Правила нахождения первообразных
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить первообразные для суммы и разности функций, а также для функций вида $x^n$, $\frac{1}{x}$, $\sin x$ и $\cos x$, обосновывая выбор правила и выполняя проверку дифференцированием.
- Сформировать понимание связи между производной и первообразной как взаимно обратными действиями.
- Научиться применять правила нахождения первообразных при решении типовых и комбинированных заданий.
- Развивать умение работать в паре, формулировать гипотезы, сравнивать решения и аргументированно исправлять ошибки.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому рассуждению, самоконтролю и подготовке к дальнейшему изучению математического анализа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение первообразной для дальнейшего изучения интеграла, математического анализа и прикладных задач.
- Проявлять готовность проверять собственное решение, не подменяя обоснование угадыванием ответа.
- Поддерживать учебную мотивацию через понимание связи темы с профильным обучением и задачами вузовской математики.
- Принимать конструктивную критику партнёра и использовать её для коррекции решения.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формул производных и преобразовывать её в правила нахождения первообразных.
- Планировать последовательность решения: распознать вид функции, выбрать правило, записать результат, выполнить проверку.
- Сравнивать два решения, выявлять различия в постоянной интегрирования и аргументировать корректность результата.
- Использовать математическую речь для точного объяснения действий и результатов.
Предметные
- Знать определение первообразной и обозначение произвольной постоянной $C$.
- Знать правила нахождения первообразной суммы и разности функций, а также постоянного множителя.
- Уметь находить первообразные функций $x^n$, $\frac{1}{x}$, $\sin x$ и $\cos x$.
- Уметь проверять найденную первообразную дифференцированием и объяснять необходимость слагаемого $C$.
- Уметь применять несколько правил одновременно в заданиях повышенного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы с помощью самооценки и рефлексии.
- Формируют смыслообразование через осознание обратной связи между дифференцированием и нахождением первообразной.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Осознают ответственность за точность записи математических формул.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение по алгоритму нахождения первообразной.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль с помощью дифференцирования.
- Обнаруживают и исправляют ошибки в знаках, коэффициентах и показателях степени.
- Оценивают результат по заранее объявленным критериям.
Познавательные УУД
- Восстанавливают правило нахождения первообразной по таблице производных.
- Классифицируют функции по типу и выбирают соответствующую формулу.
- Преобразуют выражение к виду, удобному для применения правила.
- Строят цепочку рассуждений и проверяют её математической операцией дифференцирования.
- Выявляют закономерность и формулируют обобщённое правило.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы о выборе правила и способе проверки.
- Аргументированно защищают решение, используя математические термины.
- Сопоставляют разные способы решения и корректно указывают на ошибку.
- Достигают общего вывода по итогам парного обсуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением первообразной и таблицей производных элементарных функций.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней сложности: минимальный, базовый и повышенный — по одной на каждого ученика.
- Разместить на доске алгоритм: определить вид функции — выбрать правило — найти первообразную — добавить $C$ — проверить производной.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» или дать ученикам возможность использовать цветные сигналы.
- Вывести на экран проблемное задание: найти функцию, производная которой равна $3x^2-4x+5$.
- Подготовить эталон для самопроверки самостоятельной работы, закрытый до момента проверки.
- Оставить на доске место для формул $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$, $\int\sin x dx=-\cos x+C$, $\int\cos x dx=\sin x+C$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл открытия правил нахождения первообразных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка и калькулятор для вычислений, если он вам необходим. Сегодня мы будем не просто запоминать формулы, а восстановим правила из уже известной нам связи между функцией и её производной." | Откладывают лишние предметы, открывают тетради, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $3x^2-4x+5$ и задаёт вопрос: "Представьте, что эта функция описывает скорость изменения некоторой величины. Как восстановить саму величину? Какая операция является обратной дифференцированию? Сегодня нам предстоит ответить на этот вопрос и научиться действовать по общему алгоритму." | Формулируют предположения: "Нужно найти функцию, производная которой равна данному выражению"; "Нужно выполнить обратное действие дифференцированию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что задача сводится к восстановлению функции по её производной. Сначала вспомним необходимые производные, а затем на их основе сами выведем правила нахождения первообразных."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать таблицу производных и подготовить учащихся к выводу обратных правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Запишите в черновике производные функций $x^3$, $x^2$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln|x|$. Не торопитесь: нам важно вспомнить не только результат, но и знаки. По моей команде сравните ответы с соседом." | Индивидуально записывают производные, затем сравнивают в паре: $3x^2$, $2x$, $\cos x$, $-\sin x$, $\frac{1}{x}$. |
3 мин | Учитель выводит на экран пять утверждений: "Производная суммы равна сумме производных; производная $5f(x)$ равна $5f'(x)$; производная $\ln|x|$ равна $\frac{1}{x}$; производная $-\cos x$ равна $\sin x$; производная постоянной равна нулю. Поднимите карточку с буквой В или Н и объясните один выбранный ответ." | Отмечают верные и неверные утверждения, объясняют: "Все утверждения верны"; отдельно проговаривают, что постоянная исчезает при дифференцировании. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили производные, которые понадобятся для обратного действия. Теперь проверим, достаточно ли просто заменить производную на исходную функцию, или необходимо учитывать дополнительные условия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при восстановлении функции по производной и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "Найдите функцию $F(x)$, если $F'(x)=3x^2-4x+5$. Предложите решение самостоятельно. Можно записать несколько вариантов." Затем спрашивает: "Как проверить ответ? Что произойдёт, если к найденной функции прибавить число?" | Предлагают $F(x)=x^3-2x^2+5x$, выполняют проверку дифференцированием и замечают, что $F(x)+7$ имеет ту же производную. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала сформулируйте индивидуально, какое множество функций является ответом. Затем обсудите это с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | В паре формулируют вывод: "Все первообразные отличаются на постоянную, поэтому общий ответ имеет вид $x^3-2x^2+5x+C$". Записывают цель: научиться находить первообразные по правилам и проверять результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: одной формулы недостаточно, нужно получить общее семейство функций. Сейчас мы исследуем несколько примеров и выведем правила, которые позволят решать такие задачи системно."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: совместно вывести правила нахождения первообразных суммы, разности, постоянного множителя и основных элементарных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим выражение $f(x)+g(x)$. Если $F'(x)=f(x)$ и $G'(x)=g(x)$, чему равна производная $F(x)+G(x)$? Значит, какую первообразную имеет сумма функций? Запишите вывод словами и формулой." Учитель фиксирует на доске: $\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$. | Восстанавливают правило по свойству производной, формулируют: "Первообразная суммы равна сумме первообразных". Записывают формулу и аналогичное правило для разности. |
3 мин | Учитель задаёт вопрос: "Как влияет постоянный множитель $k$ на производную функции $kF(x)$? Как будет выглядеть правило для $kf(x)$?" После ответов записывает: $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$. | Отвечают: "Постоянный множитель можно вынести за знак нахождения первообразной". Применяют правило к выражению $\int 6x^2dx$ и получают $2x^3+C$. |
3 мин | Учитель показывает таблицу производных и говорит: "Каждую строку таблицы производных можно прочитать в обратную сторону. Например, поскольку $(x^{n+1})'=(n+1)x^n$, получаем $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, где $n\ne-1$. Отдельно запишем случай $n=-1$." | Записывают формулы: $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\ne-1$; $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$; $\int\sin xdx=-\cos x+C$; $\int\cos xdx=\sin x+C$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить знаки: "Почему первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$, а не $\cos x$? Почему для $\cos x$ знак положительный? Выполните дифференцирование и проговорите результат." | Дифференцируют $-\cos x$ и $\sin x$, объясняют: "$(-\cos x)'=\sin x$, а $(\sin x)'=\cos x$". Формулируют общий алгоритм нахождения первообразной. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определение: «Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке, если $F'(x)=f(x)$». Ниже фиксируют правила: $\int(f+g)dx=\int fdx+\int gdx$; $\int(f-g)dx=\int fdx-\int gdx$; $\int kf dx=k\int fdx$; $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\ne-1$; $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$; $\int\sin xdx=-\cos x+C$; $\int\cos xdx=\sin x+C$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор разрозненных формул, а систему правил, основанную на свойствах производной. Теперь применим её сначала вместе, а затем вы проверите себя самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор правила и проверку результата в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями: "$\int(4x^3-6x+2)dx$; $\int(3\cos x-2\sin x)dx$; $\int\frac{5}{x}dx$. Один ученик решает, второй проверяет дифференцированием, затем роли меняются." | Распределяют роли и решают первое задание: $x^4-3x^2+2x+C$. Проверяющий дифференцирует результат. |
3 мин | Учитель говорит: "Теперь решите второе и третье задания. В каждой строке сначала назовите применяемое правило, затем запишите результат. Если ответы в паре различаются, не стирайте сразу решение: найдите место расхождения и объясните его." | Решают: $3\sin x+2\cos x+C$ и $5\ln|x|+C$. Обсуждают знаки и проверяют производные. |
2 мин | Учитель организует короткое обсуждение: "Какая ошибка наиболее вероятна в этих заданиях? На что нужно смотреть при проверке?" | Формулируют: "Можно потерять коэффициент, ошибиться в знаке при первообразной синуса или забыть $C$". Обмениваются карточками с соседней парой для взаимной проверки. |
Эталон решения
$\int(4x^3-6x+2)dx=\int4x^3dx-\int6xdx+\int2dx=x^4-3x^2+2x+C$. Проверка: $(x^4-3x^2+2x+C)'=4x^3-6x+2$. $\int(3\cos x-2\sin x)dx=3\sin x+2\cos x+C$, поскольку $(2\cos x)'=-2\sin x$. $\int\frac{5}{x}dx=5\ln|x|+C$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что надёжность ответа определяется не только формулой, но и проверкой. Теперь каждый выполнит небольшой самостоятельный блок и покажет, насколько уверенно умеет выбирать правило без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "$\int(6x^2-4x+3)dx$ и $\int(2\sin x+5\cos x)dx$". Повышенный вариант: "$\int(3x^4-\frac{2}{x}+4\cos x)dx$". Учитель напоминает: "Записывайте промежуточные шаги и обязательно добавляйте $C$." | Индивидуально решают выбранный или назначенный вариант. Применяют алгоритм и записывают результаты с постоянной интегрирования. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "$x^3-2x^2+3x+C$; $-2\cos x+5\sin x+C$; $\frac{3}{5}x^5-2\ln|x|+4\sin x+C$". Инструктирует: "Сверьте не только конечный ответ, но и каждый знак. Поставьте себе отметку: плюс — верно, вопрос — нужна консультация." | Сверяют решения построчно, дифференцируют один выбранный ответ, отмечают место ошибки и исправляют его. Показывают сигнал «Светофор»: зелёный — готов продолжать, жёлтый — нужна короткая консультация, красный — требуется повторить правило. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, какие правила уже стали рабочим инструментом, а какие требуют ещё одной тренировки. На завершающем этапе обобщим алгоритм и сформулируем личный следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и определить содержание самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная рефлексия»: "Закончите три фразы: «Сегодня я понял...», «При нахождении первообразной важно...», «Мне нужно потренировать...». Запишите ответы кратко, но конкретно." | Записывают три фразы, указывают освоенное правило и личное затруднение, например: "Мне нужно внимательнее проверять знак перед косинусом". |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему в общем ответе появляется $C$? Как проверить найденную первообразную? Что делаем, если выражение состоит из нескольких слагаемых?" | Отвечают: "Потому что производная постоянной равна нулю"; "Дифференцируем результат"; "Разделяем выражение на слагаемые и применяем правила". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. В каждом решении укажите применённое правило и проверьте хотя бы два ответа дифференцированием." | Записывают домашнее задание, уточняют критерии выполнения и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы восстановили правила нахождения первообразных через таблицу производных, научились применять их к суммам и элементарным функциям и увидели необходимость постоянной $C$. На следующем уроке продолжим использовать эти правила в более сложных выражениях и перейдём к определению неопределённого интеграла."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного варианта, корректно применены правила, добавлена постоянная $C$, выполнена проверка дифференцированием; запись последовательная и математически точная.
- «4» — верно решены не менее двух заданий из трёх, допущена одна неточность в знаке, коэффициенте или оформлении, но способ решения выбран правильно.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно базовое задание, распознаны основные правила, однако допущены ошибки в применении формул или отсутствует полноценная проверка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило нахождения первообразной вы сегодня можете объяснить другому ученику? | Выявление осознанности и способности переводить формулу в словесное объяснение. |
В каком месте алгоритма вы допустили или могли допустить ошибку? | Выявление точек затруднения: выбор правила, знак, коэффициент или постоянная $C$. |
Зачем нужно проверять первообразную дифференцированием? | Осознание функции проверки и связи двух обратных действий. |
Какой уровень домашнего задания соответствует вашему текущему пониманию темы и почему? | Формирование адекватной самооценки и ответственности за выбор сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать таблицу производных в обратную сторону и превращать её в систему правил нахождения первообразных. Помните о трёх обязательных шагах: применить подходящее правило, добавить произвольную постоянную $C$ и проверить результат дифференцированием. Особенно внимательно следите за знаком при нахождении первообразной функции $\sin x$. Дома выберите посильный уровень и выполните проверку не формально, а как настоящий математический контроль. На следующем уроке мы расширим этот алгоритм и будем работать с более сложными выражениями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 заданий на нахождение первообразных многочленов и функций $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{x}$; в каждом ответе записать $C$, два результата проверить дифференцированием. | Закрепляет основные формулы и алгоритм; при проверке смотреть на показатели степеней, коэффициенты, знаки и наличие $C$. |
Средний (повышающий) | Решить 4 комбинированных задания на первообразную суммы или разности, содержащей не менее трёх слагаемых, включая тригонометрическую функцию или $\frac{1}{x}$; привести краткое обоснование каждого применённого правила. | Формирует умение раскладывать сложное выражение на части и последовательно применять несколько правил. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных выражения, имеющих первообразную $F(x)=x^3-2\cos x+\ln|x|$, и найти для каждого общего вида первообразной; объяснить, почему ответы отличаются на постоянную. | Развивает исследовательское мышление, понимание семейства первообразных и обратной связи между функцией и производной. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется первообразной функции? Как найти первообразную суммы? Почему в ответе появляется $C$? Какая первообразная у $\sin x$ и как проверить её правильность?»
