Приключения в Стране Дробей

Слайд 1. Приключения в Стране Дробей

Летний интенсив для будущих профильных классов с Крокозяброй и ЛИТавриком

Слайд 2. Крокозябра и ЛИТаврик делят пиццу и яблоки!

Доля — это одна из равных частей целого.

Если разделить яблоко на 4 части, каждая часть — это «одна четвёртая».

Дробь $\frac{a}{b}$ показывает:

$a$ (числитель) — сколько долей взяли.

$b$ (знаменатель) — на сколько частей разделили целое.

Слайд 3. Правильные и неправильные дроби

Крокозябра любит порядок: у правильной дроби числитель меньше знаменателя. Такая дробь всегда меньше 1.

Пример: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{8}$.

ЛИТаврик удивляется: у неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю. Она $\ge 1$.

Пример: $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$.

Слайд 4. Основное свойство: Магия превращения

Крокозябра утверждает: «Дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число!».

Это позволяет нам приводить дроби к новому знаменателю:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}$

Пример: $\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}$.

Слайд 5. Взаимно обратные числа: Числа-перевёртыши

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

$a\cdot \frac{1}{a}=1$

ЛИТаврик шепчет: «Просто переверни дробь!»

Для $\frac{2}{3}$ обратным будет $\frac{3}{2}$.

Для целого числа $5$ обратным будет $\frac{1}{5}$.

Слайд 6. Сокращение дробей: Миссия «Минимализм»

ЛИТаврик предлагает алгоритм сокращения:

Найди НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя.

Раздели обе части дроби на это число.

Если НОД равен 1, дробь называется несократимой.

Пример: $\frac{15}{20}=\frac{15:5}{20:5}=\frac{3}{4}$.

Задание: Сократите дробь $\frac{12}{18}$ быстрее Крокозябры!

Слайд 7. Битва Дробей: Советы от Крокозябры

Сравниваем только числители.

$\frac{7}{10}>\frac{3}{10}$, так как $7>3$.

Приведи к общему знаменателю.

$\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}\to \frac{3}{6}>\frac{2}{6}$.

Если числитель больше половины знаменателя, то дробь $>\frac{1}{2}$.

Пример: $\frac{5}{8}>\frac{1}{2}$ (так как $5>4$).

Слайд 8. Сложение дробей: Советы от Крокозябры

Сложи числители, знаменатель оставь тем же.

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

Пример: $\frac{1}{7}+\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$

ЛИТаврик напоминает:

1. Сначала найди общий знаменатель.

2. Только потом складывай числители!

Пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$

Сложи целые части отдельно, дробные — отдельно.

Пример: $1\frac{1}{5}+2\frac{2}{5}=3\frac{3}{5}$

Слайд 9. Вычитание дробей: ЛИТаврик предупреждает!

1. Вычти числители.

2. Знаменатель оставь тем же.

Пример: $\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{3}{9}$

1. Найди общий знаменатель.

2. Приведи к нему дроби.

3. Вычти числители.

Пример: $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$

Крокозябра хитрит: «Если не хватает числителя, займи у целой части!»

Пример: $2\frac{1}{3}-1\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

1. Представь 1 как дробь $\frac{n}{n}$.

2. Выполни вычитание.

Пример: $1-\frac{3}{7}=\frac{7}{7}-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$

Слайд 10. Умножение: Секреты мастерства от Крокозябры

1. Запиши произведение числителей и знаменателей.

2. Сократи (если возможно) до умножения.

3. Перемножь оставшиеся числа.

Пример: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{1}{2}$

Умножь числитель на это число.

$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}$

Пример: $\frac{2}{9}\cdot 3=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Переведи в неправильные дроби, затем умножай.

Пример: $1\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=2$

Слайд 11. Деление: ЛИТаврик и числа-перевёртыши

Умножь на обратную дробь.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Пример: $\frac{2}{5}:\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{15}$

Умножь знаменатель на это число.

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b\cdot n}$

Пример: $\frac{4}{5}:2=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Переведи в неправильные дроби, затем дели.

Пример: $2\frac{1}{2}:1\frac{1}{4}=\frac{5}{2}:\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}=2$

Слайд 12. Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

ЛИТаврик подсказывает:

1. Умножь число на числитель.

2. Раздели результат на знаменатель.

Найди $\frac{2}{3}$ от 15:

$15\cdot \frac{2}{3}=\frac{15\cdot 2}{3}=10$

Слайд 13. Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь.

Крокозябра советует:

1. Раздели значение на числитель.

2. Умножь результат на знаменатель.

Найди число, если его $\frac{3}{4}$ равны 12:

$12:\frac{3}{4}=12\cdot \frac{4}{3}=16$

Слайд 14. Дроби и свойства арифметических действий: Крокозябра упрощает жизнь!

ЛИТаврик подтверждает: свойства работают так же, как с целыми числами!

$a+b=b+a$

$(a+b)+c=a+(b+c)$

Группируй дроби с одинаковыми знаменателями!

Крокозябра учит хитрости:

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Это помогает быстро умножать смешанные числа:

$2\frac{1}{3}\cdot 3=(2+\frac{1}{3})\cdot 3=6+1=7$

Слайд 15. Дроби в порядке действий: Испытание для ЛИТаврика!

ЛИТаврик напоминает правила очереди:

1. Сначала заходим в скобки.

2. Потом умножаем и делим.

3. В конце складываем и вычитаем.

Считаем всегда слева направо!

$(\frac{1}{2}+\frac{1}{6})\cdot \frac{3}{4}:\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

1. $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$

2. $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

3. $\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1$

4. $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

Слайд 16. Признаки делимости и дроби

ЛИТаврик знает секрет: признаки делимости помогают мгновенно увидеть, на что сократить дробь!

Сократим $\frac{126}{270}$:

1. Оба числа четные (делятся на 2).

2. Сумма цифр $1+2+6=9$ и $2+7+0=9$ (делятся на 9).

Значит, дробь можно сразу сократить на 18!

$\frac{126}{270}=\frac{7}{15}$

Слайд 17. Крокозябра открывает новую форму записи!

Это дроби, знаменатели которых равны 10, 100, 1000 и т.д. Их записывают без знаменателя, используя запятую.

Пример: $\frac{3}{10}=0,3$; $\frac{15}{100}=0,15$

1. Целая часть (до запятой).

2. Дробная часть (после запятой).

Важно: сколько нулей в знаменателе, столько цифр после запятой!

Пример: $1\frac{7}{100}=1,07$

Слайд 18. Конечные и бесконечные десятичные дроби

Крокозябра знает: обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если в разложении её знаменателя есть только 2 и 5.

Пример: $\frac{3}{20}=\frac{3}{2^2\cdot 5}=0,15$

ЛИТаврик предупреждает: если в знаменателе есть другие множители (3, 7, 11...), дробь будет бесконечной периодической!

Пример: $\frac{1}{3}=0,(3)$

Пример: $\frac{5}{6}=0,8(3)$

Слайд 19. Перевод дробей: Все способы

Приведи знаменатель к 10, 100, 1000...

Пример: $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{8}{10}=0,8$

Раздели числитель на знаменатель.

Пример: $\frac{3}{8}=3:8=0,375$

Запиши как слышишь и сократи.

Пример: $0,24=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}$

Целую часть оставь, переводи только дробную.

Пример: $2,5=2\frac{5}{10}=2\frac{1}{2}$

Слайд 20. Перевод бесконечных периодических дробей

Крокозябра упрощает:

1. В числитель — период.

2. В знаменатель — девятки (по количеству цифр в периоде).

Пример: $0,(15)=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}$

ЛИТаврик предупреждает: здесь сложнее!

1. Числитель: (все цифры после запятой) минус (цифры до периода).

2. Знаменатель: девятки (по периоду) и нули (по цифрам до периода).

Пример: $0,8(3)=\frac{83-8}{90}=\frac{5}{6}$

Слайд 21. Почему это работает? Магия уравнений

Крокозябра показывает фокус с $x$:

Пусть $x=0,\mathrm{333...}$

Тогда $10x=3,\mathrm{333...}$

Вычтем: $9x=3\to x=\frac{1}{3}$

Вот откуда берутся девятки!

ЛИТаврик повторяет фокус:

Пусть $x=0,\mathrm{8333...}$

$10x=8,\mathrm{333...}$ и $100x=83,\mathrm{333...}$

Вычтем: $90x=75\to x=\frac{5}{6}$

Вот откуда девятки и нули!

Слайд 22. Сравнение: Крокозябра ищет большее!

1. Сравни целые части (где больше, та дробь и больше).

2. Если целые части равны, уравняй количество знаков после запятой (добавь нули).

3. Сравни получившиеся числа в дробных частях.

ЛИТаврик советует:

1) $5,3>4,98$ (целые части!)

2) $0,7$ и $0,65\to 0,70>0,65$ (уравняй знаки!)

3) $1,200=1,2$ (лишние нули долой!)

Слайд 23. Сложение и вычитание десятичных дробей

ЛИТаврик напоминает: «Главное — запятая под запятой!»

1. Уравняй знаки нулями.

2. Считай в столбик.

Сложение:

$1,2+0,85=1,20+0,85=2,05$

Вычитание:

$3,1-1,25=3,10-1,25=1,85$

Слайд 24. Умножение и деление: Крокозябра и знаки!

Крокозябра считает знаки:

1. Умножь, не глядя на запятые.

2. В ответе отсчитай справа столько знаков, сколько их в обоих числах вместе.

Пример: $0,2\cdot 0,3=0,06$

ЛИТаврик двигает запятые:

1. В делителе перенеси запятую вправо до конца.

2. В делимом перенеси запятую на столько же знаков.

3. Выполни деление.

Пример: $1,2:0,04=120:4=30$

Слайд 25. Действия с разными видами дробей

ЛИТаврик напоминает главное правило: приведи все числа к одному виду — либо к обыкновенным, либо к десятичным дробям.

Крокозябра советует, как выбрать:

1. Если можно перевести в конечную десятичную — переводи (так удобнее считать).

2. Если получается бесконечная дробь (например, $\frac{1}{3}$) — работай в обыкновенных дробях.

Пример: $0,5+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$