Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы 2×2, вычисление его значения и свойства
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться составлять матрицу коэффициентов системы двух линейных уравнений, вычислять определитель матрицы 2×2 по формуле $\Delta=ad-bc$ и применять основные свойства определителя при решении учебных задач.
- Познакомить учащихся с понятием матрицы системы линейных уравнений и определителя квадратной матрицы.
- Сформировать умение выделять матрицу коэффициентов системы и находить значение её определителя.
- Организовать исследование свойств определителя матрицы 2×2 на конкретных примерах.
- Развивать умение обосновывать ход решения, выполнять самопроверку и связывать новый материал с изучением систем линейных уравнений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение матриц и определителей как языка описания и исследования систем уравнений.
- Проявляют познавательный интерес к теоретическим математическим моделям, связанным с будущим обучением и профессиональной деятельностью.
- Развивают ответственность за точность записи коэффициентов и знаков при вычислениях.
- Формируют готовность самостоятельно проверять полученный результат и корректировать ошибочное решение.
Метапредметные
- Извлекают коэффициенты из записи системы и представляют их в виде матрицы.
- Сравнивают результаты вычислений, выявляют закономерности и формулируют свойства определителя.
- Планируют последовательность решения: выделение коэффициентов, составление матрицы, вычисление определителя, проверка.
- Аргументированно представляют решение в паре и оценивают корректность математической записи.
Предметные
- Знать, что матрица является прямоугольной таблицей элементов, а её размер задаётся количеством строк и столбцов.
- Знать, что определитель вычисляют только для квадратной матрицы и обозначают $\det A$, $|A|$ или $\Delta$.
- Уметь составлять матрицу коэффициентов системы линейных уравнений с двумя неизвестными.
- Уметь вычислять определитель матрицы 2×2 по формуле $\Delta=ad-bc$.
- Уметь применять свойства определителя матрицы 2×2 и объяснять влияние перестановки строк или пропорциональности строк на его значение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться безошибочно переходить от системы к матрице коэффициентов.
- Осмысливают практическую ценность точной математической записи.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки вычисленного определителя.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм в незнакомой задаче.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют действия по алгоритму вычисления определителя.
- Контролируют порядок множителей и знаки в выражении $ad-bc$.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень освоения материала по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы матрицы: строки, столбцы, главную и побочную диагонали.
- Преобразуют систему уравнений в матрицу коэффициентов.
- Анализируют несколько определителей и выявляют закономерности.
- Моделируют вычисление определителя формулой $ad-bc$.
- Используют знаково-символические средства для обоснования свойств определителя.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о порядке расположения коэффициентов в матрице.
- Объясняют партнёру смысл главной и побочной диагоналей.
- Согласовывают общий вывод при исследовании свойств определителя.
- Аргументируют ответ, используя математические обозначения и последовательные рассуждения.
- Корректно указывают на ошибку в решении и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями матрицы, квадратной матрицы и определителя.
- Распечатать карточки с системой $\begin{cases}2x-3y=5\x+7y=4\end{cases}$ и заданиями на составление матрицы коэффициентов — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парного исследования свойств определителя — по одной на пару.
- Вывести на доску памятку: для матрицы $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ имеем $\Delta=ad-bc$.
- Подготовить отдельные листы с эталоном решения для самопроверки после самостоятельной работы.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор».
- Подготовить таймер или часы для ограничения времени парной и индивидуальной работы.
- Обеспечить наличие доски, маркеров, проектора или интерактивной доски и тетрадей учащихся.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать, что систему уравнений можно компактно представить специальной таблицей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем работать не только с уравнениями, но и с их компактной записью в виде таблицы. Важно будет внимательно следить за расположением коэффициентов и знаками." | Готовят тетради и ручки, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске систему $\begin{cases}2x-3y=5\x+7y=4\end{cases}$ и спрашивает: "Какие числа в этой записи являются коэффициентами при неизвестных? Можно ли выписать их отдельно, сохранив порядок строк и столбцов? Какую математическую пользу может дать такая запись?" Учитель фиксирует предположения учащихся и объявляет приём «Проблемный вопрос». | Называют коэффициенты: "2, -3, 1, 7"; предлагают расположить их в таблице из двух строк и двух столбцов; предполагают: "Так будет удобнее исследовать систему". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что коэффициенты системы можно представить отдельно, не теряя их порядка. Сейчас уточним, как называется такая таблица и какое число можно вычислить для неё."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия системы линейных уравнений, коэффициента, строки, столбца и произведения чисел со знаком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним строение системы двух линейных уравнений. В записи $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ какие числа относятся к коэффициентам при неизвестных? Какие числа являются свободными членами?" Учитель записывает ответы в две колонки на доске. | Называют коэффициенты $a_1,b_1,a_2,b_2$ и свободные члены $c_1,c_2$; объясняют, что коэффициент стоит перед соответствующей неизвестной. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд определите, сколько строк и столбцов будет в таблице из четырёх коэффициентов. Затем обсудите с соседом, почему первая строка должна соответствовать первому уравнению." После обсуждения просит две пары сформулировать ответ. | Сначала индивидуально определяют размер 2×2, затем обсуждают в парах. Формулируют: "Две строки соответствуют двум уравнениям, а два столбца — коэффициентам при $x$ и $y$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что порядок коэффициентов отражает структуру системы. Теперь проверим, достаточно ли просто записать таблицу или для неё существует специальная числовая характеристика."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает две матрицы: $A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&7\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}2&1\\-3&7\end{pmatrix}$. Учитель спрашивает: "В матрицах находятся одни и те же числа. Почему их нельзя считать одной и той же записью? Как определить, какие произведения связаны с главной и побочной диагоналями?" | Сравнивают расположение элементов, указывают на разные строки и столбцы; отвечают: "Положение элемента имеет значение". |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Сегодня нам нужно научиться составлять матрицу коэффициентов, понять, что такое определитель, вычислять его для матрицы 2×2 и проверить, как меняется результат при перестановке элементов или строк." Учитель записывает цель на доске. | Записывают тему и цель урока; формулируют план: "Сначала определить матрицу, затем вывести формулу, вычислить примеры и исследовать свойства". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно научиться получать из квадратной таблицы одно число по определённому правилу и понимать смысл этого правила. Перейдём к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия матрицы коэффициентов и определителя матрицы 2×2, вывести и применить формулу вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает определение: "Матрица — это прямоугольная таблица элементов. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита." Затем показывает матрицу $A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&7\end{pmatrix}$ и спрашивает: "Каков её размер? Какие числа образуют первую и вторую строки?" | Записывают определение; отвечают: "Матрица имеет размер 2×2; первая строка — 2 и -3, вторая — 1 и 7". |
4 мин | Учитель продолжает: "Определитель, или детерминант квадратной матрицы, — это число, которое находят по специальным правилам, используя элементы данной матрицы. Определитель вычисляют только для квадратной матрицы. Для матрицы $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ произведение элементов главной диагонали равно $ad$, а побочной — $bc$. Поэтому $\Delta=ad-bc$." На доске по шагам вычисляет определитель матрицы $A$. | Выделяют главную диагональ $a,d$ и побочную $b,c$; записывают формулу; выполняют вычисление: $\Delta=2\cdot7-(-3)\cdot1=14+3=17$. |
3 мин | Учитель предлагает связать формулу с системой: "Составим матрицу коэффициентов системы $\begin{cases}2x-3y=5\x+7y=4\end{cases}$. В матрицу входят только коэффициенты при неизвестных, а свободные члены не входят. Проверьте, совпадает ли полученный определитель с вычислением по формуле." | Составляют матрицу $A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&7\end{pmatrix}$, вычисляют $\Delta=17$, проговаривают алгоритм: "Выбрать элементы главной диагонали, перемножить; выбрать элементы побочной диагонали, перемножить; вычесть второе произведение из первого". |
Запись в тетрадях
Матрица — прямоугольная таблица элементов. Определитель вычисляют только для квадратной матрицы. Для $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$: $\Delta=\det A=|A|=ad-bc$. Матрица коэффициентов системы $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ имеет вид $A=\begin{pmatrix}a_1&b_1\a_2&b_2\end{pmatrix}$.
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}2x-3y=5\x+7y=4\end{cases}$ матрица коэффициентов $A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&7\end{pmatrix}$. Главная диагональ: $2$ и $7$, побочная диагональ: $-3$ и $1$. Поэтому $\Delta=2\cdot7-(-3)\cdot1=14+3=17$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили формулу $\Delta=ad-bc$ и проверили её на матрице коэффициентов системы. Теперь исследуем, что происходит с определителем при специальных изменениях матрицы."
Этап 5. Исследование свойств определителя и первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: самостоятельно обнаружить основные свойства определителя матрицы 2×2 и закрепить вычислительный алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с матрицами $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}c&d\a&b\end{pmatrix}$ и $C=\begin{pmatrix}ka&kb\c&d\end{pmatrix}$. Инструкция: "Вычислите определители символически. Сравните результаты. Запишите вывод одним предложением. Работает приём «Исследовательская пара»." | В парах вычисляют $\det A=ad-bc$, $\det B=cb-da=-(ad-bc)$, $\det C=kad-bc$. Формулируют: "При перестановке строк определитель меняет знак; умножение одной строки на $k$ умножает определитель на $k$". |
2 мин | Учитель предлагает проверить ещё два случая: "Что произойдёт, если две строки матрицы совпадают? А если одна строка пропорциональна другой? Рассмотрите $D=\begin{pmatrix}a&b\a&b\end{pmatrix}$ и $E=\begin{pmatrix}a&b\ka&kb\end{pmatrix}$." | Вычисляют $\det D=ab-ba=0$ и $\det E=akb-bka=0$. Формулируют свойство: "Если строки равны или пропорциональны, определитель равен нулю". |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку: "Поднимите зелёную карточку, если определитель матрицы 2×2 вычисляют как разность диагональных произведений; жёлтую — если осталось сомнение; красную — если нужен разбор." Разбирает одну типичную ошибку: замена $ad-bc$ на $ad+bc$. | Показывают карточки; объясняют, что знак перед вторым произведением всегда отрицательный; исправляют ошибочную запись в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили формулу, а проверили свойства определителя вычислением. Сейчас каждый индивидуально применит алгоритм к новой системе и матрице."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами составления матрицы и вычисления определителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: составить матрицу коэффициентов системы $\begin{cases}3x+2y=1\\5x-y=6\end{cases}$ и найти её определитель. Базовый с усложнением: для $B=\begin{pmatrix}4&-1\\2&3\end{pmatrix}$ найти $\det B$. Повышенный вариант: объяснить, почему определитель матрицы $C=\begin{pmatrix}6&4\\3&2\end{pmatrix}$ равен нулю. | Индивидуально записывают матрицу $A=\begin{pmatrix}3&2\\5&-1\end{pmatrix}$ и вычисляют $\Delta=3\cdot(-1)-2\cdot5=-13$; для $B$ получают $14$; для $C$ получают $12-12=0$ и объясняют пропорциональность строк. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сначала проверяем порядок коэффициентов, затем выделяем диагонали и только после этого выполняем вычисления. Сверьте не только ответ, но и запись решения." | Сопоставляют свою работу с эталоном, подчёркивают совпавшие шаги, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы самопроверки: "Где вы могли потерять знак? Что проверяете первым при составлении матрицы? Почему свободные члены не попали в матрицу коэффициентов?" | Отвечают письменно или устно: "Проверяем знак у второго произведения, порядок строк и столбцов; свободные члены не являются коэффициентами при неизвестных". |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}3x+2y=1\\5x-y=6\end{cases}$ матрица коэффициентов $A=\begin{pmatrix}3&2\\5&-1\end{pmatrix}$. Определитель: $\Delta=3\cdot(-1)-2\cdot5=-3-10=-13$. Для $B=\begin{pmatrix}4&-1\\2&3\end{pmatrix}$: $\det B=4\cdot3-(-1)\cdot2=12+2=14$. Для $C=\begin{pmatrix}6&4\\3&2\end{pmatrix}$: $\det C=6\cdot2-4\cdot3=0$; вторая строка пропорциональна первой с коэффициентом $\frac12$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм можно выполнить самостоятельно: сначала составить матрицу, затем вычислить два произведения и найти их разность. Осталось зафиксировать, что именно стало понятным и какие шаги требуют дополнительного внимания."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить мини-лист самооценки: "Закончите три фразы: «Я могу составить…», «Я умею вычислить…», «Мне нужно ещё потренироваться…». Отметьте также цветом светофора свою уверенность." | Записывают: "Я могу составить матрицу коэффициентов"; "Я умею вычислить $ad-bc$"; называют конкретное затруднение, например: "мне нужно потренироваться со знаками". |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельной строке запишите определитель матрицы $A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}$ и одним предложением объясните, почему определитель равен нулю у матрицы с пропорциональными строками." | Вычисляют $\det A=1\cdot4-(-2)\cdot3=10$; формулируют: "При пропорциональных строках произведения $ad$ и $bc$ равны, поэтому их разность равна нулю". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. При выполнении обязательно записывайте матрицу коэффициентов, выделяйте диагонали и показывайте оба произведения." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились представлять систему линейных уравнений матрицей и вычислять определитель 2×2. На следующем уроке будем использовать эту запись для дальнейшего исследования систем уравнений и способов их решения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно составлена матрица коэффициентов, без ошибок вычислены определители всех предложенных матриц, верно применены минимум два свойства и приведено обоснование.
- «4» — матрица составлена верно, вычисления в основном правильны, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, свойства определителя сформулированы с незначительной неточностью.
- «3» — верно выполнена базовая часть: составлена матрица коэффициентов и вычислен хотя бы один определитель по формуле, но имеются ошибки в знаках или объяснении свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о матрице коэффициентов системы? | Проверка осознания связи между системой уравнений и матрицей. |
Какие элементы образуют главную и побочную диагонали матрицы 2×2? | Выявление понимания структуры формулы $ad-bc$. |
На каком шаге вычисления определителя вы можете допустить ошибку? | Выявление точек затруднения, особенно связанных со знаками. |
Какое свойство определителя вы сможете объяснить своими словами? | Проверка осмысленного, а не формального усвоения материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились переводить систему двух линейных уравнений в матрицу коэффициентов и вычислять определитель матрицы 2×2. Главное правило — из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали: $\Delta=ad-bc$. Особое внимание обращайте на отрицательные коэффициенты и на порядок строк. На следующем уроке мы продолжим исследовать системы уравнений и увидим, какую роль играет ненулевой определитель в их решении."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для четырёх систем линейных уравнений с двумя неизвестными выписать матрицу коэффициентов и вычислить её определитель по формуле $\Delta=ad-bc$. | Закрепляет переход от системы к матрице и алгоритм вычисления; при проверке смотреть на порядок коэффициентов и знаки. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на исследование свойств: вычислить определитель после перестановки строк, после умножения одной строки на число и для матрицы с пропорциональными строками. | Формирует умение применять свойства определителя; при проверке смотреть на объяснение изменения знака, множителя или получения нуля. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару матриц 2×2 с одинаковыми элементами, но разным расположением, вычислить оба определителя и письменно объяснить, почему результаты различаются. | Развивает исследовательское и символическое мышление; при проверке учитывать корректность примера и аргументацию через диагональные произведения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Для какой матрицы можно вычислять определитель?», «Как записывается формула определителя матрицы 2×2?», «Какие коэффициенты входят в матрицу системы линейных уравнений?», «Когда определитель матрицы 2×2 равен нулю?»
