НОД. Алгоритм Евклида

Слайд 1. НОД. Алгоритм Евклида

Математика, 6 класс

Определяем наибольший общий делитель и применяем его в задачах

Слайд 2. Что такое НОД?

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся оба числа без остатка.

Обозначение: $\text{НОД}(a,b)$.

Например: делители числа $18$ — $1,2,3,6,9,18$, а делители числа $24$ — $1,2,3,4,6,8,12,24$. Значит, НОД(18,24)=6.

Слайд 3. Как находить НОД

Выписать делители каждого числа и выбрать самый большой общий.

Разложить числа на простые множители и взять общие множители с наименьшими степенями.

Последовательно делить с остатком. Способ особенно удобен для больших чисел.

Слайд 4. Алгоритм Евклида: основная идея

Если $a>b$, то $\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(b,r)$, где $r$ — остаток от деления $a$ на $b$.

Повторяем замену большей пары чисел на пару «делитель и остаток», пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и есть НОД.

Слайд 5. Алгоритм Евклида по шагам

Найдём НОД(252,105).

$252=105\cdot 2+42$

$105=42\cdot 2+21$

$42=21\cdot 2+0$

Последний ненулевой остаток равен $21$, поэтому НОД(252,105)=21.

Слайд 6. Два способа: разложение и Евклид

$84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7$

$126=2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$

Общие множители: $2\cdot 3\cdot 7=42$.

НОД(84,126)=42.

$126=84\cdot 1+42$

$84=42\cdot 2+0$

Последний ненулевой остаток — $42$.

НОД(84,126)=42.

Слайд 7. Текстовые задачи 1–5

1. Есть $24$ яблока и $36$ груш. На сколько одинаковых наборов можно их разделить без остатка? Каков состав каждого набора?

2. Ленту длиной $48$ см и ленту длиной $60$ см нужно разрезать на одинаковые самые длинные куски. Какова длина куска?

3. В классе $18$ девочек и $24$ мальчика. На сколько одинаковых команд можно их разделить?

4. Прямоугольную карточку размером $42$ см на $70$ см разрезают на одинаковые квадратные части наибольшего размера. Какова сторона квадрата?

5. Для оформления подарков есть $45$ красных и $75$ синих наклеек. На какое наибольшее число одинаковых комплектов их можно разделить?

Слайд 8. Текстовые задачи 6–10

6. Два автобуса отправляются одновременно. Первый ходит каждые $12$ минут, второй — каждые $18$ минут. Сколько одинаковых групп пассажиров можно составить из $12$ и $18$ объектов? Найдите НОД этих чисел.

7. В коробке $56$ белых и $72$ чёрных карандаша. Нужно составить одинаковые наборы с максимальным числом наборов. Сколько будет наборов?

8. Есть бруски длиной $90$ см и $120$ см. На какие самые длинные одинаковые части их можно распилить?

9. В саду $63$ тюльпана и $81$ нарцисс. На сколько одинаковых клумб можно распределить цветы?

10. Из лент длиной $96$ см и $144$ см делают одинаковые самые длинные отрезки. Какова длина одного отрезка?

Слайд 9. Проверяем первые пять задач

Во всех задачах нужно найти наибольшее число одинаковых групп или максимальный размер одинаковой части. Это и есть смысл поиска НОД.

Слайд 10. Проверяем задачи 6–10

После нахождения НОД важно вернуться к условию: иногда НОД означает число групп, а иногда — длину, размер или количество предметов в каждой группе.

Слайд 11. Как распознать задачу на НОД

Нужно разделить предметы на максимально возможное число одинаковых наборов.

Нужно разрезать несколько отрезков на самые длинные равные части.

Нужно покрыть прямоугольник квадратами наибольшего размера без обрезков.

Ищем наибольшее число, которое делит все данные количества без остатка.

Слайд 12. Пример с геометрическим смыслом

Прямоугольник имеет стороны $84$ см и $126$ см. Его нужно разбить на одинаковые квадраты наибольшего размера.

Сторона квадрата равна НОД(84,126).

$126=84\cdot 1+42$

$84=42\cdot 2+0$

Значит, сторона квадрата — $42$ см. По длине получится $2$ квадрата, по ширине — $3$ квадрата.

Слайд 13. «Ищем не просто делитель, а самый большой общий делитель»

— Главное правило при решении практической задачи на НОД

Слайд 14. Типичные ошибки

• Путают НОД и НОК.

• Берут любой общий делитель вместо наибольшего.

• Останавливаются на остатке, который ещё не проверен.

• Неправильно читают вопрос: число групп и размер части — разные ответы.

• Забывают проверить результат: оба исходных числа должны делиться на найденный НОД.

Слайд 15. Самостоятельная работа: алгоритм Евклида

Вычислите НОД, записывая все деления с остатком:

1. НОД(156,60)

2. НОД(221,85)

3. НОД(288,180)

4. НОД(391,153)

После каждого решения подчеркните последний ненулевой остаток.

Слайд 16. Как оформить решение задачи

1. Выписать числа из условия.

2. Объяснить, что означает НОД в данной ситуации.

3. Найти НОД удобным способом.

4. Записать ответ с единицами измерения или смыслом задачи.

5. Проверить, что найденное число действительно делит оба исходных числа.

Слайд 17. Мини-практикум в парах

Составьте задачу на разбиение предметов на одинаковые группы и решите её.

Обменяйтесь задачами с соседней парой и найдите НОД.

Проверьте, совпадает ли смысл ответа с вопросом задачи.

Слайд 18. Алгоритм Евклида в одной схеме

Для пары чисел $a$ и $b$:

если $b\ne 0$, делим $a$ на $b$ и получаем остаток $r$;

заменяем пару $(a,b)$ на $(b,r)$;

повторяем действия;

если остаток равен $0$, текущий делитель — НОД.

Слайд 19. Итоги урока

• НОД — наибольший общий делитель двух или нескольких чисел.

• НОД помогает находить максимальное число одинаковых групп.

• НОД помогает делить длины на самые большие равные части.

• В алгоритме Евклида используются деления с остатком.

• Последний ненулевой остаток — это НОД.

• Ответ в практической задаче нужно формулировать по смыслу условия.

Слайд 20. Спасибо за внимание!