Комплексные числа

1 ВЫБОР · 2 БАЛЛА

1. Главное значение аргумента

Найдите главное значение аргумента $\varphi \in (-\pi ;\pi ]$ комплексного числа $z=-1-i\sqrt{3}$.

• $\frac{\pi }{3}$
• $-\frac{2\pi }{3}$
• $\frac{2\pi }{3}$
• $-\frac{\pi }{3}$

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

2. Уравнение с сопряжённым числом

Решите уравнение $2z+\bar{z}=6-i$, где $\bar{z}$ — число, сопряжённое к $z$. В ответе запишите значение модуля $|z|$.

ИСКЛЮЧЕНИЕ · 2 БАЛЛА

3. Свойства модулей

Выберите число, модуль которого отличается от модулей остальных трёх чисел.

1. $1+i\sqrt{3}$
2. $2i$
3. $\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
4. $1-i$

1 ВЫБОР · 3 БАЛЛА

4. Переход к тригонометрической форме

Представьте комплексное число $z=\frac{4}{1-i}$ в тригонометрической форме.

• $2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$
• $4(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$
• $2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$
• $2(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

5. Формула Муавра

Вычислите значение выражения $(\frac{1+i}{\sqrt{2}}{)}^{100}$.

ИСКЛЮЧЕНИЕ · 4 БАЛЛА

6. Множества на плоскости

Какое из условий задаёт фигуру, не являющуюся окружностью на комплексной плоскости?

1. $|z-2|=3$
2. $|z+i|=1$
3. $z\cdot \bar{z}=4$
4. $Re(z)=|z|$

1 ВЫБОР · 3 БАЛЛА

7. Извлечение корня

Укажите комплексное число, которое является одним из корней уравнения $z^2=i$.

• $\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $1+i$
• $i$
• $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 4 БАЛЛА

8. Алгебраические операции

Найдите значение выражения $\frac{(1+i{)}^8}{(1-i{)}^6}$.

ИСКЛЮЧЕНИЕ · 2 БАЛЛА

9. Степени мнимой единицы

Какое из выражений не равно $1$?

1. $i^{2024}$
2. $i^{100}\cdot i^{40}$
3. $(-i{)}^{12}$
4. $i^{30}$

1 ВЫБОР · 4 БАЛЛА

10. Геометрическое место точек

Какую фигуру задаёт на комплексной плоскости уравнение $|z-3|=|z+3i|$?

• Прямая, проходящая через начало координат
• Окружность с центром в точке $(3;-3)$
• Эллипс с фокусами в точках $3$ и $-3i$
• Парабола с вершиной в начале координат

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

1. Алгебраическая форма

Заполните пропуски в определении алгебраической формы комплексного числа.

Запись вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — , называется формой комплексного числа.

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Мнимая часть

Найдите мнимую часть $Im(z)$ комплексного числа $z=-4+7i$.

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

3. Формула модуля

Дополните формулу вычисления модуля комплексного числа.

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычисляется по формуле: $|z|=\sqrt{a^2+\underline{}}$.

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

4. Сопряженные числа

Дано комплексное число $z=5-2i$. Запишите соответствующее ему сопряженное число $\bar{z}$.

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

5. Общий вид записи

Восстановите стандартный вид тригонометрической формы записи комплексного числа.

$z=r(\cos \underline{}+i\sin \underline{})$, где $r>0$ — модуль числа.