Функции и графики. Степень с целым показателем
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать функции вида $y=x^n$ при целом показателе $n$, описывать их свойства и строить эскизы графиков для показателей $n=-2$, $n=-1$, $n=2$, $n=3$ с опорой на таблицу значений и преобразования.
- Сформировать представление о влиянии чётности и знака целого показателя на область определения, область значений, чётность функции и расположение графика.
- Научиться устанавливать соответствие между формулой, таблицей значений и графиком функции вида $y=x^n$.
- Развивать умение проверять гипотезы по графику, работать с учебным текстом и цифровой моделью в паре.
- Формировать ответственное отношение к математической записи, взаимопроверке и самостоятельному выбору способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение исследования функций для дальнейшего изучения математики, физики, информатики и экономических моделей.
- Проявляют познавательную самостоятельность при выдвижении и проверке гипотез о графиках.
- Принимают необходимость точной записи области определения и ограничений на переменную.
- Развивают готовность аргументированно оценивать собственное решение и учитывать мнение партнёра.
Метапредметные
- Извлекают из учебного текста признаки функций $y=x^n$ и преобразуют их в краткую схему.
- Сравнивают графики по заданным критериям: симметрия, промежутки знакопостоянства, область определения и область значений.
- Используют цифровой графический инструмент для проверки предположений, не заменяя исследование математическим рассуждением.
- Планируют последовательность построения графика, осуществляют взаимопроверку и корректируют ошибки.
- Формулируют выводы в устной и письменной форме, приводя математические основания.
Предметные
- Знать общий вид степенной функции $y=x^n$ при целом показателе $n$ и особенности отрицательного показателя.
- Уметь находить область определения функций $y=x^n$ для чётных, нечётных и отрицательных показателей.
- Уметь строить таблицу значений и эскиз графика функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$, $y=x^{-2}$.
- Уметь определять чётность функции по формуле и подтверждать её симметрией графика.
- Владеть алгоритмом сопоставления формулы степенной функции и её графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока и соотносят его с дальнейшим изучением функций.
- Осознают ценность точности, доказательности и самостоятельной проверки математического вывода.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при исследовании неизвестного графика.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по проблемному вопросу и принимают план действий.
- Планируют построение графика через область определения, таблицу значений и свойства функции.
- Сверяют результат с цифровым графиком и эталоном, находят расхождения.
- Корректируют таблицу или эскиз после взаимопроверки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки степенной функции в учебном тексте.
- Классифицируют функции по чётности и знаку показателя.
- Устанавливают причинно-следственную связь между ограничением $x\ne0$ и видом графика.
- Моделируют зависимость значений функции от аргумента в таблице и на координатной плоскости.
- Анализируют ошибочные графики и обосновывают исправление.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, построитель, докладчик или проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе области определения и расположении графика.
- Аргументируют выводы, используя термины «чётная», «нечётная», «область определения», «область значений».
- Согласовывают общий ответ и корректно указывают партнёру на ошибку.
- Представляют результат исследования классу в краткой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, четырьмя формулами $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$, $y=x^{-2}$ и пустыми координатными плоскостями.
- Открыть на компьютере и проверить графический сервис или приложение для построения функций; заранее ввести функции для демонстрации.
- Распечатать карточки для пар: по одному комплекту на парту, всего по числу пар в классе; в комплекте формулы, таблицы и четыре эскиза графиков.
- Подготовить лист самооценки на каждого ученика с пунктами «определяю область определения», «строю таблицу», «объясняю симметрию».
- Подготовить краткий фрагмент учебного текста о степенной функции для чтения с пометками; по одному экземпляру на пару.
- Вывести на доску или первый слайд тему, проблемный вопрос и алгоритм исследования без заполненных выводов.
- Подготовить маркеры, стикеры, линейки и несколько чистых координатных сеток на каждого ученика.
- Проверить проектор, компьютер, интерактивную доску и устойчивое отображение графиков.
- Заранее записать на доске опорные значения $(-2)^{-1}$, $(-1)^{-1}$, $1^{-1}$, $2^{-1}$, чтобы сэкономить время на вычислениях.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование зависимости между формулой и графиком, обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит не просто повторить свойства степеней, а исследовать, как показатель степени меняет поведение функции. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. В конце занятия каждый должен уметь по формуле предсказать основные особенности графика." | Записывают дату и тему, готовят тетради, линейки и ручки. |
2 мин | Учитель показывает на экране четыре формулы: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$, $y=x^{-2}$, и задаёт вопрос: "Какие графики вы уже узнаёте? Чем, по вашему предположению, будут отличаться функции с отрицательным показателем? Запишите одну гипотезу, затем обсудите её с соседом 30 секунд." Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её в паре и предлагают варианты: "При отрицательном показателе нельзя брать $x=0$", "График может состоять из двух ветвей", "Чётность показателя влияет на симметрию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотезы разные, и сегодня мы проверим их не догадкой, а таблицей значений, свойствами функции и графической моделью. Сначала вспомним, какие знания нам понадобятся."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила действий со степенями, понятия области определения, чётности и симметрии графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран задания: вычислить $2^3$, $(-2)^4$, $(-2)^3$, $2^{-2}$; объясняет: "Работаем быстро, но обязательно проговариваем основание и показатель. Что означает отрицательный показатель? Почему выражение $x^{-1}$ нельзя считать при $x=0$?" | Решают в тетради и отвечают: "$2^3=8$, $(-2)^4=16$, $(-2)^3=-8$, $2^{-2}=1/4$"; формулируют: "$x^{-1}=1/x$, поэтому $x\ne0$". |
3 мин | Учитель организует парную проверку: "Сравните ответы с соседом. Затем определите, какие из функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$ являются чётными или нечётными. Напомню критерии: сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$." На доске фиксирует верные равенства. | В парах вычисляют $f(-x)$, делают выводы: "$x^2$ — чётная, $x^3$ — нечётная, $x^{-1}$ — нечётная"; исправляют вычислительные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили отрицательный показатель и критерии чётности. Теперь попробуем построить графики и выясним, какой признак нельзя потерять при работе с функцией."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить алгоритм исследования степенной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на экране два утверждения: «График $y=x^{-2}$ — парабола» и «График $y=x^{-1}$ имеет две ветви». Учитель спрашивает: "Можно ли принять эти утверждения без проверки? Какие шаги помогут доказать или опровергнуть их?" | Обсуждают в парах и предлагают алгоритм: "Записать область определения, составить таблицу, отметить точки, определить симметрию, сравнить с цифровым графиком". |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "Запишем цель: исследовать функции $y=x^n$ при целом $n$ и научиться строить их эскизы. Работаем по пяти шагам: область определения, значения, симметрия, расположение точек, проверка графиком. В конце вернёмся к двум утверждениям." | Записывают цель и алгоритм исследования, распределяют в парах роли: один вычисляет значения, второй строит и проверяет. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов. Теперь применим его к знакомым положительным показателям, а затем перенесём на отрицательные — именно там возникнет новое знание."
Этап 4. Открытие нового знания через практическое исследование (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно выявить свойства графиков степенных функций при положительных и отрицательных целых показателях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку с функциями $y=x^2$ и $y=x^3$: "Составьте таблицу для $x=-2,-1,0,1,2$, отметьте точки на координатной сетке и соедините их плавной линией. Обратите внимание на симметрию. Не стирайте вычисления: они понадобятся для вывода." | В парах составляют таблицы, строят точки и эскизы. Получают для $y=x^2$ значения $4,1,0,1,4$, для $y=x^3$ — $-8,-1,0,1,8$; формулируют: "$y=x^2$ симметрична относительно оси $Oy$, $y=x^3$ — относительно начала координат". |
4 мин | Учитель показывает на экране динамическое построение графиков: "Изменяем показатель с $2$ на $-2$. Что происходит с формулой? Запишите $x^{-2}=1/x^2$. Почему точка $x=0$ исчезает? Теперь исследуйте $y=x^{-2}$ для $x=-2,-1,-1/2,1/2,1,2$." | Записывают $y=x^{-2}=1/x^2$, фиксируют $x\ne0$, вычисляют значения $1/4,1,4,4,1,1/4$, отмечают точки и замечают две ветви выше оси $Ox$. |
4 мин | Учитель предлагает исследовать $y=x^{-1}$: "Составьте таблицу для тех же ненулевых значений аргумента и сравните знак $x$ со знаком $y$. На экране проверим только после вашего вывода. Как расположены ветви? Какую симметрию вы ожидаете?" | Вычисляют значения $-1/2,-1,-2,2,1,1/2$, строят точки в III и I координатных четвертях, формулируют: "$y=1/x$ — нечётная функция, график симметричен относительно начала координат". |
Запись в тетрадях
Записывают: «Степенная функция: $y=x^n$, где $n$ — целое число. При $n<0$: $x^n=1/x^{-n}$, поэтому $x\ne0$. При чётном положительном показателе график симметричен относительно оси $Oy$; при нечётном показателе — относительно начала координат. Для отрицательных показателей график не пересекает ось $Oy$ и состоит из отдельных ветвей».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что отрицательный показатель превращает степень в дробь и исключает ноль из области определения. График определяется не только формулой, но и её свойствами. Теперь закрепим алгоритм на коротких заданиях и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм исследования и научиться сопоставлять формулу, свойства и график.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с тремя заданиями: «1) Укажите область определения $y=x^{-3}$. 2) Определите чётность $y=x^{-4}$. 3) Выберите из четырёх эскизов график $y=x^{-3}$ и объясните выбор». Учитель напоминает: "Ответ должен содержать не только букву, но и два признака." | В парах решают: для первого задания $x\ne0$; для второго $f(-x)=f(x)$, функция чётная; для третьего выбирают график с двумя ветвями в I и II четвертях и объясняют область определения и симметрию. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Поставьте отметку за каждый верный пункт и напишите партнёру одну сильную сторону и один совет — это приём «Две звезды и пожелание»." | Проверяют по эталону на экране, записывают две сильные стороны и совет, задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Некоторые соединяют ветви графика через точку $x=0$. Почему это невозможно? Что показывает запись $x\ne0$?" | Отвечают: "$x=0$ не входит в область определения, поэтому график не пересекает и не проходит через ось $Oy$"; исправляют эскиз при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает: область определения и чётность сразу ограничивают возможный вид графика. Сейчас каждый проверит, может ли выполнить исследование самостоятельно и без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с цифровой проверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение построения и интерпретации графиков, используя ИКТ только для самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания трёх уровней. Базовый: исследовать $y=x^{-2}$ по четырём пунктам. Повышающий: сравнить $y=x^{-2}$ и $y=x^{-1}$ по области определения, симметрии и знаку значений. Дополнительный: объяснить, почему график $y=x^{-3}$ не имеет точек во II и IV четвертях. Учитель говорит: "Выберите уровень, который позволит показать реальное понимание. Все решения оформляйте письменно." | Индивидуально решают выбранный вариант: записывают область определения, таблицу из четырёх ненулевых значений, свойства и эскиз; в повышенном варианте заполняют сравнительную таблицу; в дополнительном используют знак произведения или отношение $1/x^3$. |
3 мин | Учитель открывает графический инструмент и говорит: "Теперь введите свою функцию в цифровое окно. Сначала сравните область определения и расположение ветвей с тетрадью, затем найдите одну возможную ошибку. Цифровой график не заменяет объяснение — он помогает выполнить самопроверку." | Строят график на устройстве или наблюдают демонстрацию, сверяют точки, отмечают исправления другим цветом и формулируют вывод: "Мой график совпадает с моделью по симметрии и расположению ветвей" или называют найденную ошибку. |
Эталон решения
Для $y=x^{-2}$: $y=1/x^2$, поэтому $D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$. При $x=-2,-1,1,2$ получаем $y=1/4,1,1,1/4$. Так как $f(-x)=f(x)$, функция чётная; график симметричен относительно оси $Oy$, расположен выше оси $Ox$ и имеет две ветви. Точка с $x=0$ отсутствует.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что график можно восстановить по нескольким признакам, даже если не строить большое количество точек. В завершение объединим результаты и проверим исходные гипотезы."
Этап 7. Рефлексия, обобщение и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и объяснить домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемным утверждениям и спрашивает: "Теперь оцените их. Верно ли, что $y=x^{-2}$ — парабола? Верно ли, что $y=x^{-1}$ имеет две ветви? Назовите по два математических основания." | Отвечают: "$y=x^{-2}$ не является параболой: это график обратной пропорциональности с двумя ветвями выше оси $Ox$; $y=x^{-1}$ имеет две ветви в I и III четвертях, потому что функция нечётная и $x\ne0$". |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Поставьте плюс напротив умения, которое сформировано, и вопросительный знак напротив того, что требует тренировки. В одной фразе завершите: «Теперь я умею…»" | Заполняют лист самооценки, формулируют: "Теперь я умею определять область определения и строить эскиз графика по свойствам"; указывают оставшееся затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняются по желанию. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: почему при отрицательном показателе исключается ноль и как чётность определяется по формуле?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "$x=0$ нельзя подставить в знаменатель; чётность проверяется сравнением $f(-x)$ и $f(x)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали степень с целым показателем с видом графика и убедились, что область определения нельзя считать формальностью. Вы научились проверять гипотезу таблицей, свойствами и цифровой моделью. На следующем уроке применим эти свойства к преобразованиям графиков и более сложным функциям."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты выбранного задания, корректно указана область определения, построен эскиз с правильной симметрией и приведено математическое обоснование.
- «4» — правильно выполнены основные вычисления и определены свойства функции, но допущена одна неточность в оформлении таблицы, эскиза или объяснении.
- «3» — определена формула функции и частично построен график, но допущены ошибки в области определения, чётности или расположении ветвей; после подсказки решение может быть исправлено.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функциях с отрицательным показателем? | Выявление осознания связи отрицательной степени с ограничением $x\ne0$. |
Какой шаг алгоритма построения графика оказался самым важным? | Проверка понимания последовательности исследования функции. |
Какая ошибка возможна при построении графика $y=x^{-2}$? | Выявление типичного затруднения: включение точки $x=0$ или неверная симметрия. |
Насколько самостоятельно вы сегодня работали: уверенно, с отдельными вопросами или с постоянной помощью? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что показатель степени задаёт не только числовое значение, но и форму графика. Особенно внимательно нужно относиться к отрицательному показателю: он превращает степень в дробь и исключает ноль из области определения. Типичная ошибка — соединить ветви графика через ось $Oy$, хотя точка $x=0$ недопустима. На следующем уроке мы продолжим исследовать преобразования графиков и научимся быстро предсказывать результат по формуле."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на исследование функций вида $y=x^n$ для показателей $n=2$, $n=3$, $n=-1$, $n=-2$: указать область определения, чётность, область значений и построить эскиз каждого графика по таблице из пяти допустимых значений. | Закрепляет базовый алгоритм исследования; при проверке обратить внимание на исключение $x=0$, симметрию и соответствие точек графику. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на сопоставление формул $y=x^n$ и графиков, а также составить сравнительную таблицу для двух функций с положительным и отрицательным показателем. | Развивает анализ графической информации; проверять, использованы ли одновременно область определения, знак значений и симметрия. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование функции $y=x^{-3}$: доказать её нечётность, объяснить расположение ветвей и сравнить её график с $y=x^{-1}$; построить оба графика в цифровом инструменте или на координатной сетке. | Развивает исследовательское мышление и умение аргументировать выводы; при проверке оценивать доказательность, точность терминов и качество сравнения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему для функции $y=x^{-2}$ число $0$ не входит в область определения? Как по формуле определить, будет ли график симметричен относительно оси $Oy$ или начала координат? В каких координатных четвертях расположен график $y=x^{-1}$? Какие признаки позволяют отличить графики $y=x^{-2}$ и $y=x^{-1}$?»
