять результаты парной и групповой исследовательской работы.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности математического моделирования и интерес к применению показательных зависимостей в естественных науках, экономике и будущей профессии.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение показательных моделей для описания реальных процессов: роста населения, начисления процентов, радиоактивного распада.
- Проявляют познавательную самостоятельность при выборе способа исследования функции.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Понимают ценность математической точности при интерпретации графиков и данных.
Метапредметные
- Выдвигают гипотезу о влиянии основания на монотонность функции и проверяют её по данным.
- Строят таблицу значений, графическую модель и делают вывод на основании нескольких представлений информации.
- Сравнивают результаты, выявляют закономерности и аргументируют выводы.
- Используют электронный образовательный ресурс для построения и исследования графика.
- Планируют деятельность, распределяют роли в группе и осуществляют самооценку.
Предметные
- Знать определение показательной функции $y=a^x$, где $a>0$, $a\ne1$.
- Уметь определять область определения и множество значений показательной функции.
- Уметь устанавливать промежутки возрастания и убывания функции в зависимости от основания.
- Уметь строить эскизы графиков $y=a^x$ для $a>1$ и $0<a<1$.
- Уметь применять свойства показательной функции при анализе графиков и решении задач базового и повышенного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения показательных зависимостей через связь с будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют готовность к самостоятельному поиску и проверке математических закономерностей.
- Осознают ответственность за достоверность сделанного вывода.
- Оценивают собственное продвижение по критериям урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель на основе проблемного вопроса.
- Планируют исследование: выбирают значения аргумента, строят таблицу и проверяют график.
- Контролируют правильность вычислений и построения.
- Корректируют гипотезу после сравнения результатов.
- Осуществляют самооценку по листу достижений.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки показательной функции.
- Сравнивают функции $y=2^x$ и $y=\left(\frac12\right)^x$.
- Преобразуют информацию из формулы в таблицу и график.
- Моделируют изменение величины с помощью цифрового графика.
- Устанавливают причинно-следственную связь между значением основания и монотонностью функции.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, построитель, аналитик, докладчик.
- Формулируют уточняющие вопросы к результатам другой группы.
- Аргументируют выводы математическими фактами.
- Согласуют общий вариант ответа и представляют его классу.
- Конструктивно оценивают работу одноклассников по заданным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, графиками $y=2^x$ и $y=\left(\frac12\right)^x$, таблицей критериев и итоговой схемой свойств.
- Открыть электронный образовательный ресурс или графический сервис для построения графиков; заранее проверить работу проектора и доступа к интернету.
- Распечатать листы исследования: по одному на каждого ученика и по одному комплекту для каждой группы.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: базовые, повышающие и творческие; раздать по одной карточке на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю», «Я умею», «Мне требуется помощь».
- Разместить на доске памятку: $a>1$ — функция возрастает; $0<a<1$ — функция убывает; $D(y)=\mathbb R$; $E(y)=(0;+\infty)$.
- Подготовить маркеры, стикеры, миллиметровую бумагу или листы в клетку, линейки.
- Организовать четыре группы по 4–5 человек и назначить рабочие места для представления результатов.
- Подготовить короткий пример межпредметной связи: рост вклада по формуле $S=S_0(1+r)^t$ и распад вещества по формуле $m=m_0q^t$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент, мотивация и физкультминутка (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность, обозначить практическую значимость темы и подготовить внимание к работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать свойства новой функции, а сами исследуем её и построим математическую модель. Посмотрите на экран: величина увеличивается в несколько раз за одинаковые промежутки времени. Где вы встречались с таким изменением?" Учитель показывает изображения банковского вклада, роста популяции и распада вещества. | Называют примеры: "проценты по вкладу", "размножение бактерий", "радиоактивный распад"; формулируют предположение: "изменение может быть показано показательной функцией". |
1 мин | Учитель проводит короткую физкультминутку: "Встаньте. Если я называю процесс роста, поднимите руки вверх; если процесс убывания — опустите руки вниз. Вклад растёт, концентрация лекарства уменьшается, число бактерий увеличивается, температура остывающего тела снижается." | Выполняют движения по инструкции, классифицируют процессы как возрастающие или убывающие. |
1 мин | Учитель сообщает: "Сегодня нам нужно ответить на вопрос: как по основанию функции заранее определить вид её графика? Запишите тему урока и приготовьтесь проверять каждую гипотезу вычислением или графиком." | Записывают тему урока, формулируют личную цель: "научиться строить и исследовать график показательной функции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковая закономерность встречается в финансах, биологии и физике. Теперь вспомним, какие знания о функциях помогут нам исследовать новую зависимость."
Этап 2. Актуализация знаний. Парная работа (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, области определения, множества значений и монотонности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с функциями $y=x^2$, $y=2x$, $y=\sqrt{x}$ и вопросами: "Определите область определения, множество значений и характер изменения каждой функции. Обсудите ответ ровно одну минуту, затем выберите общий вариант." | В парах заполняют таблицу свойств, проговаривают определения и формулируют ответы: "область определения — допустимые значения аргумента", "функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции". |
2 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Почему для функции $y=\sqrt{x}$ нельзя брать отрицательные значения $x$? Чем отличается область определения от множества значений? Как по таблице можно предположить монотонность?" | Отвечают: "подкоренное выражение должно быть неотрицательным"; различают аргумент и значение функции; сравнивают значения в таблице. |
1 мин | Учитель показывает на экране график функции, не подписывая формулу: "Какие свойства можно определить только по графику? Какие свойства требуют обращения к формуле?" | Называют область определения, множество значений, нули, промежутки возрастания и убывания; отмечают, что точные значения требуют анализа формулы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем исследовать функцию по формуле, таблице и графику. Но пока не знаем, как эти способы применить к функции, в которой переменная находится в показателе степени. Сформулируем проблему."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно спланировать исследование показательной функции.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $y=2^x$ и $y=\left(\frac12\right)^x$ и обращается к классу: "Сравните основания. Как вы думаете, будут ли графики похожи? В каком случае функция возрастает, а в каком убывает? Не спешите отвечать: нам нужна проверяемая гипотеза." | Выдвигают гипотезы: "оба графика проходят через одну точку"; "при основании больше единицы функция, вероятно, возрастает"; "при основании меньше единицы, вероятно, убывает". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план исследования: "Сначала определим допустимые значения $x$, затем составим таблицу для $x=-2,-1,0,1,2$, построим график в тетради и в электронном ресурсе, после этого сформулируем свойства. Какие данные нам особенно важно проверить?" | Предлагают проверить точку $(0;1)$, положительность значений, поведение графика при увеличении $x$, взаимное расположение графиков. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза станет знанием только после проверки. Сейчас группы проведут исследование по единому плану, а затем мы сравним результаты и выведем общее правило."
Этап 4. Открытие нового знания. Групповое исследование и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: исследовательским методом вывести свойства показательной функции и создать её графическую модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель распределяет задания: группы 1 и 2 исследуют $y=2^x$ и $y=3^x$, группы 3 и 4 — $y=\left(\frac12\right)^x$ и $y=\left(\frac13\right)^x$. Инструкция: "Распределите роли. Для значений $x=-2,-1,0,1,2$ вычислите $y$, занесите результаты в таблицу и отметьте общие признаки." | Распределяют роли, вычисляют значения, заполняют таблицы. Для $y=2^x$ получают $\frac14,\frac12,1,2,4$; для $y=\left(\frac12\right)^x$ — $4,2,1,\frac12,\frac14$. |
3 мин | Учитель организует моделирование: "По таблице постройте эскиз графика. Отметьте точки $(0;1)$ и несколько симметрично расположенных значений. Не соединяйте точки отрезками: покажите плавную кривую. Затем проверьте построение в электронном ресурсе." | Строят график на листе в клетку, вводят формулу в цифровой ресурс, сравнивают две модели и исправляют неточности. |
3 мин | Учитель задаёт проблемные вопросы: "Почему график не пересекает ось $Ox$? Почему обе функции проходят через точку $(0;1)$? Что происходит со значениями при увеличении $x$? Как изменится вывод, если выбрать другое основание, большее единицы?" | Обсуждают вопросы и формулируют выводы: "значения функции положительны", "любое допустимое основание в нулевой степени даёт 1", "при $a>1$ значения растут, при $0<a<1$ уменьшаются". |
2 мин | Учитель предлагает докладчикам представить результаты и на доске записывает обобщение: "Показательная функция — это функция вида $y=a^x$, где $a>0$, $a\ne1$. Её область определения — все действительные числа, множество значений — положительные числа." | Докладчики представляют таблицы и графики; остальные группы задают по одному уточняющему вопросу и дополняют запись свойств. |
Запись в тетрадях
Записать: $y=a^x$, $a>0$, $a\ne1$; $D(y)=\mathbb R$; $E(y)=(0;+\infty)$; график проходит через точку $(0;1)$; при $a>1$ функция возрастает на $\mathbb R$, при $0<a<1$ убывает на $\mathbb R$; график не пересекает ось $Ox$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не отдельные примеры, а общее правило. Теперь проверим, умеем ли применять его к конкретным основаниям и читать свойства по графику."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм исследования показательной функции через устное объяснение и работу с графической моделью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задания: "Для функции $y=5^x$ назовите область определения, множество значений, координаты точки пересечения с осью $Oy$ и характер монотонности. Обоснуйте каждый ответ формулой." | Фронтально отвечают: "$D(y)=\mathbb R$, $E(y)=(0;+\infty)$, точка $(0;1)$, функция возрастает, потому что $5>1$". |
2 мин | Учитель показывает четыре эскиза на экране: возрастающий график, убывающий график, прямую и параболу. "Выберите график показательной функции с основанием $0<a<1$ и объясните, по каким признакам вы его узнали." | Выбирают убывающий график, указывают прохождение через $(0;1)$ и расположение выше оси $Ox$. |
2 мин | Учитель разбирает ошибочное утверждение: "Функция $y=\left(-2\right)^x$ является показательной, потому что основание равно двум по модулю. Согласны ли вы?" | Находят ошибку: основание должно удовлетворять условию $a>0$; отрицательное основание не допускается для функции, определённой на всех действительных $x$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: сначала проверяем допустимость основания, затем определяем область определения и множество значений, после этого устанавливаем монотонность и строим график. Перейдём к самостоятельной проверке."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение свойства показательной функции и обеспечить выбор задания по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание базового уровня. Затем выберите повышенный или творческий уровень. Работайте самостоятельно, но при затруднении пользуйтесь памяткой свойств." | Выбирают карточку и записывают номер выбранного уровня. |
4 мин | Учитель предлагает базовый уровень: "Для функций $y=4^x$ и $y=\left(\frac14\right)^x$ укажите область определения, множество значений, монотонность и координаты точки на оси $Oy$. Для одной функции выполните эскиз графика." Повышенный уровень: "Сравните значения $2^{-3}$ и $2^{-1}$ и объясните ответ через убывание функции $y=2^x$ при движении аргумента в отрицательную область." | Решают индивидуально. В базовом задании получают для обеих функций $D(y)=\mathbb R$, $E(y)=(0;+\infty)$; первая возрастает, вторая убывает; точка $(0;1)$. Повышенное задание решают через $2^{-3}=\frac18<\frac12=2^{-1}$. |
3 мин | Учитель предлагает творческий вариант: "Составьте короткий текст для специалиста, объясняющий, какую из моделей $y=1{,}05^x$ или $y=0{,}95^x$ выбрать для описания роста и уменьшения величины. Укажите, что означает основание." Затем выводит эталон на экран для самопроверки. | Проверяют решение по эталону, выделяют ошибку цветом, дописывают объяснение: основание больше единицы описывает рост, основание между нулём и единицей — уменьшение. |
Эталон решения
Для $y=4^x$: $4>1$, поэтому функция возрастает на $\mathbb R$; $D(y)=\mathbb R$; $E(y)=(0;+\infty)$; $4^0=1$, график проходит через $(0;1)$. Для $y=\left(\frac14\right)^x$: $0<\frac14<1$, поэтому функция убывает на $\mathbb R$; область определения и множество значений те же; график также проходит через $(0;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что свойство функции можно определить по одному сравнению основания с единицей. В завершение свяжем полученное правило с другими предметами и проверим, насколько уверенно вы его формулируете."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: применить свойства показательной функции в реальном контексте и осознать результаты собственной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране две модели: рост вклада $S=S_0(1+r)^t$ и распад вещества $m=m_0q^t$, где $0<q<1$. "Определите, какая модель возрастает, а какая убывает. Что означает основание в каждой формуле?" | Отвечают: "при положительной процентной ставке $1+r>1$, поэтому вклад растёт; при $0<q<1$ масса вещества уменьшается"; связывают математику с экономикой и физикой. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу объяснить свойства, жёлтый — нужна одна подсказка, красный — требуется повторение. В листе самооценки отметьте один пункт, который освоен лучше всего, и один вопрос." | Поднимают карточку выбранного цвета, заполняют лист самооценки, формулируют вопросы: "как строить график при необычном основании", "почему график не пересекает ось $Ox$". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на три вопроса: 1) при каком условии функция возрастает; 2) через какую точку проходит любой график $y=a^x$; 3) какое свойство нужно проверить первым?" | Заполняют билет на выход: "при $a>1$"; "через $(0;1)$"; "условия на основание: $a>0$, $a\ne1$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели свойства показательной функции, проверили их цифровой моделью и применили к задачам из экономики и физики. Домашняя работа позволит закрепить алгоритм и сделать следующий шаг — перейти от графика к решению показательных уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено базовое задание, обоснованы область определения, множество значений и монотонность, построен корректный эскиз графика; повышенное или творческое задание выполнено с аргументацией.
- «4» — базовое задание выполнено в основном верно, допущена одна неточность в вычислении, обозначении или оформлении графика, но общий вывод обоснован.
- «3» — верно определены не менее двух основных свойств функции, но есть ошибки в монотонности, области определения или построении графика; вывод сформулирован с помощью памятки.
- Ниже отметки «3» — свойства перечислены фрагментарно, не соблюдены условия $a>0$, $a\ne1$ или отсутствует связь между формулой и графиком.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по значению основания определить, будет ли функция возрастать или убывать? | Проверка осознания ключевого правила урока. |
Какие три свойства показательной функции вы можете назвать без подсказки? | Выявление степени усвоения предметного содержания. |
Что помогло вам проверить гипотезу: таблица, график, ЭОР или обсуждение в группе? | Определение эффективных способов учебной деятельности. |
Какой шаг исследования вызвал затруднение и какую помощь вы выберете на следующем уроке? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что вид графика показательной функции определяется основанием: при $a>1$ функция возрастает, а при $0<a<1$ убывает. Важно не забывать о двух условиях: основание положительно и не равно единице. Типичная ошибка — считать, что отрицательное основание также задаёт показательную функцию на всех действительных числах. На следующем уроке мы научимся использовать графики и свойства показательной функции для решения показательных уравнений и неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение области определения, множества значений, точки $(0;1)$ и монотонности функций вида $y=a^x$ с основаниями больше единицы и между нулём и единицей; построить два эскиза графиков. | Закрепляет алгоритм исследования и правильное оформление графика; при проверке обратить внимание на условия для основания и направление изменения функции. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение значений показательной функции без непосредственного вычисления больших степеней и на определение основания по характеру графика. | Развивает применение свойства монотонности и умение читать информацию с графика; проверить наличие словесного обоснования каждого сравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-модель реального процесса: выбрать рост вклада, размножение бактерий или уменьшение массы вещества, записать показательную формулу, указать смысл основания и описать поведение графика. | Развивает творческое математическое моделирование и межпредметную функциональную грамотность; проверить реалистичность основания, корректность формулы и интерпретацию параметров. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие значения может принимать аргумент показательной функции?», «Почему значение показательной функции всегда положительно?», «Как по основанию определить, возрастает функция или убывает?», «Через какую точку проходит её график?»
