Логарифмические неравенства: алгоритм решения и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать логарифмические неравенства основных типов с учётом области допустимых значений и монотонности логарифмической функции, объясняя выбор направления знака неравенства.
- Сформировать умение составлять область допустимых значений и применять свойства логарифмической функции при решении неравенств.
- Отработать решение логарифмических неравенств на базовом, повышенном и исследовательском уровнях.
- Развивать математическую речь, умение сравнивать способы решения, работать в паре и проверять результат с помощью графика.
- Формировать ответственное отношение к записи решения и готовность использовать цифровые инструменты для самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной математической модели для решения задач, связанных с экономикой, информатикой и естественными науками.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки ответа.
- Понимают необходимость проверки области допустимых значений как условия достоверности результата.
- Развивают уверенность при обсуждении математического решения и аргументированной защите собственной позиции.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения: ОДЗ, преобразование, учёт основания, запись ответа и проверка.
- Сравнивают аналитическое и графическое решение, выделяют существенные условия и обнаруживают ошибку.
- Используют ЭОР и графический калькулятор для проверки гипотезы, не подменяя рассуждение цифровым ответом.
- Формулируют вопросы, распределяют роли в паре и аргументируют полученный результат.
Предметные
- Знать условия существования логарифма и свойства монотонности функции $y=\log_a x$.
- Уметь решать неравенства вида $\log_a f(x)>b$ и $\log_{f(x)}g(x)>c$ с учётом ОДЗ.
- Уметь определять направление перехода к сравнению аргументов при $a>1$ и $0<a<1$.
- Владеть навыком записи ответа в виде промежутка или объединения промежутков и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке и выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и аккуратной записи математического решения.
- Проявляют готовность корректировать ошибку без отказа от дальнейшей работы.
- Связывают изучаемый материал с задачами анализа данных и дальнейшим обучением.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу из проблемного диалога и формулируют план её решения.
- Контролируют наличие ОДЗ, знак основания и соответствие ответа исходному неравенству.
- Оценивают решение по предложенным критериям и исправляют найденные ошибки.
- Распределяют время между обязательным и дополнительным заданиями.
Познавательные УУД
- Извлекают условия из записи логарифмического неравенства и переводят их в математическую модель.
- Классифицируют неравенства по виду основания и аргументов.
- Устанавливают причинно-следственную связь между монотонностью функции и направлением знака.
- Моделируют решение на числовой прямой и проверяют его графически.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о домене, основании и границах ответа.
- Аргументируют переходы в решении, используя математические термины.
- Корректно принимают замечания партнёра и согласовывают итоговую запись.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным неравенством, памяткой алгоритма, заданиями трёх уровней и слайдом для самопроверки.
- Распечатать карточки базового, повышенного и исследовательского уровня: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать лист самооценки и мини-карту критериев: по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парной работы с одинаковыми заданиями и отдельными ответами для взаимопроверки.
- Вывести на экран интерактивный графический материал с функциями $y=\log_a x$ при $a>1$ и $0<a<1$.
- Подготовить ноутбук учителя, проектор или интерактивную доску, доступ к ЭОР с графическим калькулятором и устойчивое интернет-соединение.
- Записать на доске тему, ключевые условия $a>0$, $a\ne1$, $x>0$ и обозначения уровней сложности.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут для самостоятельной и парной работы.
- Заранее проверить, что ЭОР позволяет построить графики и отметить точки пересечения без регистрации учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и обозначить связь темы с будущими математическими и прикладными задачами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: «Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько проверять решения и находить условия, без которых ответ может оказаться неверным. На экране показано неравенство, а рядом — два разных ответа. Ваша задача — определить, какой ответ вызывает доверие, и назвать условие, которое нужно проверить первым». | Рассматривают экран, сравнивают два ответа и формулируют предположение: «Сначала нужно проверить область допустимых значений». |
2 мин | Учитель показывает на экране неравенство $\log_{1/2}(x-1)>2$ и обращается к классу: «Не решайте его полностью. Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите с соседом. Что изменится из-за основания, меньшего единицы? Приём называется “Подумай — обсуди в паре — поделись”». | Сначала записывают предположение, затем обсуждают его в паре и сообщают: «Аргумент должен быть положительным, а при основании меньше единицы знак изменится». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что в логарифмическом неравенстве важны не только преобразования, но и два контроля: область допустимых значений и монотонность. Сейчас восстановим алгоритм, чтобы применять его без пропусков».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать условия существования логарифма и свойства монотонности логарифмической функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран четыре утверждения и говорит: «Отметьте в тетради В или Н, а затем объясните один выбранный ответ: 1) логарифм существует при любом аргументе; 2) основание может быть равно единице; 3) при $a>1$ функция возрастает; 4) при $0<a<1$ функция убывает. Не просто называйте букву, а добавляйте условие». | Отмечают: «Н, Н, В, В»; формулируют условия: «Аргумент положителен, основание положительно и не равно единице». |
3 мин | Учитель предлагает устно восстановить таблицу: «Что происходит при переходе от $\log_a u>\log_a v$ к сравнению $u$ и $v$? Заполните пропуски на доске: при $a>1$ знак ..., при $0<a<1$ знак ...». Учитель просит одного ученика обосновать ответ графиком. | Заполняют таблицу: «При $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ меняется». Показывают на графике возрастание и убывание функции. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Опорные факты восстановлены: допустимость аргумента и монотонность основания. Теперь проверим, достаточно ли помнить только эти правила, когда в неравенстве аргумент содержит переменную».
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить типичную ошибку и совместно сформулировать алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два решения: $\log_2(x-3)>1\Rightarrow x-3>1\Rightarrow x>4$ и $\log_{1/2}(x-3)>1\Rightarrow x-3>1\Rightarrow x>4$. Учитель спрашивает: «Оба решения выглядят почти одинаково. Можно ли принять второе без проверки? Какой шаг пропущен?» | Находят ошибку и отвечают: «При основании $1/2$ знак должен измениться; кроме того, нужно записать $x-3>0$». |
3 мин | Учитель направляет диалог: «Сформулируйте порядок действий так, чтобы алгоритм защищал от обеих ошибок. Какие пункты должны появиться в памятке?». Учитель фиксирует предложения на доске и уточняет формулировки. | Предлагают алгоритм: «Записать ОДЗ; определить основание; применить монотонность; решить полученное неравенство; пересечь с ОДЗ; записать ответ и проверить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) записать ОДЗ; 2) определить, возрастает или убывает логарифмическая функция; 3) перейти к сравнению аргументов; 4) решить систему условий; 5) выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сами построили рабочий алгоритм. Дальше применим его сначала вместе, затем в парах и индивидуально, причём задания будут разного уровня сложности».
Этап 4. Практическое открытие и разбор образца (8 мин)
Цель этапа: отработать полный алгоритм на неравенстве с постоянным основанием и осознать необходимость пересечения условий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: «Решим вместе неравенство $\log_2(x-1)\leq3$. Сначала не называйте ответ. Запишите ОДЗ, определите монотонность, затем выполните переход. Я буду фиксировать каждый шаг на доске, а вы проверяйте, не пропущено ли условие». Учитель задаёт вопросы: «При каком $x$ существует логарифм? Как меняется знак?» | Записывают $x-1>0$, то есть $x>1$; отмечают, что при $2>1$ функция возрастает; получают $x-1\leq8$, то есть $x\leq9$; объединяют условия и записывают $x\in(1;9]$. |
2 мин | Учитель показывает графическую проверку в ЭОР: «На экране построены $y=\log_2(x-1)$ и $y=3$. Посмотрите на область определения и взаимное положение графиков. Совпадает ли графический ответ с аналитическим?» | Сопоставляют графики с решением и формулируют: «Решение находится правее вертикальной асимптоты $x=1$ и до точки пересечения $x=9$ включительно». |
2 мин | Учитель предлагает короткий контрпример: «Что изменится в неравенстве $\log_{1/2}(x-1)>2$? Обсудите с соседом одну минуту и назовите только цепочку переходов». | В парах получают $x-1<1/4$ при $x>1$, поэтому $x\in(1;1{,}25)$; объясняют изменение знака. |
Эталон решения
Для $\log_2(x-1)\leq3$: ОДЗ $x-1>0$, значит $x>1$. Так как $2>1$, функция возрастает: $x-1\leq2^3=8$. Получаем $x\leq9$. Пересечение условий: $x\in(1;9]$. Для $\log_{1/2}(x-1)>2$: $x>1$; основание меньше единицы, поэтому $x-1<(1/2)^2=1/4$; следовательно, $1<x<5/4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Образец показал, что ответ возникает только после пересечения нового условия с ОДЗ. Теперь вы примените алгоритм в парах и получите взаимную проверку, а не готовую подсказку учителя».
Этап 5. Парная практическая работа и взаимопроверка (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях базового и среднего уровня через распределение ролей и аргументацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки парам и объясняет: «В первой задаче один ученик решает, второй проверяет каждый пункт алгоритма. Во второй задаче поменяйтесь ролями. Проверяющий не исправляет молча, а задаёт вопрос: “Где учтена ОДЗ?” или “Почему знак сохранился?”». | Распределяют роли, подписывают карточку именами и готовят ручки двух цветов для решения и проверки. |
4 мин | Учитель предлагает задания: А) решить $\log_3(2x-1)>2$; Б) решить $\log_{1/3}(5-x)\geq1$. Обходит пары, задаёт проблемные вопросы и не сообщает ответ сразу: «Как пересекаются ограничения? Почему точка включается или не включается?» | Решают в парах. Для А получают $x>5$; для Б записывают $x<5$ и $5-x\leq1/3$, то есть $x\geq14/3$, поэтому $x\in[14/3;5)$. Проверяют записи партнёра. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран и организует приём «Две звезды и пожелание»: «Назовите две сильные стороны решения партнёра и один конкретный совет. Совет должен относиться к ОДЗ, знаку или записи ответа». | Сверяют решения с эталоном, отмечают две удачные стороны и один совет: например, «верно определено основание», «аккуратно изображен промежуток», «нужно явно записать ОДЗ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы увидели, что одна и та же ошибка быстро обнаруживается вопросом по алгоритму. Теперь каждый выберет уровень и покажет, насколько самостоятельно умеет применять этот способ».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и ИКТ-проверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма на заданиях трёх уровней и сформировать навык цифровой самопроверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: «Выберите один обязательный вариант и при готовности переходите к следующему. Базовый вариант проверяет алгоритм, повышенный содержит переменное основание, продвинутый требует анализа. Выбор уровня не является оценкой личности: важно выполнить работу честно и объяснить шаги». | Выбирают карточку: базовый, повышенный или продвинутый; записывают выбранный уровень в лист самооценки. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый: решить $\log_2(x+2)<3$ и $\log_{1/4}(3x-6)\leq0$. Повышенный: решить $\log_{x}(4-x)>1$. Продвинутый: исследовать, при каких значениях параметра $a$ неравенство $\log_a(x-1)\geq2$ имеет решения на отрезке $[2;5]$. Учитель напоминает: «Полное решение начинается с условий существования». | Индивидуально решают выбранные задания, отмечают ОДЗ и строят числовую прямую. Для цифровой проверки вводят исходную функцию и граничную прямую в ЭОР, сравнивают область знакопостоянства с аналитическим ответом. |
4 мин | Учитель показывает ответы и предлагает самоконтроль: «Не переписывайте решение с экрана. Сначала поставьте знак рядом с каждым своим шагом: верно, требует исправления, не понял. Затем исправьте только одну главную ошибку и объясните её в листе самооценки». | Сверяют результат, исправляют решение цветной ручкой, формулируют причину ошибки. Возможный вывод для продвинутого задания: при $a>1$ требуется $a^2\leq x-1$; при $0<a<1$ требуется $a^2\geq x-1$, после анализа отрезка определяют допустимые значения параметра. |
Эталон решения
Для $\log_2(x+2)<3$: ОДЗ $x>-2$; основание больше единицы, поэтому $x+2<8$, то есть $x<6$; ответ $x\in(-2;6)$. Для $\log_{1/4}(3x-6)\leq0$: ОДЗ $x>2$; основание меньше единицы, поэтому $3x-6\geq1$, откуда $x\geq7/3$; ответ $x\in[7/3;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, где алгоритм уже стал устойчивым, а где требуется дополнительная тренировка. Цифровой график помог проверить гипотезу, но правильность ответа обеспечила ваша запись условий и рассуждений».
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: связать логарифмические неравенства с интерпретацией данных и осознать результат собственной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране модель затухания сигнала: $I(t)=I_0\cdot2^{-t}$. «В инженерной задаче требуется определить моменты, когда интенсивность не превышает четверти начальной. Запишите неравенство $2^{-t}\leq1/4$ и объясните, почему логарифмические преобразования позволяют найти границу времени». | Записывают $t\geq2$ и объясняют: «Показатель степени нужно сравнить после перехода к логарифмической форме; результат задаёт допустимый интервал времени». |
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и задаёт вопросы: «Что сегодня стало алгоритмом? На каком шаге возникло затруднение? Какой уровень вы готовы выбрать в следующий раз? Отметьте зелёный, жёлтый или красный цвет и запишите один вопрос». | Заполняют самооценку, выбирают цвет, формулируют ответы: «Умею составлять ОДЗ», «путаю знак при основании меньше единицы», «готов перейти к повышенному уровню». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы применили логарифмические неравенства не только в чисто математической записи, но и в модели затухания сигнала. Осталось зафиксировать критерии качества и выбрать домашнюю траекторию».
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и объяснить дифференцированное домашнее задание. Этап объединён с рефлексией в пределах последней минуты организационного времени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает: «Домашнее задание выбирается по уровню, но обязательным для всех остаётся базовый вариант. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: какое условие записывают первым; когда знак меняется; зачем проверять ответ по ОДЗ?». | Устно отвечают: «Сначала ОДЗ; знак меняется при основании от нуля до единицы; ОДЗ исключает недопустимые значения». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба задания базового уровня или одно задание повышенного уровня, записаны ОДЗ, обосновано направление знака, ответ отмечен на числовой прямой и выполнена проверка.
- «4» — решение в основном верное, но допущена одна неточность в записи ОДЗ, оформлении промежутка или графической проверке, не повлиявшая на основную идею.
- «3» — верно определён тип основания и начат алгоритм, но допущена ошибка при переходе к сравнению или пересечении условий; решение содержит не менее двух осмысленных шагов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма вы теперь выполняете автоматически? | Выявление сформированного предметного действия. |
В каком месте решения сегодня возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Что изменяется при основании $0<a<1$ и почему? | Проверка понимания связи между монотонностью и знаком неравенства. |
Какой уровень задания вы выберете на следующем уроке? | Формирование самооценки и индивидуальной образовательной траектории. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы убедились, что решение логарифмического неравенства начинается не с механического перехода к аргументам, а с проверки ОДЗ и основания. Типичная ошибка — сохранить знак при основании меньше единицы или забыть пересечь результат с областью допустимых значений. Использование ЭОР помогает увидеть графический смысл ответа, но не заменяет математического обоснования. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные неравенства, в которых потребуется преобразование выражений и анализ нескольких промежутков».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 логарифмических неравенства с постоянными основаниями: два при $a>1$ и два при $0<a<1$; в каждом решении явно записать ОДЗ и изобразить ответ на числовой прямой. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на ОДЗ, изменение знака и правильность концов промежутка. |
Средний (повышающий) | Решить 3 неравенства с переменными аргументами и одно неравенство с переменным основанием; выполнить графическую проверку одного выбранного задания в ЭОР. | Развивает перенос алгоритма на более сложную структуру; проверять обоснованность условий существования основания и аргумента. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать параметр в неравенстве вида $\log_a(x-1)\geq2$ на заданном отрезке и составить краткое объяснение для одноклассника, почему ответ зависит от промежутков $a>1$ и $0<a<1$. | Формирует исследовательское мышление и умение аргументировать случаи; при проверке оценивать полноту разбора параметра и связь с монотонностью. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Каковы условия существования $\log_a f(x)$? В каком случае знак неравенства меняется? Почему окончательный ответ нужно пересекать с ОДЗ? Назовите один способ графической проверки решения».
