Логарифмические уравнения и неравенства: задания базового уровня ЕГЭ
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать тип логарифмического уравнения или неравенства, выбирать корректный способ решения и самостоятельно выполнить не менее 4 из 5 заданий базового уровня с обязательной проверкой ОДЗ.
- Закрепить алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений, уравнений, сводящихся к квадратным, и логарифмических неравенств.
- Развивать умение анализировать условие, сопоставлять способ решения с основанием логарифма и находить ошибки в рассуждениях.
- Формировать навыки парного сотрудничества, аргументированного математического высказывания и самоконтроля при подготовке к ЕГЭ.
- Поддерживать осознанную мотивацию к изучению математики через связь логарифмов с моделированием процессов в естественных науках и экономике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического рассуждения при решении учебных и практических задач.
- Проявляют ответственное отношение к результату и понимают роль проверки ОДЗ в предупреждении ошибок.
- Оценивают собственную готовность к выполнению заданий базового уровня ЕГЭ.
- Сохраняют работоспособность и уверенность при разборе заданий повышенной для себя сложности.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения и выбирают рациональный способ действий.
- Извлекают математическую информацию из формулы, таблицы и текстового условия.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы и аргументируют выбор метода.
- Проводят самопроверку по критериям и корректируют решение после обнаружения ошибки.
- Используют межпредметную связь с физикой и экономикой для интерпретации логарифмических моделей.
Предметные
- Знать свойства логарифма и условия существования логарифмического выражения.
- Уметь решать уравнения вида $\log_a f(x)=b$ и $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ с учётом ОДЗ.
- Уметь решать простейшие логарифмические неравенства с учётом расположения основания относительно единицы.
- Уметь применять замену переменной в уравнениях, содержащих выражения $\log_a x$ и $(\log_a x)^2$.
- Уметь оформлять решение в формате, соответствующем требованиям заданий базового уровня ЕГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную деятельность с личной целью успешного прохождения итоговой аттестации.
- Осознают необходимость аккуратной записи ОДЗ и проверки полученных корней.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Преодолевают затруднение через анализ ошибки, а не механическое запоминание алгоритма.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план решения конкретного задания.
- Контролируют наличие ОДЗ, соответствие знака неравенства свойствам функции и правильность ответа.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибочный шаг.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий и характеру затруднений.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные условия в записи логарифмического выражения.
- Классифицируют задания по типу и выбирают соответствующий алгоритм.
- Преобразуют выражения и используют замену переменной.
- Моделируют решение в виде последовательности «ОДЗ — преобразование — решение — проверка».
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Объясняют партнёру, почему основание логарифма определяет знак неравенства.
- Задают уточняющие вопросы и корректно указывают на ошибку.
- Представляют классу краткое аргументированное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с алгоритмом «ОДЗ — преобразование — решение — проверка» и таблицей свойств логарифмической функции.
- Распечатать карточки для парной работы: 8 вариантов, по одной карточке на пару.
- Распечатать индивидуальный лист самопроверки с пятью заданиями базового уровня, по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить карточки трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёная — уверен, жёлтая — требуется проверка, красная — нужна помощь.
- Вывести на доску формулы $\log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b$, $\log_a x=\log_a y \Leftrightarrow x=y$ при $a>0$, $a\ne1$.
- Подготовить два коротких межпредметных контекста: радиоактивное распадание и шкала громкости.
- Организовать рассадку по парам и назначить таймер на этапы парной и самостоятельной работы.
- Подготовить эталоны решений для взаимопроверки и критерии: ОДЗ, преобразования, ответ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и связать повторение с практической целью — осознанной подготовкой к заданиям базового уровня ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Сегодня мы не просто повторяем формулы. Мы будем действовать как эксперты: определим тип задания, выберем алгоритм и проверим каждый шаг. Подготовьте тетради, ручки и карточки для самоконтроля." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране две ситуации: «уровень сигнала измеряется логарифмической шкалой» и «время распада вещества описывается показательной зависимостью». Спрашивает: "Почему в таких моделях возникает логарифм? Где особенно важна точность решения?" | Формулируют предположения: «логарифм помогает найти показатель степени», «ошибка в ОДЗ может дать лишний ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Логарифм позволяет находить неизвестный показатель степени, но любое преобразование требует проверки условий существования. Сейчас выясним, какие алгоритмы уже доступны каждому из вас."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства логарифмов и диагностировать готовность к решению заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Быстрый математический диктант»: "Запишите ОДЗ для $\log_2(x-3)$, назовите область допустимых оснований и решите $\log_5 x=2$. Не выкрикиваем ответы — сначала фиксируем их в тетради." | Записывают: $x>3$; $a>0$, $a\ne1$; $x=25$. Обмениваются тетрадями с соседом. |
3 мин | Учитель выводит утверждения: «Если $a>1$, функция $\log_a x$ возрастает»; «ОДЗ для $\log_a(f(x))$ — $f(x)\ge0$»; «При $0<a<1$ знак неравенства сохраняется». Просит поднять карточку «верно/неверно» и обосновать ответы. | Отмечают неверное утверждение об ОДЗ, исправляют его на $f(x)>0$, объясняют, что при $0<a<1$ знак неравенства меняется. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили три опоры: область допустимых значений, свойства функции и связь логарифмического уравнения с показательной формой. Теперь определим, какое затруднение возникает при переходе к более сложным заданиям."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: осознать типичные ошибки и сформулировать индивидуальную цель работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает решение: $\log_2(x-1)=3$, затем спрашивает: "Ученик сразу записал $x-1=8$ и получил $x=9$. Достаточно ли этого? Какой шаг пропущен?" | В парах обсуждают 30 секунд и отвечают: «Нужно записать ОДЗ $x>1$ и проверить корень». |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Закончите фразу: «Сегодня я научусь…». Выберите личный ориентир: без ошибок находить ОДЗ, решать неравенства или проверять оформление." | Записывают личную цель и общий план: определить тип, записать ОДЗ, применить свойство, проверить ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наше затруднение — не в одной формуле, а в выборе полного алгоритма. Перейдём к его применению на заданиях, где нужно объяснить каждый шаг."
Этап 4. Парная работа: систематизация способов решения (9 мин)
Цель этапа: в сотрудничестве классифицировать задания и закрепить алгоритмы решения уравнений и неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки: "В каждой паре один ученик — решающий, второй — контролёр алгоритма. Через 4 минуты поменяйтесь ролями. На карточке три задания: $\log_3(x-2)=2$; $\log_2(x)+\log_2(x-2)=3$; $\log_{0,5}(x-1)\ge -2$." | Читают задания, распределяют роли, определяют тип каждого задания. |
5 мин | Учитель консультирует: "Не начинайте с преобразований. Сначала спросите себя: где определены все логарифмы? Для неравенства отдельно проверьте, возрастает или убывает функция." | Решают задания в парах, проговаривают действия: «ОДЗ», «свойство логарифма», «учитываем основание», «проверяем ответ». |
2 мин | Учитель выводит краткий эталон и просит пары отметить один наиболее важный шаг в каждом решении. | Сверяют записи, исправляют ошибки, формулируют вывод: «при основании меньше единицы знак неравенства меняется». |
Эталон решения
$\log_3(x-2)=2$: ОДЗ $x>2$; $x-2=3^2=9$; $x=11$, корень подходит. $\log_2x+\log_2(x-2)=3$: ОДЗ $x>2$; $\log_2(x(x-2))=3$; $x^2-2x=8$; $x^2-2x-8=0$; $x=4$ или $x=-2$; с учётом ОДЗ $x=4$. $\log_{0,5}(x-1)\ge-2$: ОДЗ $x>1$; функция убывает, поэтому $x-1\le(0,5)^{-2}=4$; с учётом ОДЗ $1<x\le5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверили не только ответ, но и логику решения. Теперь применим эти алгоритмы к межпредметным моделям, где важно понять смысл полученного результата."
Этап 5. Межпредметное применение знаний (6 мин)
Цель этапа: показать применение логарифмических уравнений в естественно-научном и практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу по физике: "Уровень звука определяется формулой $L=10\log_{10}(I/I_0)$. Во сколько раз изменилась интенсивность звука, если уровень увеличился с 20 до 30 дБ? Запишите уравнение и объясните смысл ответа." | Записывают $30-20=10\log_{10}(I_2/I_1)$, получают $I_2/I_1=10$, формулируют ответ: «интенсивность увеличилась в 10 раз». |
3 мин | Учитель предлагает экономический контекст: "Стоимость оборудования ежегодно увеличивается в 1,1 раза. Через сколько лет стоимость станет в 1,331 раза больше?" Напоминает: "Сначала составьте показательную модель, затем примените логарифм или подберите степень." | Составляют $1,1^n=1,331$, замечают $1,1^3=1,331$, отвечают: «через 3 года», объясняют связь показательной и логарифмической моделей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Логарифмическое уравнение — это не только формальный объект ЕГЭ. Оно помогает восстановить показатель степени и интерпретировать реальный процесс. Переходим к индивидуальной проверке готовности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить освоение алгоритмов на заданиях базового уровня и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите пять заданий. В каждом обязательно выделите ОДЗ. Задания: $\log_4(x-1)=2$; $\log_3(x+1)=\log_3(2x-5)$; $\log_2x+\log_2(x-2)=3$; $\log_{0,25}(x+1)<-1$; найдите корень уравнения $\log_5(x^2-4)=1$. Работайте самостоятельно, при затруднении отметьте номер знаком вопроса." | Решают индивидуально, записывают ОДЗ и ответы, отмечают затруднения. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон: "Проверьте не только конечный ответ. Поставьте плюс за ОДЗ, преобразования и ответ. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните шаг, на котором она появилась." | Сверяют решения, подсчитывают результат, исправляют один наиболее существенный ошибочный шаг и заполняют лист самоконтроля. |
Эталон решения
Ответы: 1) $x=17$; 2) $x=6$; 3) $x=4$; 4) $-1<x<3$; 5) $x=\pm3$, но ОДЗ $x^2-4>0$, поэтому оба корня подходят.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что правильный ответ — это результат всей цепочки действий. Осталось зафиксировать личный результат, назвать трудность и определить следующий шаг подготовки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, оценить собственную готовность и получить дифференцированное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно решить простое уравнение и неравенство; жёлтую — если нужен алгоритм перед глазами; красную — если требуется разбор ОДЗ. Одним предложением объясните свой выбор." | Поднимают карточки, формулируют: «Я уверенно решаю уравнения, но путаюсь в неравенствах при основании меньше единицы». |
2 мин | Учитель просит заполнить «Билет на выход»: "Запишите одно правило, которое нельзя забывать при решении логарифмического неравенства, и один вопрос, который вы хотите разобрать." | Пишут правило и вопрос, сдают билеты учителю. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень осознанно. Важнее выполнить меньше заданий без ошибок, чем механически переписать решение." | Записывают задание выбранного уровня, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы повторили полный алгоритм решения логарифмических уравнений и неравенств, применили его в паре и самостоятельно. Проверьте дома прежде всего ОДЗ и основание логарифма. На следующем уроке разберём задания, в которых требуется преобразование более сложных логарифмических выражений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 5 заданий из 5, в каждом корректно записано ОДЗ, преобразования обоснованы, ответы оформлены без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены 4 задания из 5 либо допущена одна вычислительная ошибка при правильном алгоритме и записи ОДЗ.
- «3» — верно выполнены 3 задания из 5, но имеются отдельные ошибки в преобразованиях или учёте основания; основная последовательность решения сохранена.
- Результат ниже «3» означает необходимость повторить свойства логарифмической функции и выполнить коррекционные задания с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения логарифмического задания вы теперь выполняете автоматически? | Выявление осознанно усвоенного действия. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в ОДЗ, преобразованиях или анализе основания. |
Как вы объясните однокласснику, почему при основании от 0 до 1 знак неравенства меняется? | Проверка понимания свойства монотонности логарифмической функции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и ответственности за индивидуальную траекторию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы повторили не отдельные формулы, а целостный алгоритм решения логарифмических уравнений и неравенств. Самая частая ошибка — начать преобразования, не записав ОДЗ, или забыть, что при основании меньше единицы функция убывает. Используйте самопроверку как инструмент роста, а не только как способ получить отметку. На следующем уроке мы продолжим работу с преобразованиями и более сложными заданиями базового и повышенного уровней."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 логарифмических уравнений и неравенств базового уровня: два простейших, два с использованием свойств логарифма и одно с основанием от 0 до 1. В каждом решении записать ОДЗ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на ОДЗ и знак неравенства. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания, включающие замену переменной в выражениях с $\log_a x$ и сведение уравнения к квадратному, а также одно задание с параметром-основанием. | Развивает классификацию типов и выбор рационального способа; проверить полноту отбора корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу, приводящую к логарифмическому уравнению, и объяснить смысл полученного ответа в контексте физики, экономики или информатики. | Формирует функциональную грамотность и умение создавать математическую модель; проверить корректность модели и интерпретации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие записывают первым в логарифмическом уравнении?», «Когда при решении неравенства знак меняется?», «Зачем проверять найденные корни после преобразований?»
