Тригонометрия в геометрии

Слайд 1. Тригонометрия в геометрии

Теоремы синусов и косинусов: от теории к решению треугольников

Слайд 2. Функции углов от 0° до 180°

В геометрии 9 класса мы расширяем понятие синуса и косинуса для тупых углов.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ координаты точки на единичной полуокружности определяются как:

— $x=\cos \alpha$

— $y=\sin \alpha$

Это позволяет нам работать с любыми треугольниками, а не только прямоугольными.

Слайд 3. Формулы приведения

Чтобы найти значения функций для тупых углов, используем связи с острыми углами:

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

$\text{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\text{tg}\alpha$ (при $\alpha \ne 90^{\circ }$)

Пример: $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=0,5$

Пример: $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-0,5$

Слайд 4. Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A$

Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника (если $\angle A=90^{\circ }$, то $\cos A=0$).

Слайд 5. Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Где $R$ — радиус описанной окружности.

Применяется, когда:

— Известны два угла и сторона

— Известны две стороны и угол против одной из них

Слайд 6. Алгоритмы решения треугольников

Используем теорему косинусов для поиска третьей стороны, затем теорему синусов или косинусов для углов.

Находим третий угол ($180^{\circ }-\Sigma$), затем по теореме синусов вычисляем остальные стороны.

Используем теорему косинусов для нахождения любого из углов (обычно самого большого).

Слайд 7. Сравнение теорем

Выбор теоремы зависит от входных данных. Если даны все стороны — только косинусы. Если есть пара «сторона-угол напротив» — синусы.

Слайд 8. Практическое применение

Расчет расстояния до недоступного объекта (например, через реку) с помощью измерения углов из двух доступных точек и расстояния между ними.

Проектирование стропильных систем крыш, мостов и вышек, где необходимо точно рассчитать длины балок под заданными углами наклона.

Слайд 9. Статистика применения функций

В типовых задачах на решение произвольных треугольников чаще всего встречаются острые углы, однако умение работать с тупыми углами критически важно для корректного использования теоремы косинусов.

Слайд 10. Готовы решать треугольники!