Наибольший общий делитель и взаимно простые числа

Слайд 1. Наибольший общий делитель и взаимно простые числа

Математика, 6 класс

Как находить общие делители и применять их в задачах

Слайд 2. Что такое делитель и общий делитель?

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка.

Например, делители числа $12$: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.

Общий делитель нескольких чисел — число, которое является делителем каждого из них. Для чисел $12$ и $18$ общие делители: $1$, $2$, $3$, $6$.

Слайд 3. Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель, или НОД, — самый большой из общих делителей чисел.

НОД обозначают так: $\mathrm{НОД}(a;b)$.

Для чисел $12$ и $18$ общие делители: $1$, $2$, $3$, $6$.

Значит, $\mathrm{НОД}(12;18)=6$.

НОД помогает делить предметы на максимально большие одинаковые группы.

Слайд 4. Два способа найти НОД

1. Выписать делители каждого числа.

2. Выбрать общие делители.

3. Найти среди них самый большой.

Пример: $\mathrm{НОД}(24;36)=12$.

1. Разложить числа на простые множители.

2. Выбрать одинаковые множители.

3. Перемножить их.

$24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$, $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$.

Общие множители: $2\cdot 2\cdot 3=12$.

Слайд 5. Алгоритм Евклида: НОД через деление с остатком

Слайд 6. Практический пример: одинаковые наборы

В коробке $24$ красных и $36$ синих карандашей. Нужно составить одинаковые наборы так, чтобы использовать все карандаши и получить как можно больше наборов.

Количество наборов равно $\mathrm{НОД}(24;36)=12$.

В каждом наборе будет $24:12=2$ красных и $36:12=3$ синих карандаша.

Ответ: $12$ одинаковых наборов.

Слайд 7. Взаимно простые числа

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их НОД равен $1$.

Примеры:

$8$ и $15$ — взаимно простые, потому что $\mathrm{НОД}(8;15)=1$.

$14$ и $25$ — взаимно простые, потому что $\mathrm{НОД}(14;25)=1$.

Важно: взаимно простые числа не обязательно должны быть простыми. Числа $8$ и $15$ составные, но взаимно простые.

Слайд 8. Как распознать взаимно простые числа?

Проверьте, есть ли у чисел общий делитель, отличный от $1$.

Если сомневаетесь, найдите НОД одним из изученных способов.

$9$ и $20$: общих делителей, кроме $1$, нет, значит числа взаимно простые.

Наличие общего простого множителя означает, что числа не являются взаимно простыми.

Слайд 9. Проверь себя: реши и объясни

1. Найди $\mathrm{НОД}(18;30)$ перебором делителей.

2. Найди $\mathrm{НОД}(42;56)$ разложением на простые множители.

3. Определи, являются ли взаимно простыми числа $16$ и $27$.

4. В школьной столовой есть $45$ яблок и $60$ груш. На сколько одинаковых наборов их можно разделить максимально? Сколько фруктов каждого вида будет в одном наборе?

Объясни, почему выбранный способ решения подходит.

Слайд 10. Итоги урока

НОД — самый большой общий делитель нескольких чисел.

НОД можно находить перебором делителей, разложением на простые множители или алгоритмом Евклида.

Взаимно простые числа имеют НОД, равный $1$.

Для практических задач на одинаковые максимальные группы часто используют НОД.

Главный вопрос для самопроверки: «Есть ли у чисел общий делитель, кроме $1$?»