Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Слайд 1. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Математика, 6 класс: теория и практика

Слайд 2. Что такое НОД?

Наибольшим общим делителем ($\text{НОД}$) нескольких натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел без остатка.

Пример:

Делители $12$: $1,2,3,4,6,12$.

Делители $18$: $1,2,3,6,9,18$.

Общие делители: $1,2,3,6$.

$\text{НОД}(12;18)=6$.

Слайд 3. Алгоритм нахождения НОД

1. Разложить числа на простые множители.

2. Выписать все общие простые множители.

3. Найти произведение этих множителей.

Слайд 4. Что такое НОК?

Наименьшим общим кратным ($\text{НОК}$) натуральных чисел $a$ и $b$ называется наименьшее натуральное число, которое кратно и $a$, и $b$.

Пример:

Кратные $4$: $4,8,12,16,20,24,\dots$

Кратные $6$: $6,12,18,24,30,\dots$

$\text{НОК}(4;6)=12$.

Слайд 5. Алгоритм нахождения НОК

Разложить числа на простые множители.

Выписать разложение одного из этих чисел.

Добавить недостающие множители из разложения второго числа и перемножить.

Слайд 6. Связь между НОД и НОК

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство:

$a\cdot b=\text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)$

Это позволяет найти одно значение, если известны три других.

Дано: $a=10,b=15$.

$10\cdot 15=150$.

$\text{НОД}(10,15)=5$.

$\text{НОК}(10,15)=30$.

Проверка: $5\cdot 30=150$.

Слайд 7. Практика: Найдите НОД

Найдите $\text{НОД}(24,36)$

Найдите $\text{НОД}(15,25)$

Найдите $\text{НОД}(7,11)$

(Взаимно простые числа)

Найдите $\text{НОД}(48,24)$

Слайд 8. Практика: Найдите НОК

1. Найдите $\text{НОК}(8,12)$

2. Найдите $\text{НОК}(10,15)$

3. Найдите $\text{НОК}(6,7)$

4. Найдите $\text{НОК}(20,30)$

5. Найдите $\text{НОК}(9,27)$

Слайд 9. Задача на применение

С автобусной станции одновременно выехали два автобуса. Один возвращается каждые $12$ часов, другой — каждые $18$ часов. Через какое минимальное время они снова встретятся на станции?

Слайд 10. Подведем итоги

Делитель — число, на которое делят; кратное — число, которое делится.

$\text{НОД}$ ищем по общим множителям.

$\text{НОК}$ ищем, дополняя множители одного числа множителями другого.

Взаимно простые числа имеют $\text{НОД}=1$.

Произведение $\text{НОД}$ и $\text{НОК}$ равно произведению самих чисел.