Отрицание утверждений с кванторами

Слайд 1. Отрицание утверждений с кванторами

Математика, 6 класс

Играем в логических детективов

Слайд 2. Что такое утверждение?

Утверждение — это фраза, о которой можно сказать: она истинна или ложна.

Пример: «Число $8$ делится на $2$» — истинное утверждение.

Пример: «Число $7$ делится на $2$» — ложное утверждение.

Вопрос и команда утверждениями не являются.

Слайд 3. Утверждение и его отрицание

«Все числа в списке чётные».

Оно сообщает, что условие выполняется для каждого числа.

«Не все числа в списке чётные».

То же самое можно сказать проще: «Есть хотя бы одно нечётное число».

Слайд 4. Кванторы: слова-указатели

$\forall$ — «для любого», «для каждого», «все».

$\exists$ — «существует», «найдётся хотя бы один».

Квантор помогает понять, о скольких объектах говорится.

Пример: «Для любого натурального числа $n$ верно...»

Слайд 5. Главное правило отрицания

При отрицании квантор меняется на противоположный:

$\forall$ превращается в $\exists$.

$\exists$ превращается в $\forall$.

Также нужно отрицать само условие.

Запомни: «все» меняется на «существует хотя бы один», а «существует» — на «ни для одного».

Слайд 6. Алгоритм отрицания

Найди слова «все», «каждый», «существует», «есть».

Замени квантор на противоположный: $\forall \leftrightarrow \exists$.

Измени условие: «равно» — «не равно», «чётное» — «нечётное».

Слайд 7. Пример: утверждение со словом «все»

Слайд 8. Разберём пример по шагам

Утверждение: «Все числа в наборе делятся на $3$».

1. Квантор «все» означает $\forall$.

2. Меняем его на $\exists$: «Существует хотя бы одно число...».

3. Отрицаем условие «делится на $3$»: «не делится на $3$».

Отрицание: «Существует хотя бы одно число в наборе, которое не делится на $3$».

Чтобы опровергнуть утверждение со словом «все», достаточно найти один пример.

Слайд 9. «Одного контрпримера достаточно!»

— Правило математического детектива

Слайд 10. Пример: утверждение со словом «существует»

Утверждение: «Существует число, которое больше $10$ и меньше $20$».

Отрицание: «Для любого числа верно: оно не больше $10$ или не меньше $20$».

Проще: «Нет ни одного числа, которое больше $10$ и меньше $20$».

Важно: отрицание «существует» — это «не существует ни одного».

Слайд 11. Как меняются слова при отрицании?

«Все ученики решили задачу» → «Хотя бы один ученик не решил задачу».

«Каждый квадрат — прямоугольник» → «Существует квадрат, который не является прямоугольником».

«Существует чётное простое число» → «Не существует чётного простого числа».

«Число равно $5$» → «Число не равно $5$».

Слайд 12. Игра «Поймай ошибку»

Утверждение: «Все треугольники имеют прямой угол».

Попробуй найти контрпример. Если нашёл хотя бы один треугольник без прямого угла, исходное утверждение ложно.

Задание в парах:

Составьте отрицание утверждения «Существует натуральное число, которое меньше $0$».

Проверьте ответ словами, а затем с помощью символов $\forall$ и $\exists$.

Слайд 13. Мини-квест: отрицай правильно

Раунд 1

Раунд 2

Раунд 3

Финиш

Найди квантор в утверждении.

Замени «все» на «хотя бы один» или наоборот.

Измени условие на противоположное.

Проверь: может ли исходное утверждение и его отрицание быть истинными одновременно?

Слайд 14. Проверь себя

Определи отрицание каждого утверждения.

1. «Все числа в списке положительные».

2. «Существует прямоугольник, у которого все стороны равны».

3. «Каждое натуральное число имеет следующий элемент».

Подсказка: сначала подчеркни слова-указатели — «все», «существует», «каждое».

Слайд 15. Выводы: три шага к правильному отрицанию

1. Найди квантор: $\forall$ — «все», $\exists$ — «существует».

2. Замени квантор на противоположный: $\forall \leftrightarrow \exists$.

3. Отрицай условие: «равно» — «не равно», «делится» — «не делится».

Запомни: чтобы опровергнуть утверждение «все», достаточно найти один контрпример.

Отрицание должно быть таким, чтобы ровно одно из двух утверждений было истинным.