Повторение и систематизация: Часть целого и целое по его части

Слайд 1. Повторение и систематизация: Часть целого и целое по его части

Математика, 6 класс. Урок-исследование: путь от базовых понятий о дробях до решения сложных олимпиадных задач на нахождение долей.

Слайд 2. Цифровая разминка

Вычислите устно: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}$

Найдите результат деления: $\frac{4}{5}:\frac{2}{15}$

Выполните вычитание смешанных чисел: $2\frac{1}{2}-1\frac{1}{4}$

Разогреваем вычислительные навыки и готовимся к основной работе!

Слайд 3. Актуализация знаний: Базовые алгоритмы

Используется, когда известно ЦЕЛОЕ ($a$) и нужно найти значение его доли.

Алгоритм: Умножить целое на дробь.

Формула: $b=a\cdot \frac{m}{n}$

*Пример:* Найти $\frac{3}{5}$ от $25$ кг.

$25\cdot \frac{3}{5}=15$ кг.

Важно: Главное правило — сначала определите, что именно известно (целое или фрагмент).

Используется, когда известно значение ЧАСТИ ($b$) и нужно найти исходное целое.

Алгоритм: Разделить значение части на дробь.

Формула: $a=b:\frac{m}{n}$

*Пример:* $\frac{2}{3}$ пути составляют $12$ км. Весь путь?

$12:\frac{2}{3}=12\cdot \frac{3}{2}=18$ км.

Подсказка: Если ищем «всё число», результат должен быть больше части.

Слайд 4. Простейшие задачи на дроби

1. В классе 30 учеников, $\frac{2}{3}$ из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?

2. Длина отрезка составляет 24 см. Найти $\frac{3}{4}$ этого отрезка.

3. $\frac{2}{7}$ некоторого числа равны 14. Найдите это число.

4. Турист прошёл 15 км, что составляет $\frac{3}{5}$ всего пути. Какова длина всего пути?

5. В книге 120 страниц. Мальчик прочитал $\frac{1}{4}$ книги. Сколько страниц осталось прочитать?

6. $\frac{4}{9}$ от числа равны 36. Найдите это число.

7. В саду 45 плодовых деревьев, из них $\frac{2}{5}$ составляют яблони. Сколько яблонь в саду?

Слайд 5. Математика и география: Измеряем планету

Условие задачи: Мировой океан занимает площадь 361 млн км², что составляет $\frac{7}{10}$ всей поверхности Земли. Найдите общую площадь поверхности Земли и площадь суши.

Слайд 6. Экологический мониторинг: Леса Земли

Экологическая задача:

Леса покрывают $\frac{1}{3}$ всей суши Земли, а тропические леса составляют $\frac{1}{2}$ от площади всех лесов.

Какую часть суши занимают тропические леса?

Слайд 7. Олимпиадная задача: Движение туриста

Турист прошёл за несколько дней определенный путь. В первый день он преодолел $\frac{1}{3}$ всего пути и ещё 5 км. Во второй день — $\frac{1}{4}$ оставшегося пути и ещё 10 км. После этого ему осталось пройти 20 км.

Какова длина всего пути?

Слайд 8. Олимпиадный блок: Метод обратного хода

В конце осталось 20 км. Перед этим прошли 10 км, значит было $20+10=30$ км. Это составляет $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ первого остатка. Находим остаток: $30:\frac{3}{4}=40$ км.

К остатку 40 км прибавим пройденные 5 км: $40+5=45$ км. Это составляет $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ всего пути. Вычисляем весь путь: $45:\frac{2}{3}=45\cdot \frac{3}{2}=67,5$ км.

1. Начинаем с известного конечного значения.

2. Выполняем действия, обратные условию, в обратном порядке.

3. Вместо вычитания — сложение, вместо взятия части — деление на дробь.

Слайд 9. Логические задачи: Яблоки в корзине

Логическая задача:

В корзине лежали яблоки. Сначала взяли половину всех яблок и ещё пол-яблока. Затем во второй раз взяли половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого в корзине осталось 5 целых яблок.

Сколько яблоко было в корзине изначально?

Слайд 10