Олимпиадная математика

Слайд 1. Олимпиадная математика

Развиваем логику и нестандартное мышление для 6 класса

Слайд 2. Что такое олимпиадные задачи?

Нестандартный подход к решению

Красивые математические идеи

Логика важнее громоздких вычислений

Поиск закономерностей там, где их не видно

Слайд 3. Рыцари и Лжецы

Классический тип логических задач.

Рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда лгут.

Пример: Встретились двое. Один сказал: «Мы оба лжецы». Кто он на самом деле? (Ответ: Он лжец, а его спутник — рыцарь).

Слайд 4. Графы: Точки и Линии

Граф — это набор вершин, некоторые из которых соединены рёбрами.

С помощью графов легко решать задачи о знакомствах, маршрутах и раскрасках.

Лемма о рукопожатиях: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер.

Слайд 5. Принцип Дирихле

Если в $n$ клеток посадить $n+1$ кролика, то хотя бы в одной клетке окажется не менее двух кроликов.

В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы у двоих из них день рождения совпадает (в году максимум 366 дней).

Слайд 6. Метод Инварианта

Инвариант — это величина, которая не меняется при разрешённых операциях.

Чётность (сумма чётных чисел всегда чётна)

Остатки от деления

Раскраска (шахматная доска)

Сумма цифр числа

Слайд 7. Геометрические разрезания

В таких задачах нужно разрезать одну фигуру на несколько частей, чтобы из них составить другую фигуру или несколько равных фигур.

Важно следить за площадью: площадь исходной фигуры должна быть кратна количеству частей.

Слайд 8. Основы комбинаторики

Сколькими способами можно выбрать 2 карандаша из 5 разных?

Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «КУБ»?

Если первое действие можно сделать $a$ способами, а второе — $b$, то оба — $a\cdot b$ способами.

Слайд 9. Задача на десерт: Игры

На столе 20 камней. За один ход можно взять 1 или 2 камня. Выигрывает тот, кто забирает последний камень.

Как должен играть первый игрок, чтобы победить?

Решение: Нужно оставлять противнику количество камней, кратное 3. Первым ходом взять $20-18=2$ камня, а затем дополнять ходы противника до 3.

Слайд 10. Главные выводы

Математика — это искусство рассуждать логически

Олимпиадные задачи учат видеть скрытые связи

Главное — не знание формул, а умение их применять

Практика и любопытство — лучшие учителя