Применение определителя для решения системы линейных уравнений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом определителей, вычислять главный и вспомогательные определители, формулировать условие существования единственного решения и проверять полученный результат подстановкой.
- Сформировать понимание связи между коэффициентами системы и её определителями через исследовательское открытие формул Крамера.
- Развить умение выбирать способ решения системы, анализировать особые случаи и аргументировать последовательность вычислений.
- Формировать навыки самоконтроля: оценивать корректность вычисления определителей, обнаруживать арифметические ошибки и выполнять проверку решения.
- Поддерживать интерес к алгебре как к языку математического моделирования, связанному с дальнейшим изучением высшей математики и техническими профессиями.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритмических и исследовательских способов решения математических задач.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору стратегии решения и ответственному отношению к результату.
- Понимают значение точности вычислений и доказательного рассуждения для дальнейшего обучения.
- Оценивают собственные затруднения без страха ошибки и используют их для коррекции способа действия.
Метапредметные
- Извлекают информацию из записи системы и преобразуют её в математическую модель с определителями.
- Планируют последовательность решения, сопоставляют промежуточные результаты с условием и выполняют самопроверку.
- Аргументируют выбор метода, формулируют выводы и участвуют в обсуждении математических гипотез.
- Используют символическую запись и цифровые вычислительные средства для проверки, не подменяя ими рассуждение.
Предметные
- Знать понятия главного определителя системы и вспомогательных определителей.
- Знать формулы Крамера для системы $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ при условии $\Delta\ne0$.
- Уметь вычислять определители второго порядка по формуле $\Delta=ad-bc$.
- Уметь решать системы двух линейных уравнений методом определителей и выполнять проверку подстановкой.
- Уметь объяснять, почему при $\Delta=0$ стандартная формула Крамера не применяется.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения метода как инструмента дальнейшего математического и профессионального образования.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа вычисления и готовность обосновывать собственное решение.
- Формируют ответственное отношение к точности записи и проверке результата.
- Принимают возможность нескольких стратегий решения одной системы и уважительно обсуждают решения одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения в решении системы.
- Планируют алгоритм: записать определители, вычислить их, применить формулы, проверить ответ.
- Контролируют знаки и порядок коэффициентов при вычислении определителей.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочные действия после самопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют структуру системы и сопоставляют её с записью определителя второго порядка.
- Выдвигают гипотезу о формулах для неизвестных и проверяют её на конкретном примере.
- Анализируют особый случай $\Delta=0$ и отделяют его от случая единственного решения.
- Моделируют решение системы с помощью символических обозначений $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о происхождении формул Крамера и отвечают на вопросы одноклассников.
- Работают в парах при сравнении способов решения и согласовывают общий вывод.
- Аргументируют каждый шаг решения математическими равенствами.
- Корректно указывают на вычислительные ошибки и предлагают способ их исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с системой $\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}$, матрицами определителей и алгоритмом решения.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые системы с целыми ответами, системы с дробными ответами и исследовательское задание для анализа случая $\Delta=0$; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: вычисляю $\Delta$, вычисляю $\Delta_x$, вычисляю $\Delta_y$, применяю формулы, выполняю проверку.
- Вывести на экран памятку: $\Delta=ad-bc$, $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ при $\Delta\ne0$.
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения коэффициентов при $x$ и при $y$.
- Организовать на доске место для общего алгоритма и отдельную область для типичных ошибок.
- Подготовить таймер на 3–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- При необходимости открыть табличный калькулятор или систему компьютерной алгебры только для последующей проверки вычислений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую задачу нового метода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять готовый алгоритм, а попробуем самостоятельно установить, как определитель помогает найти неизвестные в системе. Подготовьте тетради, ручки и лист самооценки. Запишите дату и тему урока." | Открывают тетради, записывают дату и тему: "Применение определителя для решения системы линейных уравнений". |
2 мин | Учитель показывает на доске систему $\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}$ и обращается к классу: "Представьте, что эта система описывает два ограничения на стоимость двух товаров или два параметра технической модели. Решить систему можно известными способами. Но сегодня мы проверим, можно ли получить ответ, рассматривая только определители коэффициентов. Какой результат мы должны получить?" | Называют известный ответ: "$x=2$, $y=1$"; предполагают: "Нужно найти способ выразить неизвестные через коэффициенты системы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем решать систему, но пока не видим общего компактного алгоритма. Сейчас вспомним необходимые понятия и найдём место, где возникает новый вопрос."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия системы, коэффициентов и определителя второго порядка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устный опрос: "Назовите коэффициенты при неизвестных и свободные члены в системе $\begin{cases}3x-2y=7\\5x+y=4\end{cases}$. Как записывается определитель второго порядка? Какие действия выполняются первыми?" Учитель выделяет цветом коэффициенты при $x$ и $y$. | Отвечают: "$a_1=3$, $b_1=-2$, $c_1=7$, $a_2=5$, $b_2=1$, $c_2=4$"; формулируют: "$\Delta=ad-bc$, сначала перемножаются элементы главной диагонали, затем элементы побочной диагонали, второе произведение вычитается из первого". |
3 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вычислите определитель $\begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}$ сначала самостоятельно, затем сравните решение с соседом. Обязательно проговорите, откуда берётся каждый знак." | Вычисляют $3\cdot1-(-2)\cdot5=13$, сравнивают записи в парах и объясняют: "Минус перед отрицательным произведением превращается в плюс". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как устроен определитель и как внимательно работать со знаками. Теперь выясним, почему одного определителя коэффициентов недостаточно, чтобы сразу получить значения неизвестных."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость вспомогательных определителей и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает систему $\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}$ и главный определитель $\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3$. Затем спрашивает: "Мы получили число $-3$. Но как из него получить отдельно $x$ и $y$? Какие коэффициенты, возможно, нужно заменить?" | Предлагают гипотезы: "Заменить столбец коэффициентов при $x$ свободными членами"; "Для второго неизвестного заменить столбец при $y$". |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы и говорит: "Проверим ваши предположения на конкретном примере. Наша задача — установить правило замены столбца, вычислить новые определители и сравнить результат с уже известным решением. Сформулируйте план работы." | Формулируют план: "Записать главный определитель, заменить первый столбец свободными членами, заменить второй столбец, вычислить три определителя, разделить вспомогательные на главный и проверить ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов. Перейдём к открытию правила, но будем каждый шаг проверять смыслом и вычислениями, а не просто запоминать формулу."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы Крамера для системы двух линейных уравнений и оформить алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Запишем общую систему $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$. Главный определитель составляется из коэффициентов при неизвестных: $\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{vmatrix}$. Какой столбец отвечает за неизвестную $x$? Какой — за $y$?" Учитель записывает ответы на доске и предлагает заменить первый столбец свободными членами. | Отвечают: "Первый столбец отвечает за $x$, второй — за $y$". Записывают $\Delta_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\c_2&b_2\end{vmatrix}$ и объясняют, что первый столбец заменён свободными членами. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь составим определитель для $y$: заменяем второй столбец, а первый оставляем прежним. Получаем $\Delta_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\a_2&c_2\end{vmatrix}$. При ненулевом главном определителе формулы будут иметь вид $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$. Почему обязательно требуется условие $\Delta\ne0$?" | Формулируют: "На ноль делить нельзя"; дополняют: "При нулевом определителе система может не иметь единственного решения". |
3 мин | Учитель разбирает систему: $\begin{cases}2x+y=5\x-y=1\end{cases}$. Говорит: "Вычислим все три определителя вместе. Сначала главный, затем по очереди вспомогательные. Не пропускайте промежуточные равенства." Учитель демонстрирует запись на доске и просит назвать результат каждого вычисления. | Вычисляют: $\Delta=-3$; $\Delta_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6$; $\Delta_y=\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=-3$. Получают $x=2$, $y=1$ и формулируют правило. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: для системы $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ главный определитель $\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{vmatrix}$; вспомогательные определители $\Delta_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\c_2&b_2\end{vmatrix}$, $\Delta_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\a_2&c_2\end{vmatrix}$. При $\Delta\ne0$: $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли не три разрозненные формулы, а единый алгоритм замены столбцов. Теперь проверим его на нескольких системах и научимся проговаривать каждый шаг так, чтобы ошибка была видна сразу."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения системы методом определителей с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с системой $\begin{cases}3x+2y=8\x-2y=0\end{cases}$ и объясняет: "Работаем в парах. Первый ученик составляет определители, второй контролирует соответствие столбцов. Через две минуты поменяйтесь ролями. На карточке должны быть записаны все три определителя и проверка." | Распределяют роли, читают условие и выделяют столбцы коэффициентов. |
4 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт вопросы: "Почему в $\Delta_x$ заменяется именно первый столбец? Проверьте знак в произведении $2\cdot1$. Как вы убедитесь, что найденные числа являются решением?" При необходимости показывает на доске общий шаблон без готовых чисел. | Вычисляют $\Delta=-8$, $\Delta_x=-16$, $\Delta_y=-8$, получают $x=2$, $y=1$. Подставляют значения в оба уравнения и получают равенства $8=8$ и $0=0$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте четыре позиции: главный определитель, два вспомогательных, итоговую проверку. Поставьте отметку напротив каждого верного пункта и запишите одно пожелание." | Проверяют решения по критериям, отмечают сильную сторону и возможную ошибку: "Вычисления верны, но в записи нужно явно указать условие $\Delta\ne0$". |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}3x+2y=8\x-2y=0\end{cases}$: $\Delta=\begin{vmatrix}3&2\\1&-2\end{vmatrix}=3\cdot(-2)-2\cdot1=-8\ne0$. Далее $\Delta_x=\begin{vmatrix}8&2\\0&-2\end{vmatrix}=8\cdot(-2)-2\cdot0=-16$, $\Delta_y=\begin{vmatrix}3&8\\1&0\end{vmatrix}=3\cdot0-8\cdot1=-8$. Поэтому $x=\frac{-16}{-8}=2$, $y=\frac{-8}{-8}=1$. Проверка: $3\cdot2+2\cdot1=8$, $2-2=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы не путаем заменяемый столбец и внимательно считаем знаки. Теперь каждый самостоятельно решит систему, а затем мы рассмотрим, что меняется при нулевом главном определителе."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение анализировать условие применимости метода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки базового и повышенного уровня: базовый вариант — $\begin{cases}2x-3y=7\x+y=1\end{cases}$; повышенный вариант — $\begin{cases}4x-6y=8\\2x-3y=4\end{cases}$. Инструкция: "Сначала определите $\Delta$. Если он ненулевой, продолжайте по формулам Крамера. Если он равен нулю, не подставляйте его в знаменатель, а исследуйте систему сравнением уравнений. Запишите вывод словами." | Индивидуально решают выбранный вариант. Для базового варианта получают $\Delta=5$, $\Delta_x=10$, $\Delta_y=-2$, поэтому $x=2$, $y=-\frac25$. Для повышенного варианта находят $\Delta=0$ и отмечают, что уравнения пропорциональны и система имеет бесконечно много решений. |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран: для базовой системы $\Delta=5$, $\Delta_x=10$, $\Delta_y=-2$; для повышенной системы $\Delta=0$, а коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Говорит: "Сверьте не только ответ, но и структуру записи. Ошибка в одном определителе должна быть найдена по месту возникновения." | Сверяют решения, подчёркивают место расхождения, исправляют вычисления другим цветом и отмечают результат в листе самооценки. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Можно ли применить формулу $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ при $\Delta=0$? Какой вывод делает ненулевой главный определитель?" | Отвечают: "Нет, деление на ноль невозможно"; "Система имеет единственное решение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили алгоритм самостоятельно и увидели границу его применения. Осталось встроить новый способ в систему уже известных методов и сформулировать, когда он особенно удобен."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутная формула": "За одну минуту запишите алгоритм решения системы методом определителей пятью короткими шагами. Не переписывайте объяснение — выделите только действия." | Записывают: "1) найти $\Delta$; 2) найти $\Delta_x$; 3) найти $\Delta_y$; 4) разделить на $\Delta$; 5) выполнить проверку". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете решить систему самостоятельно; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если осталось принципиальное затруднение. В тетради допишите: "Самая частая моя ошибка..."" | Поднимают карточки, фиксируют личную трудность: "путаю столбцы", "ошибаюсь в знаках", "не понимаю случай $\Delta=0$". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, но базовый обязателен для всех. Перед выходом ответьте устно: при каком условии система имеет единственное решение и что означает замена столбца?" | Фиксируют домашнее задание и отвечают: "$\Delta\ne0$; заменяем столбец коэффициентов свободными членами для соответствующей неизвестной". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не только получили формулы Крамера, но и восстановили их логику через структуру системы. На следующем уроке сравним метод определителей с методом Гаусса и обсудим, какой способ рациональнее выбирать в разных ситуациях."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены система на карточке и проверочное задание, правильно вычислены $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$, указано условие $\Delta\ne0$, выполнена проверка подстановкой; запись последовательная и аккуратная.
- "4" — решение в основном верно, но допущена одна несущественная вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; алгоритм и условие применимости указаны.
- "3" — правильно определена структура определителей и начат алгоритм, но допущены ошибки в одном или двух вычислениях либо отсутствует полная проверка; после подсказки решение может быть завершено.
- Ниже базового уровня — перепутаны столбцы, не вычислен главный определитель или не сделан вывод о возможности применения формул.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи системы и определителей? | Выявление осознания формул Крамера и происхождения вспомогательных определителей. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: вычисление $\Delta$, замена столбца, деление или проверка? | Выявление точек затруднения для коррекционной работы. |
Почему нельзя применять формулы Крамера при $\Delta=0$? | Проверка понимания условия применимости метода, а не механического запоминания. |
Какая ошибка наиболее вероятна в вашей записи и как вы будете её предупреждать? | Формирование навыка самоконтроля и осознанной коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что решение системы можно получить через главный и вспомогательные определители. Главная точка контроля — правильная замена нужного столбца и внимательная работа со знаками. Если главный определитель равен нулю, формула Крамера не применяется автоматически: систему нужно исследовать отдельно. На следующем уроке мы сравним этот метод с методом Гаусса и обсудим, как выбирать наиболее рациональный способ решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 системы двух линейных уравнений с целыми коэффициентами и единственным решением методом определителей; для каждой системы вычислить $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ и выполнить проверку подстановкой. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильную замену столбцов, знаки и наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 системы, среди которых есть системы с дробными коэффициентами или дробными значениями неизвестных; одну систему дополнительно решить методом подстановки и сравнить записи. | Развивает вычислительную точность и умение сопоставлять методы; проверить совпадение ответов и обоснованность выбора способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 2 системы с $\Delta=0$: определить, имеют ли они бесконечно много решений или не имеют решений, и письменно объяснить, почему формулы Крамера неприменимы. | Формирует анализ особых случаев и понимание границ алгоритма; при проверке смотреть на сравнение коэффициентов и свободных членов. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как вычисляется определитель второго порядка? Как составляется $\Delta_x$? Как составляется $\Delta_y$? При каком условии система имеет единственное решение? Почему результат нужно проверять подстановкой?"
