Функция $y=\cos x$ и её свойства
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся смогут по графику и формуле функции $y=\cos x$ характеризовать её область определения и значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности, наибольшее и наименьшее значения, а также применять свойства при решении не менее четырёх заданий.
- Сформировать представление о графике функции $y=\cos x$ как о периодической тригонометрической кривой и вывести её основные свойства.
- Научить читать график и использовать свойства косинуса для сравнения значений, определения знака и решения простейших задач.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по графику и аргументировать математические выводы в парной работе.
- Формировать ответственное отношение к математическому рассуждению и осознанную готовность применять свойства функций при дальнейшем изучении тригонометрии и подготовке к экзаменационным задачам.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение функциональной грамотности для дальнейшего обучения и профессионального выбора.
- Проявлять интерес к исследованию закономерностей графика и готовность проверять собственные гипотезы.
- Понимать ценность точного, обоснованного математического высказывания.
- Осуществлять самооценку уровня освоения свойств функции $y=\cos x$.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы и графика функции.
- Планировать исследование свойств функции и фиксировать результаты в структурированной таблице.
- Сотрудничать в паре, распределять действия и аргументированно представлять общий вывод.
- Проверять решение по графику и корректировать ошибочные рассуждения.
Предметные
- Знать область определения и область значений функции $y=\cos x$.
- Знать периодичность, чётность, нули, промежутки знакопостоянства и монотонности функции.
- Уметь строить эскиз графика на отрезке $[-2\pi;2\pi]$ по ключевым точкам.
- Уметь применять свойства косинуса для сравнения значений и решения простейших задач по графику.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться читать и использовать график косинуса.
- Связывают изучение функции с задачами последующих разделов алгебры и анализа.
- Оценивают собственную готовность к самостоятельному применению свойств.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования после выявления затруднения.
- Планируют последовательность построения графика и проверки свойств.
- Сопоставляют полученный результат с эталоном и исправляют ошибки.
- Оценивают успешность выполнения заданий по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции по формуле и графику.
- Устанавливают связи между симметрией графика и чётностью функции.
- Моделируют график таблицей значений и ключевыми точками.
- Анализируют периодичность и используют её при преобразовании аргумента.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при исследовании графика.
- Формулируют вопросы и уточняют математические аргументы партнёра.
- Представляют общий вывод, используя точные термины.
- Корректно обсуждают различия в решениях и достигают согласованной формулировки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный график функции $y=\cos x$ с координатной сеткой на промежутке $[-2\pi;2\pi]$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней: по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску таблицу ключевых значений: $x=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ и соответствующие значения косинуса.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Разместить на доске шаблон таблицы свойств: область определения, область значений, период, чётность, нули, знак, монотонность.
- Подготовить линейки, тетради, ручки и калькулятор только для демонстрационной проверки, без использования при решении базовых заданий.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Как по одному периоду восстановить поведение функции на всей числовой прямой?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто повторять значения косинуса, а исследовать функцию как математический объект. На экране изображён график, но часть его свойств пока не подписана. Ваша задача — восстановить закономерности и доказать их." | Готовят тетради, записывают дату и тему урока, рассматривают график на экране. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по формуле и одному периоду понять, где функция возрастает, какие значения принимает и почему её график повторяется? Запишите одну гипотезу, а затем обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах около минуты, предлагают варианты: "график повторяется через $2\pi$", "значения находятся от $-1$ до $1$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши гипотезы станут планом исследования. Сейчас проверим известные значения и найдём, каких сведений нам не хватает для полного описания функции."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать единичную окружность, значения косинуса и понятия свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает единичную окружность и говорит: "Назовите значения косинуса для углов $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Объясните, какую координату точки окружности задаёт косинус." | Заполняют таблицу в тетради, отвечают: "$1,0,-1,0,1$"; формулируют: "косинус — абсцисса точки единичной окружности". |
3 мин | Учитель предлагает задания устной разминки: "Сравните $\cos 0$ и $\cos \pi$, определите знак $\cos\frac{2\pi}{3}$ и назовите период косинуса. Какие понятия нужны, чтобы описать функцию полностью?" | Отвечают: "$\cos0>\cos\pi$", "$\cos\frac{2\pi}{3}<0$", "период равен $2\pi$"; называют область определения, значения, нули, монотонность и знак. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные значения у нас есть, но отдельные значения ещё не дают полного описания функции. Теперь зафиксируем, какие свойства нужно открыть и доказать."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель исследования и план открытия свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает незаполненную таблицу и обращается к классу: "Перед вами паспорт функции. В нём должны появиться все основные характеристики. Какие вопросы нужно задать графику? Сформулируйте их глаголами: определить, проверить, установить." | Предлагают вопросы: "Какие значения принимает функция? Где она равна нулю? Где положительна? Где возрастает и убывает? Как повторяется график?" |
2 мин | Учитель фиксирует план: "Исследуем область определения и значений, периодичность, чётность, нули, знак и монотонность. В конце применим паспорт к заданиям, похожим на те, где требуется анализ графика, но не будем угадывать — каждое утверждение обоснуем." | Записывают план исследования и формулируют цель: "описать свойства функции $y=\cos x$ и применять их к заданиям". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План составлен. Переходим к главному — сами построим модель графика и по ней выведем свойства, а не получим их в готовом виде."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование графика (12 мин)
Цель этапа: совместно вывести основные свойства функции $y=\cos x$ на основе таблицы значений и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске таблицу ключевых точек: "Построим график по точкам $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Соедините точки плавной линией. Затем мысленно продолжите график влево и вправо. Что повторяется?" | Строят эскиз графика, отмечают точки $(0;1)$, $(\frac{\pi}{2};0)$, $(\pi;-1)$, $(\frac{3\pi}{2};0)$, $(2\pi;1)$; формулируют: "форма повторяется через $2\pi$". |
4 мин | Учитель организует работу в парах: "Карточка содержит три утверждения: 1) функция принимает все действительные значения; 2) график симметричен относительно оси $Oy$; 3) на отрезке $[0;\pi]$ функция убывает. Для каждого утверждения найдите подтверждение или опровержение по графику и формуле." | В парах отмечают утверждения как верные или неверные, записывают аргументы: "первое неверно, значения лежат от $-1$ до $1$"; "$\cos(-x)=\cos x$, значит функция чётная"; "на $[0;\pi]$ график убывает от $1$ до $-1$". |
4 мин | Учитель обобщает результаты: "Запишите паспорт функции. Область определения — все действительные числа, область значений — от $-1$ до $1$, период — $2\pi$, функция чётная. Нули определяются равенством $\cos x=0$. Знак и монотонность прочитайте по одному периоду и перенесите с учётом периодичности." | Заполняют таблицу свойств: нули $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, где $k\in\mathbb Z$; положительна на $(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k)$; отрицательна на $(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k)$; убывает на $[2\pi k;\pi+2\pi k]$ и возрастает на $[\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k]$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $D(y)=\mathbb R$; $E(y)=[-1;1]$; период $T=2\pi$; функция чётная; нули $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$; максимум $1$ достигается при $x=2\pi k$, минимум $-1$ — при $x=\pi+2\pi k$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили полный паспорт косинуса из графика, формулы и периодичности. Теперь проверим свойства на конкретных утверждениях и научимся проговаривать ход рассуждения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить свойства функции при чтении графика и решении коротких заданий с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Решите три задания и обязательно запишите свойство, на которое опираетесь. 1) Сравните $\cos\frac{\pi}{3}$ и $\cos\frac{2\pi}{3}$. 2) Укажите знак $\cos\frac{7\pi}{6}$. 3) Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;\pi]$." | В парах решают: "$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$, $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$, первое больше"; "$\cos\frac{7\pi}{6}<0$"; "наибольшее значение равно $1$". |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только ответы, но и наличие обоснования. Если нашли ошибку, сформулируйте её спокойно по схеме: «В ответе пропущено свойство…»." | Проверяют решения по таблице свойств, ставят отметку о корректности, исправляют ошибки и объясняют партнёрам найденные неточности. |
Эталон решения
1) На единичной окружности или по известным значениям: $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$, $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$, поэтому $\cos\frac{\pi}{3}>\cos\frac{2\pi}{3}$. 2) Угол $\frac{7\pi}{6}$ расположен в третьей четверти, поэтому косинус отрицателен. 3) На отрезке $[0;\pi]$ функция убывает от $1$ до $-1$, поэтому наибольшее значение равно $1$ при $x=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что один и тот же ответ можно подтвердить формулой, окружностью или графиком. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли выбирать нужное свойство и применять его без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание свойств функции и выполнить самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт варианты трёх уровней: "Выполните обязательные задания. 1) Запишите область значений $y=\cos x$. 2) Решите неравенство $\cos x>0$ на промежутке $[-\pi;\pi]$. 3) Укажите промежутки возрастания на отрезке $[-2\pi;2\pi]$. Для желающих есть дополнительное задание: сравнить $\cos 1$ и $\cos 2$ без вычислителя." | Индивидуально решают задания, записывают обоснования: $[-1;1]$; $x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ на указанном промежутке; промежутки возрастания определяют по графику. Сильные ученики используют убывание косинуса на $[0;\pi]$ и делают вывод $\cos1>\cos2$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте каждую строку. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где выбран неверный промежуток или забыта периодичность, и рядом запишите исправление." | Проверяют работу по эталону, отмечают верные пункты, исправляют одну ошибку с пояснением, показывают карточку «Светофор»: зелёная — всё понятно, жёлтая — нужна тренировка, красная — требуется помощь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие свойства уже применяются уверенно, а где нужно внимательнее работать с промежутками. Завершим урок обобщением и зафиксируем личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите две фразы: «Теперь я умею…» и «Мне нужно потренироваться…». Затем ответьте: какое свойство помогает восстановить график на всей числовой прямой?" | Пишут индивидуальный билет: например, "умею находить знак косинуса по четверти", "нужно потренироваться определять промежутки монотонности"; отвечают: "периодичность $2\pi$". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. Важно не количество, а запись свойства, которым вы обосновываете ответ. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают выбранный уровень домашней работы, сверяют его с личным результатом и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, правильно указаны свойства и интервалы, дополнительное задание решено с обоснованием.
- «4» — верно выполнены два обязательных задания из трёх, допущена одна неточность в записи промежутка или периодичности, ход рассуждения в основном корректен.
- «3» — верно выполнено не менее одного обязательного задания, область значений или знак функции определены с частичным обоснованием, имеются ошибки в промежутках.
- Ниже базового уровня — ответ не содержит связного применения свойств; требуется повторить паспорт функции и выполнить тренировочные задания с опорой на график.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции $y=\cos x$? | Выявление осознанного понимания полного набора свойств функции. |
Какое свойство оказалось самым полезным при решении заданий? | Определение связи между теоретическим знанием и практическим применением. |
На каком шаге возникло затруднение: знак, монотонность, нули или периодичность? | Выявление конкретных точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы оцените свою готовность самостоятельно читать график косинуса? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы построили и исследовали график функции $y=\cos x$, а затем превратили его в точный паспорт свойств. Особенно важно не путать область значений функции с областью определения и внимательно записывать концы и интервалы. Вы доказали, что периодичность позволяет переносить выводы с одного периода на всю числовую прямую. На следующем уроке мы применим эти свойства к преобразованиям графиков и более сложным неравенствам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на заполнение паспорта функции $y=\cos x$: область определения и значений, период, чётность, нули; построить эскиз графика на $[-2\pi;2\pi]$. | Закрепляет базовые свойства и умение связывать формулу с графиком; при проверке смотреть на точность интервалов и ключевые точки. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на определение знака, промежутков монотонности и наибольшего или наименьшего значения $y=\cos x$ на заданных отрезках. | Формирует применение свойств в новом контексте; при проверке смотреть на учёт границ отрезка и периодичности. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2–3 исследовательские задачи: сравнить значения $\cos a$ и $\cos b$ без вычислителя на промежутке монотонности; объяснить, почему график косинуса симметричен относительно оси $Oy$; предложить задачу с использованием периода. | Развивает анализ и аргументацию; при проверке оценивать самостоятельность доказательства и корректность выбора свойства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какова область значений функции $y=\cos x$?», «Чему равен её наименьший период?», «При каких $x$ косинус равен нулю?», «На каком отрезке одного периода функция убывает?»
