НОД и НОК

Слайд 1. НОД и НОК: Делители и Кратные

Слайд 2. Что такое НОД?

Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел $a$ и $b$ называют самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Например, для чисел $12$ и $18$ общими делителями являются $1,2,3,6$. Самое большое из них — $6$. Значит, $\text{НОД}(12,18)=6$.

Слайд 3. Алгоритм нахождения НОД

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Выписать все общие простые множители, которые входят в каждое из разложений.

3. Найти произведение этих множителей.

4. Если общих множителей нет, то НОД равен $1$ (такие числа называют взаимно простыми).

Слайд 4. Практика: Находим НОД(24, 36)

$24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$

$36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$

Общие множители: две двойки и одна тройка.

Умножаем общие множители:

$2\cdot 2\cdot 3=12$

Ответ: $\text{НОД}(24,36)=12$.

Слайд 5. Что такое НОК?

Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел $a$ и $b$ называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Например, числа, кратные $4$: $4,8,12,\mathrm{16...}$

Числа, кратные $6$: $6,12,\mathrm{18...}$

Наименьшее общее число — $12$. Значит, $\text{НОК}(4,6)=12$.

Слайд 6. Алгоритм нахождения НОК

1. Разложить числа на простые множители.

2. Выписать разложение одного из них (лучше самого большого).

3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.

4. Найти произведение получившихся множителей.

Слайд 7. Пример: НОК(12, 15)

Разлагаем на множители:

$12=2\cdot 2\cdot 3$

$15=3\cdot 5$

Берем множители числа $12$:

$2,2,3$

И добавляем недостающую $5$ из числа $15$.

Вычисляем:

$2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$

Ответ: $\text{НОК}=60$.

Слайд 8. Связь между НОД и НОК

Существует удивительное правило для любых двух чисел $a$ и $b$:

Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК.

$a\cdot b=\text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)$

Это отличный способ проверить, правильно ли вы выполнили вычисления!

Слайд 9. Задания для самопроверки

Найдите $\text{НОК}(8,12)$. Подсказка: разложите на $2\cdot 2\cdot 2$ и $2\cdot 2\cdot 3$.

Являются ли числа $9$ и $10$ взаимно простыми? Найдите их НОД.

Два автобуса выехали с конечной. Один возвращается каждые $30$ мин, другой — каждые $45$ мин. Через сколько минут они встретятся?

Слайд 10. Подведем итоги

НОД — это самое большое число, на которое делятся оба числа.

НОК — это самое маленькое число, которое само делится на оба числа.

Для поиска НОД и НОК используйте разложение на простые множители.

НОД используется для сокращения дробей.

НОК используется для приведения дробей к общему знаменателю.