Действия с дробями

Слайд 1. Действия с дробями

Обыкновенные и десятичные дроби: сравнение, преобразование и вычисления

Слайд 2. Обыкновенная дробь и её основное свойство

Обыкновенная дробь записывается как $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель, причём $b\ne 0$.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$.

Пример: $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{12}{20}$.

Слайд 3. Сокращение и приведение к общему знаменателю

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель.

Пример: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю:

1. Найдите общий знаменатель.

2. Определите дополнительные множители.

3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на свой множитель.

4. Выполните действие с полученными дробями.

Пример: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$.

Слайд 4. Сложение и вычитание дробей

Знаменатель оставляем без изменения, а числители складываем или вычитаем: $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

Пример: $\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Сначала приводим дроби к общему знаменателю, затем выполняем действие.

Пример: $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$.

Слайд 5. Смешанные дроби: сложение и вычитание

Смешанная дробь состоит из целой и дробной частей: $2\frac{1}{3}$.

При сложении смешанных дробей отдельно складывают целые и дробные части, затем при необходимости выделяют целую часть.

Пример: $2\frac{1}{3}+1\frac{5}{6}=3\frac{7}{6}=4\frac{1}{6}$.

При вычитании иногда удобно занять одну единицу целой части: $3\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}=2\frac{5}{4}-1\frac{3}{4}=1\frac{2}{4}=1\frac{1}{2}$.

Слайд 6. Умножение и деление обыкновенных дробей

Числители перемножаем, знаменатели перемножаем: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

Перед умножением удобно сократить множители числителя и знаменателя: $\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{6}$.

Чтобы разделить на дробь, умножаем на обратную дробь: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$.

Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание.

Слайд 7. Сравнение дробей и все действия

Если знаменатели положительны и одинаковы, больше та дробь, у которой больше числитель: $\frac{7}{11}>\frac{5}{11}$.

Если числители одинаковы, больше та дробь, у которой меньше знаменатель: $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$ — при положительных знаменателях.

В остальных случаях можно привести дроби к общему знаменателю или сравнить их с единицей.

При вычислении выражения соблюдайте порядок действий и сокращайте результат.

Слайд 8. Десятичные дроби

Десятичная дробь записывает доли единицы с помощью запятой: $0,7=\frac{7}{10}$, $0,35=\frac{35}{100}$. При сравнении сначала сравнивают целые части, затем цифры после запятой по разрядам. Нули справа после последней значащей цифры значения не меняют: $0,5=0,50$.

При сложении и вычитании запятые записывают друг под другом. При умножении сначала перемножают числа без запятых, затем отделяют столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях. При делении на десятичную дробь запятую в делимом и делителе переносят одинаково.

Слайд 9. Представление обыкновенной дроби десятичной

Дробь можно представить десятичной, если её знаменатель после сокращения раскладывается только на множители $2$ и $5$.

Способ 1. Привести знаменатель к $10$, $100$, $1000$ и так далее.

Пример: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$.

Способ 2. Разделить числитель на знаменатель уголком.

Если деление не заканчивается, десятичная запись может быть периодической: $\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}$.

Задание: представьте в виде десятичной дроби $\frac{7}{20}$ и сравните результат с $0,4$.

Слайд 10. Итоги и самостоятельная проверка

• Используйте основное свойство дроби для сокращения и приведения к общему знаменателю.

• При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями сначала найдите общий знаменатель.

• При умножении перемножайте числители и знаменатели, при делении умножайте на обратную дробь.

• Смешанные дроби при необходимости переводите в неправильные дроби.

• Десятичные дроби сравнивайте поразрядно, а запятые при сложении записывайте друг под другом.

• Самостоятельная работа: решите по несколько заданий на сложение и вычитание дробей, затем на умножение и деление; отдельно выполните задания с десятичными дробями.

• Проверьте результат: сократите дробь, если это возможно, и оцените, разумен ли ответ.