Среднее арифметическое и проценты

Слайд 1. Математика: Среднее и Проценты

Среднее арифметическое, скорость и основы процентов для 6 класса

Слайд 2. Что такое среднее арифметическое?

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Формула:

$S_{\text{ср}}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

Слайд 3. Пример из жизни: оценки

Представьте, что у Миши за неделю такие оценки по математике: 5, 4, 3, 5, 4.

1. Находим сумму: $5+4+3+5+4=21$.

2. Считаем количество оценок: 5 штук.

3. Делим сумму на количество: $21:5=4,2$.

Средний балл Миши — 4,2.

Слайд 4. Важные нюансы

Среднее значение может заметно измениться, если добавить одно очень большое или очень маленькое число. Поэтому всегда проверяйте, насколько данные отличаются друг от друга.

Среднее используют при расчёте средней температуры, средней скорости, среднего роста и среднего результата контрольной работы. Важно указывать единицы измерения.

Слайд 5. Среднее арифметическое: пошаговый алгоритм

1. Сложите все числа.

2. Посчитайте количество чисел.

3. Разделите сумму на количество.

4. Проверьте ответ: среднее обычно находится между наименьшим и наибольшим значениями.

Для чисел 6, 8, 10 и 12 сумма равна 36, чисел — 4.

Среднее: $36:4=9$.

Если одно значение повторяется, оно учитывается столько раз, сколько встречается.

Слайд 6. Как найти среднюю скорость?

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.

$V_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{все}}}$

Важно: нельзя просто складывать скорости на разных участках!

Слайд 7. Пример задачи на движение

Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 15 км/ч и 1 час со скоростью 12 км/ч.

1. Весь путь: $(2\cdot 15)+(1\cdot 12)=30+12=42$ км.

2. Все время: $2+1=3$ ч.

3. Средняя скорость: $42:3=14$ км/ч.

Слайд 8. Средняя скорость: почему нельзя усреднять скорости

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: $v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{все}}}$.

Сначала найдите путь на каждом участке, затем сложите пути и времена.

Половину пути автомобиль проехал со скоростью 20 км/ч, а вторую половину — 60 км/ч.

Средняя скорость не равна 40 км/ч: на медленном участке затрачено больше времени. Поэтому нужно учитывать время движения.

Слайд 9. Что такое процент?

Процентом называют одну сотую часть любой величины или числа.

$1\%=\frac{1}{100}=0,01$

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает «на сотню».

Слайд 10. Запись процентов дробью

Слайд 11. Алгоритм перевода

Разделите число процентов на 100 (перенесите запятую на 2 знака влево).

$45\%=45:100=0,45$; $7\%=7:100=0,07$.

Умножьте десятичную дробь на 100 и добавьте знак %.

Слайд 12. Проценты: три типа задач

Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, переведите процент в дробь и умножьте: $a\cdot \frac{p}{100}$.

Пример: $20\%$ от 150 — это $150\cdot 0,2=30$.

Если известны часть и процент, целое находят делением на дробь процента.

При увеличении на $p\%$ умножают на $1+\frac{p}{100}$, при уменьшении — на $1-\frac{p}{100}$.

Пример: после скидки $10\%$ цена равна $90\%$ исходной.

Слайд 13. Как найти часть от целого?

Чтобы найти процент от числа, нужно:

1. Выразить проценты десятичной дробью.

2. Умножить данное число на эту дробь.

Пример: Найти $20\%$ от 500.

$20\%=0,2$

$500\cdot 0,2=100$.

Слайд 14. Практическая задача: Скидки

Товар стоит 1200 рублей. На него действует скидка $15\%$. Сколько рублей составляет скидка?

Решение:

1. $15\%=0,15$

2. $1200\cdot 0,15=180$ (рублей).

Ответ: скидка 180 рублей.

Слайд 15. Быстрые способы счета

Разделите число на 10.

Разделите число на 2.

Разделите число на 4.

Разделите число на 5.

Слайд 16. Как найти целое по его части?

Чтобы найти число по его проценту, нужно:

1. Выразить проценты десятичной дробью.

2. Разделить значение процентов на эту дробь.

Пример: Найти число, $30\%$ которого равны 60.

$30\%=0,3$

$60:0,3=200$.

Слайд 17. Практическая задача: Книги

Ученик прочитал 40 страниц, что составляет $25\%$ всей книги. Сколько страниц в книге?

Решение:

1. $25\%=0,25$

2. $40:0,25=4000:25=160$ (страниц).

Ответ: в книге 160 страниц.

Слайд 18. Не путайте типы задач!

Дано целое, ищем часть. УМНОЖАЕМ на дробь. (Например: $10\%$ от 50).

Дана часть, ищем целое. ДЕЛИМ на дробь. (Например: 5 — это $10\%$ от числа).

Слайд 19. Задание 1: Среднее

Найдите среднее арифметическое чисел: 12, 15, 18, 21, 24.

Подсказка: Сложите все пять чисел и разделите на 5.

Проверьте, совпадает ли результат с числом в середине ряда?

Слайд 20. Задание 2: Скорость

Турист шёл 3 часа со скоростью 4 км/ч и ехал на автобусе 2 часа со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость туриста на всём пути?

Слайд 21. Задание 3: Проценты

Решите эти три мини-задачи. Обратите внимание, что во второй строке процент больше 100 — значит результат будет больше самого числа!

Слайд 22. Где еще мы видим проценты?

Слайд 23. Проверка знаний: среднее арифметическое

1. Найдите среднее арифметическое чисел 8, 12 и 16.

2. Найдите среднее арифметическое чисел 5, 7, 9, 11 и 13.

3. Среднее двух чисел равно 18, одно из них — 24. Найдите второе число.

4. Средний балл за четыре работы равен 4,5. Сумма трёх оценок — 13. Найдите четвёртую оценку.

5. Сравните среднее арифметическое чисел 6, 10, 14 и число 11.

6. Придумайте три числа, среднее арифметическое которых равно 20.

Слайд 24. Проверка знаний: средняя скорость

1. Автомобиль проехал 120 км за 2 часа. Найдите среднюю скорость.

2. Турист прошёл 12 км за 3 часа. Найдите среднюю скорость.

3. Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 10 км/ч и 1 час со скоростью 16 км/ч. Найдите среднюю скорость.

4. Автобус проехал 90 км со скоростью 45 км/ч. Сколько времени длилась поездка?

5. Объясните, почему среднюю скорость нельзя всегда находить как среднее арифметическое скоростей.

6. Половину пути прошли со скоростью 4 км/ч, а вторую половину — 6 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Слайд 25. Проверка знаний: перевод процентов

1. Запишите $7\%$ десятичной дробью.

2. Запишите $0,35$ в процентах.

3. Представьте $25\%$ в виде обыкновенной дроби и сократите её.

4. Представьте $0,8$ в виде процентов.

5. Расположите по возрастанию: $0,2$, $15\%$, $\frac{1}{4}$.

6. Заполните пропуск: $\dots \%=0,6$.

Слайд 26. Проверка знаний: процент от числа

1. Найдите $10\%$ от 240.

2. Найдите $25\%$ от 360.

3. Найдите $15\%$ от 800.

4. В классе 30 учеников, $40\%$ из них занимаются в кружке. Сколько это учеников?

5. В магазине цена 600 рублей. Скидка составляет $20\%$. Найдите размер скидки.

6. Найдите $125\%$ от 48 и объясните, почему ответ больше исходного числа.

Слайд 27. Проверка знаний: число по его проценту

1. Найдите число, если $20\%$ этого числа равны 18.

2. $35\%$ числа равны 70. Найдите число.

3. 45 страниц — это $30\%$ книги. Сколько страниц в книге?

4. После скидки $25\%$ товар стоит 900 рублей. Найдите первоначальную цену.

5. В коробке осталось 24 конфеты — это $40\%$ всех конфет. Сколько конфет было сначала?

6. Объясните, почему при нахождении целого по его проценту нужно делить, а не умножать.

Слайд 28. Проверка знаний: процентное изменение

1. Число 200 увеличили на $10\%$. Найдите результат.

2. Число 500 уменьшили на $20\%$. Найдите результат.

3. Цена 1200 рублей выросла на $15\%$. Какой стала цена?

4. После уменьшения на $30\%$ число стало равно 140. Найдите исходное число.

5. Товар стоил 800 рублей, затем его цену увеличили на $10\%$, а потом уменьшили на $10\%$. Вернулась ли исходная цена?

6. Сравните результат последовательного увеличения числа на $20\%$ и на $10\%$ с увеличением на 30%.

Слайд 29. Итоговая проверка: смешанные задачи

1. Найдите среднее арифметическое чисел 14, 18, 22 и 26.

2. Поезд прошёл 240 км за 4 часа. Найдите среднюю скорость.

3. Найдите $18\%$ от 250.

4. Число 36 составляет $15\%$ некоторого числа. Найдите это число.

5. Оценки ученика: 5, 4, 4, 3 и 5. Найдите средний балл.

6. Цена 1500 рублей уменьшилась на $20\%$. Сколько рублей теперь стоит товар?

7. Составьте собственную задачу на проценты и решите её.

Слайд 30. Самопроверка: объясни решение

1. Объясните своими словами, как найти среднее арифметическое.

2. Запишите формулу средней скорости и расшифруйте её обозначения.

3. Объясните, что означает $1\%$.

4. Составьте алгоритм нахождения процента от числа.

5. Составьте алгоритм нахождения целого по его части.

6. Найдите ошибку: $25\%$ от 80 = $80:0,25=320$. Исправьте решение.

7. Придумайте пример, в котором средняя скорость не равна среднему арифметическому двух скоростей.