Отрицание общих высказываний

Слайд 1. Отрицание общих высказываний

Математика, 6 класс: Логика и рассуждения

Слайд 2. Что такое общее высказывание?

Высказывание называется общим, если в нём утверждается некое свойство для каждого объекта из определённой группы. Такие предложения обычно начинаются со слов: «все», «каждый», «любой» или «всякий».

Пример: «Все рыбы умеют плавать». Здесь группа — рыбы, а свойство — умение плавать.

Слайд 3. Примеры в математике

Любое натуральное число больше нуля.

Каждый квадрат является прямоугольником.

Все чётные числа делятся на 2 без остатка.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }$.

Всякое число, оканчивающееся на 0, делится на 5.

Слайд 4. Истина и ложь в высказываниях

Считается истинным, только если свойство выполняется для абсолютно всех объектов группы. Если есть хотя бы одно исключение — оно ложно.

Это один конкретный пример, который опровергает общее высказывание. Если мы нашли хотя бы один объект без нужного свойства, всё высказывание неверно.

Слайд 5. Как построить отрицание?

Чтобы построить отрицание общего высказывания, нужно:

1. Заменить слово-квантор («все», «любой») на слово существования («найдётся», «существует», «хотя бы один»).

2. Добавить частицу «не» к основному свойству.

В результате общее высказывание превращается в частное.

Слайд 6. Математические символы

$\forall$ — квантор всеобщности («для всех», «любой»).

$\exists$ — квантор существования («существует», «найдётся»).

$\neg$ — символ логического отрицания («неверно, что»).

Закон логики: $\neg (\forall xP(x))\equiv \exists x(\neg P(x))$.

Слайд 7. Алгоритм из 3 шагов

Найдите в предложении слово, указывающее на общность: «все», «каждый», «любой».

Замените его на «существует хотя бы один» или «найдётся».

Отрицайте сказуемое: добавьте «не» или замените утверждение на противоположное.

Слайд 8. Практические примеры

«Все числа делятся на 3». Отрицание: «Найдётся число, которое не делится на 3».

«Каждый ученик взял книгу». Отрицание: «Существует ученик, который не взял книгу».

Отрицанием «Все кошки чёрные» НЕ является «Все кошки белые». Это крайности, а не логическое отрицание.

Если исходное высказывание было ложным, его правильно построенное отрицание будет истинным.

Слайд 9. Главное за урок

Общее высказывание говорит о каждом элементе множества.

Для опровержения общего высказывания достаточно одного контрпримера.

Отрицание общего высказывания — есть высказывание о существовании

Ключевая связка: «Все...» $\leftrightarrow$ «Существует хотя бы один, который не...».

Используйте кванторы $\forall$ и $\exists$ для краткой записи.

Слайд 10. Успехов в изучении логики!