Магия цифр

Слайд 1. Магия цифр

Задачи на цифры многозначного числа для 6 класса

Слайд 2. Цифры — это кирпичики

Представь, что числа — это дома, а цифры — кирпичи, из которых они построены. В десятичной системе у нас всего 10 «кирпичей»: от 0 до 9. Но из них можно собрать бесконечное количество комбинаций!

Слайд 3. Число vs Цифра

Это знак для записи. Всего их 10: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Это величина, состоящая из одной или нескольких цифр. Например: $42$, $105$, $7$.

Слайд 4. Как устроено число?

Любое число можно разложить по разрядам:

$\overline{ab}=10a+b$

$\overline{abc}=100a+10b+c$

Здесь $a,b,c$ — это цифры, причём $a\ne 0$ для первой позиции.

Слайд 5. Пример разложения

Возьмём число $548$.

Оно состоит из:

5 сотен: $5\cdot 100=500$

4 десятков: $4\cdot 10=40$

8 единиц: $8\cdot 1=8$

Итого: $500+40+8=548$.

Запись $\overline{abc}$ помогает нам решать задачи, где цифры неизвестны.

Слайд 6. Сумма цифр

Сумма цифр — это результат сложения всех знаков в числе.

Для числа $123$ сумма равна $1+2+3=6$.

Важно: сумма цифр всегда меньше самого числа (кроме однозначных).

Слайд 7. Уровень 1: Секретный код

Задача: Задумано двузначное число. Сумма его цифр равна $9$. Если цифры поменять местами, получится число, которое на $27$ больше исходного. Какое число задумали?

Слайд 8. Решаем задачу про код

Пусть число это $10a+b$. Мы знаем: $a+b=9$.

Новое число: $10b+a$. Разница: $(10b+a)-(10a+b)=27$.

$9b-9a=27\Rightarrow b-a=3$. Решаем систему: $a=3,b=6$. Ответ: $36$.

Слайд 9. Перевёртыши

Что происходит при перестановке цифр?

$12\to 21$

$58\to 85$

Разница между числом и его «перевёртышем» всегда делится на $9$. Проверь: $85-58=27$ ($9\cdot 3$).

Слайд 10. Загадка про «0» в середине

Если в трёхзначном числе посередине стоит $0$, то при его удалении число уменьшится в несколько раз.

Пример: $105\to 15$. Число уменьшилось в $7$ раз. А может ли оно уменьшиться ровно в $9$ раз?

Слайд 11. Как меняется сумма цифр?

Если к числу прибавить $1$, всегда ли сумма его цифр увеличится? Подумай о числе $19$ или $999$!

Слайд 12. Признаки делимости и цифры

Слайд 13. Магия чисел 3 и 9

Число делится на $3$ (или на $9$) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$ (или на $9$).

Пример: $12345$. Сумма: $1+2+3+4+5=15$. $15$ делится на $3$, значит и $12345$ делится!

Слайд 14. Подбор пропущенных цифр

Используя сумму цифр, мы можем легко находить «кляксы» в примерах.

Слайд 15. Уровень 2: Таинственное число

Найдите трёхзначное число, которое в $11$ раз больше суммы своих цифр.

Подсказка: Запишите уравнение $\overline{abc}=11(a+b+c)$.

Слайд 16. Алгоритм поиска числа

Слайд 17. Свойства трёхзначных чисел

От $100$ до $999$. Всего $900$ чисел.

Сотни, десятки и единицы.

Максимальная сумма цифр: $9+9+9=27$.

Зависит только от последней цифры $c$.

Слайд 18. Числа-палиндромы

Числа, которые читаются одинаково в обоих направлениях.

Примеры: $121$, $505$, $999$.

Интересный факт: если взять любое число и прибавлять к нему его перевёртыш, рано или поздно получится палиндром!

Слайд 19. Вопрос для обсуждения

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

Попробуем посчитать вместе:

Для десятки «1» — только $10$ ($1$ вариант).

Для десятки «2» — $20,21$ ($2$ варианта).

... и так далее до $9$.

Слайд 20. Чётные и нечётные цифры

Чётные цифры: делятся на 2.

Нечётные цифры: не делятся на 2.

Слайд 21. Блиц-опрос: Верно или нет?

1. Наименьшее трёхзначное число — $100$?

2. Сумма цифр числа $109$ равна $10$?

3. Если число заканчивается на $5$, оно делится на $10$?

4. В числе $456$ цифра $5$ обозначает десятки?

Слайд 22. История цифр

V век

XII век

Сегодня

Появление нуля в Индии.

Распространение арабских цифр в Европе.

Двоичная система (0 и 1) в основе всех компьютеров.

Слайд 23. Главные выводы

Цифры — это знаки, числа — величины.

Любое число можно разложить на разряды: $10a+b$.

Сумма цифр помогает проверять делимость на $3$ и $9$.

При перестановке цифр разность чисел всегда кратна $9$.

Внимательно следи за условием: «цифры различны» или «могут повторяться».

Слайд 24. Числа правят миром.

— Пифагор Самосский

Слайд 25. Спасибо за урок! Есть вопросы?